アフィン変換

ユークリッド幾何学において、アフィン変換またはアフィニティ（ラテン語のaffinis「～と結びついた」に由来）とは、直線と平行性を保持するが、必ずしもユークリッド距離と角度を保持するとは限らない幾何学的変換のことである。

より一般的に言えば、アフィン変換とはアフィン空間の自己同型写像（ユークリッド空間は特定のアフィン空間である）であり、アフィン空間をそれ自身に写像する関数である。この関数は、任意のアフィン部分空間の次元（つまり、点を点に、線を線に、平面を平面に写像するなど）と平行線の長さの比の両方を保持する。したがって、平行なアフィン部分空間の集合は、アフィン変換後も平行のままである。アフィン変換は、必ずしも線間の角度や点間の距離を保持するとは限らないが、直線上にある点間の距離の比は保持する。

$X を$ アフィン空間の点集合とすると、 $X上のすべてのアフィン変換は、$ $X$ 上の線形変換と $X$ の平行移動の合成として表すことができます。純粋な線形変換とは異なり、アフィン変換はアフィン空間の原点を保存する必要はありません。したがって、すべての線形変換はアフィン変換ですが、すべてのアフィン変換が線形変換であるとは限りません。

アフィン変換の例としては、平行移動、拡大縮小、相似変換、類似変換、鏡映変換、回転、双曲線回転、せん断写像、およびこれらの任意の組み合わせと順序での合成などが挙げられます。

アフィン空間を射影空間の無限遠における超平面の補空間とみなすと、アフィン変換とは、その射影空間の射影変換のうち、無限遠における超平面を不変に保ちつつ、その超平面の補空間に限定される変換のことである。

アフィン変換の一般化は、同じ体 k 上の 2 つの (場合によっては異なる) アフィン空間間のアフィン写像 [ 1 ] (またはアフィン準同型写像またはアフィン写像) です。( X 、 $V$ 、^{k )と}( Z、W、 $k$ $)$ $を$ $、$ $体$ $k$ $上$ の $点$ $集合$ $X$ $と$ $Z$ $、$ $および$ それぞれ $の$ 対応 $する$ ベクトル $空間$ Vと $W$ を $持つ$ 2 つのアフィン空間とします。写像 $f$ $:$ $X$ $\to$ $Z$ $は、すべてのx、 y$ ∈ $X$ に対して $m$ $f$ $($ $x$ $-$ $y$ $) =$ $f$ $($ $x$ $) -$ $f$ $($ $y$ $)$ となるような線形写像 $m$ $f$ $:$ $V$ $\to$ $W$ が存在する場合にアフィン写像です。^[²^]

意味

$X を$ 体 $k$ 上のアフィン空間とし、V を $それ$ に対応するベクトル空間とする。アフィン変換とは、 $X$ からX自身への全単射 $f$ であり、アフィン写像である。つまり、 $V$ から $V$ への線形写像 $g は$ 、次の式で適切に定義される。 $g(yx)=f(y)-f(x);$ ここで、いつものように、2点の減算は2番目の点から最初の点への自由ベクトルを表し、「明確に定義されている」とは、 $yx=y'-x'$ 意味するところは $f(y)-f(x)=f(y')-f(x').$

$X$ の次元が2 以上の場合、 $X$ の半アフィン変換 $f は、次の条件を満たす$ $X$ からそれ自身への全単射である: ^[³^]

$X$ の任意の $d$ 次元アフィン部分空間 $S$ に対して、 $f$ $($ $S$ $)$ もまた $Xの$ $d$ 次元アフィン部分空間である。
$S$ と $Tが$ $X$ の平行なアフィン部分空間である場合、 $f (S)$ と $f (T)$ は平行である。

$これらの2つの条件はアフィン変換によって満たされ、「 fは$ 平行性を保持する」という表現が正確に意味するところを表している。

これらの条件は独立しておらず、2 番目は最初の条件から導かれる。^{[ 4 ]}さらに、フィールド $k が$ 少なくとも 3 つの要素を持つ場合、最初の条件は次のように単純化できる。f $は$ 共線化である、つまり、行を行に写像する。^{[ 5 ]}

構造

アフィン空間の定義により、 $V は$ $X$ に作用し、すべてのペアに対して、 $(x,\mathbf {v} )$ $X \times V$ には、 $X$ 内の点 $y$ が関連付けられています。この動作を次のように表すことができます。 ${\vec {v}}(x)=y$ ここでは、次の慣例を使用します。 ${\vec {v}}={\textbf {v}}$ $V$ の要素を表す 2 つの互換性のある表記法があります。X内の点 $c$ $を$ 固定することで、関数 $m c : X \to V を$ $m c (x) = cx \to$ で定義できます。任意の $c$ に対して、この関数は単射であり、したがって、逆関数 $m c -1 : V \to X$ が次のように与えられます。 $m_{c}^{-1}({\textbf {v}})={\vec {v}}(c)$ $これらの関数は、次のように定義することにより、 X を(点$ $c$ に関して)ベクトル空間に変換するために使用できます。^{[ 6 ]}

