局所的に積分可能な関数

数学において、局所積分可能関数（局所和可能関数とも呼ばれる）^[1]とは、定義域のすべてのコンパクト部分集合上で積分可能な（つまり積分が有限である）関数である。このような関数の重要性は、関数空間がL ^p空間に類似しているが、その要素が定義域の境界（定義域が無限大の場合は無限大）での挙動に関する成長制約を満たす必要がないことにある。言い換えれば、局所積分可能関数は定義域の境界で任意の速さで成長することができるが、それでも通常の積分可能関数と同様の方法で管理可能である。

定義1. [ ^2] Ωをユークリッド空間の開集合とし、 f :  Ω→をルベーグ可測関数とする。Ω上のfが ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<+\infty ,}$

すなわち、そのルベーグ積分がΩのすべてのコンパクト部分集合 K上で有限である場合、^[3]、fは局所積分可能 と呼ばれる。そのような関数の集合はL1 _,loc (Ω)で表される。

${\displaystyle L_{1,\mathrm {loc} }(\Omega )={\bigl \{}f\colon \Omega \to \mathbb {C} {\text{測定可能}}:f|_{K}\in L_{1}(K)\ \forall \,K\subset \Omega ,\,K{\text{コンパクト}}{\bigr \}},}$

ここで、fを 集合Kに制限することを示します。 ${\textstyle \left.f\right|_{K}}$

局所的に積分可能な関数の古典的な定義は、測度論と位相^{[4]の概念のみを含み、位相}測度空間( X ,Σ, μ )上の複素数値関数に抽象的に適用することができる: ^[5]しかし、そのような関数の最も一般的な応用はユークリッド空間上の超関数理論であるため、^[2]このセクションと次のセクションのすべての定義は、この重要なケースのみを明示的に扱っています。

定義2. [ ^6] Ωをユークリッド空間の開集合とする。すると関数f  :Ω→が成り立つ。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x<+\infty ,}$

各テスト関数 φ∈Cについて ∞
℃ (Ω)は局所的に積分可能と呼ばれ、そのような関数の集合はL _1,loc (Ω)と表記される。ここでC ∞
℃ (Ω)は、 Ωに含まれるコンパクトな台を持つすべての無限微分可能関数φ  : Ω →${\displaystyle \mathbb {R} }$の集合を表します。

この定義は、ニコラ・ブルバキ学派によって開発された、位相ベクトル空間上の連続線型関数の概念に基づく測度および積分理論へのアプローチにそのルーツがあります。 ^[7]これは、Strichartz (2003) や Maz'ya & Shaposhnikova (2009、p. 34) によって採用された定義でもあります。^[8]この「分布理論的な」定義は、次の補題が証明するように、標準的な定義と同等です。

補題1 . 与えられた関数f  : Ω →が${\displaystyle \mathbb {C} }$定義1に従って局所積分可能であるのは、定義2に従って局所積分可能である場合のみである。つまり、

${\displaystyle \int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<+\infty \quad \forall \,K\subset \Omega ,\,K{\text{ compact}}\quad \Longleftrightarrow \quad \int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x<+\infty \quad \forall \,\varphi \in C_{\mathrm {c} }^{\infty }(\Omega ).}$

部分の場合: φ ∈ Cとする ∞
℃ (Ω) をテスト関数とする。これは上限ノルム|| φ || _∞で制限され、測定可能で、コンパクトなサポートを持ち、これをK と呼ぶことにする。したがって

${\displaystyle \int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x=\int _{K}|f|\,|\varphi |\,\mathrm {d} x\leq \ |\varphi \|_{\infty }\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<\infty }$

定義1によります。

部分の場合のみ：Kを開集合Ωのコンパクト部分集合とする。まずテスト関数φK∈C_を構築する。 ∞
℃ (Ω)はKの指示関数 χ _{K を}主関数とする。Kと境界∂Ωの間の通常の集合距離^[9]は厳密にゼロより大きい、すなわち

${\displaystyle \Delta :=d(K,\partial \Omega )>0,}$

したがって、 Δ > 2 δ > 0となるような実数 δ を選ぶことが可能である（∂Ωが空集合の場合はΔ = ∞とする）。K _δとK _{2 δ は}それぞれKの閉じたδ近傍と2 δ近傍を表すものとする。これらは同様にコンパクトであり、

${\displaystyle K\subset K_{\delta }\subset K_{2\delta }\subset \Omega ,\qquad d(K_{\delta },\partial \Omega )=\Delta -\delta >\delta >0.}$

ここで畳み込み関数φ _K  : Ω →${\displaystyle \mathbb {R} }$を定義する。

${\displaystyle \varphi _{K}(x)={\chi _{K_{\delta }}\ast \varphi _{\delta }(x)}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{K_{\delta }}(y)\,\varphi _{\delta }(x-y)\,\mathrm {d} y,}$

ここでφ _{δ は}標準的な正対称軟化器を使用して構築された軟化器です。明らかにφ _{K は}φ _K ≥ 0の意味で非負であり、無限に微分可能であり、そのサポートはK _{2 δ}に含まれており、特にテスト関数です。すべてのx ∈ Kに対してφ _K ( x ) = 1 であるため、 χ _K ≤ φ _Kとなります。