$x+y=m_{c}^{-1}\left(m_{c}(x)+m_{c}(y)\right),{\text{ for all }}x,y{\text{ in }}X,$ そして
$rx=m_{c}^{-1}\left(rm_{c}(x)\right),{\text{ for all }}r{\text{ in }}k{\text{ and }}x{\text{ in }}X.$

このベクトル空間は原点 $c$ を持ち、厳密にはアフィン空間 $X$ と区別する必要があるが、慣例として同じ記号を用い、原点を指定した後にベクトル空間であることを明記する。この区別により、点をベクトルとして、またその逆も可能となる。

$V$ の任意の線形変換 $λ$ に対して、関数 $L$ $($ $c$ $,$ $λ$ $)$ $:$ $X$ $\to$ $X を$ 次のように定義できます。 $L(c,\lambda )(x)=m_{c}^{-1}\left(\lambda (m_{c}(x))\right)=c+\lambda ({\vec {cx}}).$

すると、 $L (c, λ)$ は点 $cを固定したままの$ $X$ のアフィン変換である。^[⁷^] $これは、原点c$ を持つベクトル空間として見た $X$ の線形変換である。

$X$ の任意のアフィン変換を $σ$ とする。X内の点 $c$ を選び、ベクトルによる $X$ の平行移動を考える $。$ ${\mathbf {w}}={\overrightarrow {c\sigma (c)}}$ $T w$ と表記される。並進はアフィン変換であり、アフィン変換の合成はアフィン変換である。この $cの選択に対して、$ $V$ の一意の線形変換 $λ が$ 存在し、^[⁸^] $\sigma (x)=T_{\mathbf {w}}\left(L(c,\lambda )(x)\right).$ つまり、 $Xの任意のアフィン変換は、$ $X$ の線形変換(ベクトル空間として見た場合) と $X$ の平行移動の合成である。

このアフィン変換の表現は、しばしばアフィン変換の定義として扱われます（原点の選択は暗黙のうちに行われます）。^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}

表現

上記のように、アフィン写像は、平行移動と線形写像という2つの関数の合成です。通常のベクトル代数では、線形写像は行列乗算で、平行移動はベクトル加算で表されます。形式的には、有限次元の場合、線形写像は可逆行列による乗算として表されます。 $A$ そして、ベクトルの加算としての翻訳 $\mathbf {b}$ アフィン写像 $f$ ベクトルに作用する $\mathbf {x}$ 次のように表すことができます

$\mathbf {y} =f(\mathbf {x} )=A\mathbf {x} +\mathbf {b} .$

拡張行列

2次元平面上のアフィン変換は、3次元空間における線形変換によって実行できます。平行移動はz軸に沿ったせん断によって行われ、回転はz軸を中心とした回転によって行われます。

拡大行列と拡大ベクトルを用いることで、単一の行列乗算で並進と線形写像の両方を表現することが可能です。この手法では、すべてのベクトルの末尾に「1」を追加し、すべての行列の下部にゼロの行を追加し、右側に並進ベクトルである列を追加し、右下隅に「1」を追加する必要があります。 $A$ は行列です。

${\begin{bmatrix}\mathbf {y} \\1\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{ccc|c}&A&&\mathbf {b} \\0&\cdots &0&1\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}\mathbf {x} \\1\end{bmatrix}}$

これは以下と同等です

$\mathbf {y} =A\mathbf {x} +\mathbf {b} .$

上記の拡大行列はアフィン変換行列と呼ばれます。一般的に、最後の行ベクトルが制限されない場合、 $\left[{\begin{array}{ccc|c}0&\cdots &0&1\end{array}}\right]$ すると、行列は射影変換行列になります（射影変換を実行するためにも使用できます）。

この表現は、すべての可逆アフィン変換の集合を半直積として表しています。 $K^{n}$ そして $\operatorname {GL} (n,K)$ これは関数の合成演算による群であり、アフィン群と呼ばれます。

通常の行列とベクトルの乗算では、常に原点が原点に写像されるため、原点が必ず別の点に写像されるような平行移動を表すことは決してできません。すべてのベクトルに追加の座標「1」を付加することで、写像される空間を、追加次元を持つ空間の部分集合として考えることができます。その空間では、元の空間は追加座標が1である部分集合を占めます。したがって、元の空間の原点は次の位置にあります。 $(0,0,\dotsc ,0,1)$ 元の空間内で、高次元空間の線形変換（具体的にはせん断変換）によって平行移動を行うことが可能です。高次元空間の座標は同次座標の一例です。元の空間がユークリッド空間であれば、高次元空間は実射影空間となります。