定義2 に従ってfを局所積分可能な関数とする。すると

${\displaystyle \int _{K}|f|\,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }|f|\chi _{K}\,\mathrm {d} x\leq \int _{\Omega }|f|\varphi _{K}\,\mathrm {d} x<\infty .}$

これはΩの任意のコンパクト部分集合Kに対して成り立つので、関数fは定義 1 に従って局所積分可能である。□

定義3. [ ^10] Ωをユークリッド空間の開集合とし、f :  Ω→をルベーグ可測関数とする。1≤p≤ +∞となるpに対して、fが次を満たす 場合${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \int _{K}|f|^{p}\,\mathrm {d} x<+\infty ,}$

すなわち、Ωのすべてのコンパクト部分集合Kに対してL _p ( K )に属する場合、f は局所的にp積分可能、あるいはp局所的に積分可能であるとも呼ばれます。^[10]このような関数全体の集合はL _{p ,loc} (Ω)と表されます。

${\displaystyle L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega )=\left\{f:\Omega \to \mathbb {C} {\text{ measurable }}\left|\ f|_{K}\in L_{p}(K),\ \forall \,K\subset \Omega ,K{\text{ compact}}\right.\right\}.}$

局所積分可能関数に与えられた定義と完全に類似した別の定義は、局所p積分可能関数に対しても与えられ、このセクションの定義と同等であることが証明されています。^[11]一見すると一般性が高いように見えますが、局所p積分可能関数は、 1 < p ≤ +∞となるすべてのpに対して局所積分可能関数のサブセットを形成します。^[12]

大文字の「L」に使われる異なるグリフとは別に、 ^[13]局所積分可能関数の集合の表記にはいくつかのバリエーションがある。

• ${\displaystyle L_{\mathrm {loc} }^{p}(\Omega ),}$(Hörmander 1990、p. 37)、(Strichartz 2003、pp. 12-13)、(Vladimirov 2002、p. 3)で採用されています。
• ${\displaystyle L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ),}$(Maz'ya & Poborchi 1997, p. 4) および Maz'ya & Shaposhnikova (2009, p. 44) によって採用されました。
• ${\displaystyle L_{p}(\Omega ,\mathrm {loc} ),}$(Maz'ja 1985, p. 6) および (Maz'ja 2011, p. 2) によって採用されました。

定理1. [ ^14] L _{p ,loc}は完全な距離化可能な空間である：その位相は次の距離によって生成できる：

${\displaystyle d(u,v)=\sum _{k\geq 1}{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {\Vert u-v\Vert _{p,\omega _{k}}}{1+\Vert u-v\Vert _{p,\omega _{k}}}}\qquad u,v\in L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ),}$

ここで{ ωk } _k≥1は空でない開集合の族であり _、

• ω _k ⊂⊂ ω _{k +1は、} ω _k がω _{k +1}にコンパクトに含まれること を意味します。つまり、これはより高いインデックスの集合に厳密に含まれるコンパクト閉包を持つ集合です。
• ∪ _k ω _k = Ω です。
• ${\displaystyle \scriptstyle {\Vert \cdot \Vert _{p,\omega _{k}}}\to \mathbb {R} ^{+}}$, k ∈ は半ノルムのインデックス付き族であり、次のように定義される。${\displaystyle \mathbb {N} }$

${\displaystyle {\Vert u\Vert _{p,\omega _{k}}}=\left(\int _{\omega _{k}}|u(x)|^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{1/p}\qquad \forall \,u\in L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ).}$

参考文献（Gilbarg & Trudinger 2001, p. 147）、（Maz'ya & Poborchi 1997, p. 5）、（Maz'ja 1985, p. 6）、および（Maz'ya 2011, p. 2）では、この定理は述べられているものの、形式的な根拠に基づいて証明されていません。^[15]この定理を含むより一般的な結果の完全な証明は、（Meise & Vogt 1997, p. 40）にあります。

定理2 . L _p (Ω) , 1 ≤ p ≤ +∞に属するすべての関数f（ただしΩはの開集合）は局所的に積分可能である。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

証明p = 1 の場合は自明なので、証明の続きでは1 < p ≤ +∞と仮定します。Ωの コンパクト部分集合Kの特性関数 χ _{K を}考えます。すると、p ≤ +∞に対して、

${\displaystyle \left|{\int _{\Omega }|\chi _{K}|^{q}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=|K|^{1/q}<+\infty ,}$

どこ

• qは正の数であり、 1 ≤ p ≤ +∞に対して1/ p + 1/ q = 1となる。
• | K |はコンパクト集合Kのルベーグ測度である。

すると、 L _p (Ω)に属する任意のfに対して、ヘルダーの不等式により、積fχ _Kは積分可能、すなわちL ₁ (Ω)に属し、

${\displaystyle {\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x}={\int _{\Omega }|f\chi _{K}|\,\mathrm {d} x}\leq \left|{\int _{\Omega }|f|^{p}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/p}\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\|f\|_{p}|K|^{1/q}<+\infty ,}$

したがって

${\displaystyle f\in L_{1,\mathrm {loc} }(\Omega ).}$

次の不等式が成り立つので、

${\displaystyle {\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x}={\int _{\Omega }|f\chi _{K}|\,\mathrm {d} x}\leq \left|{\int _{K}|f|^{p}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/p}\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\|f\chi _{K}\|_{p}|K|^{1/q}<+\infty ,}$

この定理は局所的にp積分可能な関数の空間にのみ属する関数fに対しても成り立つため、この定理から次の結果も導かれる。

系 1 . 、、内のすべての関数は局所的に積分可能、つまり に属します。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle L_{p,loc}(\Omega )}$${\displaystyle 1<p\leq \infty }$${\displaystyle L_{1,loc}(\Omega )}$

注:がの開部分集合で、これも有界である場合、上記の包含 を前提として意味をなす標準的な包含 が存在します。しかし、 が有界でない場合は、これらのステートメントの最初の部分は真ではありません。その場合、任意の に対しては依然として真ですが、 は真ではありません。これを確認するには、通常、関数 を考えます。これは、任意の有限 に対して には存在しますが、 には存在しません。 ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle L_{p}(\Omega )\subset L_{1}(\Omega )}$${\displaystyle L_{1}(\Omega )\subset L_{1,loc}(\Omega )}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle L_{p}(\Omega )\subset L_{1,loc}(\Omega )}$${\displaystyle p}$${\displaystyle L_{p}(\Omega )\subset L_{1}(\Omega )}$${\displaystyle u(x)=1}$${\displaystyle L_{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle L_{p}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle p}$

定理 3.関数f が絶対連続測度の密度であるためには、かつその場合に限ります。 ${\displaystyle f\in L_{1,loc}}$

この結果の証明は、(Schwartz 1998, p. 18) に概説されている。この定理を言い換えると、すべての局所積分可能関数は絶対連続測度を定義し、逆にすべての絶対連続測度は局所積分可能関数を定義する、というものである。これは、抽象測度論の枠組みでは、スタニスワフ・サックスが論文で示した重要なラドン・ニコディム定理の形でもある。 ^[16]

• 実数直線上で定義された定数関数1は局所的に積分可能であるが、実数直線は無限測度を持つため大域的には積分可能ではない。より一般的には、定数、連続関数^[17]、積分可能関数は局所的に積分可能である。^[18]
• x ∈ (0, 1) の関数は(0, 1) 上で局所的に積分可能ですが、大域的には積分できません。任意のコンパクト セット K ⊆ (0, 1) は 0 から正の距離を持ち、したがって f は K 上で有界であるため、局所的に積分可能です。この例は、局所的に積分可能な関数は有界領域内の境界付近で成長条件を満たす必要がないという当初の主張を裏付けています。${\displaystyle f(x)=1/x}$
• 機能

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1/x&x\neq 0,\\0&x=0,\end{cases}}\quad x\in \mathbb {R} }$

はx = 0において局所積分可能ではない。この点の近くでは確かに局所積分可能である。なぜなら、それを含まないすべてのコンパクト集合上の積分は有限だからである。正式には、: ^{[19]しかし、この関数は、}コーシー主値として全体の超関数に拡張することができる。^[20]${\displaystyle 1/x\in L_{1,loc}(\mathbb {R} \setminus 0)}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

• 前述の例から、 Ω ⊊内で局所的に積分可能なすべての関数は、超関数として全体に拡張できるかどうかという疑問が生じます。答えは「いいえ」であり、次の関数によって反例が提供されます。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{1/x}&x\neq 0,\\0&x=0,\end{cases}}}$

は 上の分布を定義しない。^[21]${\displaystyle \mathbb {R} }$

• 次の例は、前の例と同様に、 L _1,loc ( \ 0)に属する関数であり、不規則な特異係数を持つ微分演算子への超関数の理論の適用における基本的な反例 として役立ちます。${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}k_{1}e^{1/x^{2}}&x>0,\\0&x=0,\\k_{2}e^{1/x^{2}}&x<0,\end{cases}}}$

ここでk ₁とk ₂は複素定数であり、次の一次の 初等非フックス微分方程式の一般解である。

${\displaystyle x^{3}{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}+2f=0.}$

また、 k ₁またはk ₂がゼロでない場合、全体として分布は定義されません。したがって、このような方程式の分布の大域的解はゼロ分布のみであり、これは、微分方程式の理論のこの分野では、分布理論の方法が、同じ理論の他の分野、特に定数係数の線型微分方程式の理論で達成されたのと同じ成功を収めることは期待できないことを示しています。^[22]${\displaystyle \mathbb {R} }$

局所的に積分可能な関数は分布理論で重要な役割を果たしており、有界変化の関数など、さまざまなクラスの関数と関数空間の定義に現れます。さらに、ラドン・ニコディムの定理では、あらゆる測度の絶対連続部分を特徴付けることによって 現れます。

• コンパクトセット
• 分布（数学）
• ルベーグの密度定理
• ルベーグの微分定理
• ルベーグ積分
• LPスペース

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