同次座標を用いる利点は、それぞれの行列を乗算することで、任意の数のアフィン変換を1つにまとめることができる点にある。この特性は、コンピュータグラフィックス、コンピュータビジョン、ロボット工学などの分野で広く利用されている。

拡張行列の例

平面上で非退化三角形を定義する3点、または3次元空間で非退化正四面体を定義する4点、あるいは一般に $n$ $次元$ 空間で非退化単体を定義する $n +1$ 点 $x₁$ , ..., $xn + 1$ があるとします。対応する変換先点 $y₁$ , ..., $yn$ $+$ $1$ $が$ あるとします。これらの新しい点は、任意の次元の空間に存在することができます。（さらに、新しい点は非退化単体を形成する必要はなく、互いに異なる必要もありません。）アフィン変換を実現する唯一の拡張行列 $Mは、$ ${\begin{bmatrix}\mathbf {y} _{i}\\1\end{bmatrix}}=M{\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{i}\\1\end{bmatrix}}$ すべての $i$ は $M={\begin{bmatrix}\mathbf {y} _{1}&\cdots &\mathbf {y} _{n+1}\\1&\cdots &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{1}&\cdots &\mathbf {x} _{n+1}\\1&\cdots &1\end{bmatrix}}^{-1},$ 行列の逆行列を使用します。

物件

保存された財産

アフィン変換は以下を保持する：

点間の共線性：同一線上にある3つ以上の点（共線点と呼ばれる）は、変換後も共線性を維持します。
平行性：平行な2つ以上の線が、変換後も平行なままであること。
集合の凸性：凸集合は変換後も凸集合のままである。さらに、元の集合の極点は変換後の集合の極点に写像される。^{[ 12 ]}
平行線分の長さの比：点によって定義される異なる平行線分の場合 $p_{1},p_{2}$ そして $p_{3},p_{4}$ それぞれ、 ${\overrightarrow {p_{1}p_{2}}}$ に ${\overrightarrow {p_{3}p_{4}}}$ は、 ${\overrightarrow {f(p_{1})f(p_{2})}}$ に ${\overrightarrow {f(p_{3})f(p_{4})}}$ 。
重み付けされた点群の重心。

グループ

アフィン変換は可逆であるため、正方行列 $A$ 行列表現に現れるは可逆である。したがって、逆変換の行列表現は次のようになる。 $\left[{\begin{array}{ccc|c}&A^{-1}&&-A^{-1}{\vec {b}}\ \\0&\ldots &0&1\end{array}}\right].$

可逆なアフィン変換（アフィン空間からそれ自身への変換）はアフィン群を形成し、その一般線形群は次数である。 $n$ 部分群として、またそれ自体が次数の一般線形群の部分群である $n+1$ 。

類似変換は、次の部分群を形成する。 $A$ はスカラーと直交行列の積です。たとえば、アフィン変換が平面上で作用し、行列式が $A$ が 1 または −1 の場合、変換は等面積写像です。このような変換は等アフィン群と呼ばれる部分群を形成します。^{[ 13 ]}等アフィンかつ相似である変換は、ユークリッド距離で取られた平面の等長変換です。

これらの各グループには、方向保存型または正のアフィン変換のサブグループがあります。つまり、行列式が $A$ は正の値です。最後のケースでは、これは3D空間における剛体変換（適切な回転と純粋な平行移動）のグループです。

固定点が存在する場合、それを原点とすることで、アフィン変換は線形変換に帰着します。これにより、変換の分類と理解が容易になる場合があります。例えば、変換を特定の軸に対する特定の角度の回転として記述する方が、変換の全体的な挙動をより明確に把握できる可能性があります。ただし、これは用途や状況によって異なります。

アフィンマップ

アフィン写像 $f\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}$ 2 つのアフィン空間間の写像は、点上の写像であり、ベクトル (つまり、空間の点間のベクトル) に線形に作用します。記号で表すと、 $f$ 線形変換を決定する $\varphi$ 任意の2点に対して $P,Q\in {\mathcal {A}}$ :

${\overrightarrow {f(P)~f(Q)}}=\varphi ({\overrightarrow {PQ}})$ または $f(Q)-f(P)=\varphi (Q-P).$

この定義は、以下のように他のいくつかの方法でも解釈できます。

起源が $O\in {\mathcal {A}}$ 選ばれ、 $B$ そのイメージを表す $f(O)\in {\mathcal {B}}$ すると、任意のベクトルに対して、 ${\vec {x}}$ :

$f\colon (O+{\vec {x}})\mapsto (B+\varphi ({\vec {x}})).$

起源が $O'\in {\mathcal {B}}$ も選択され、これはアフィン変換として分解できる。 $g\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}$ 送信 $O\mapsto O'$ すなわち

$g\colon (O+{\vec {x}})\mapsto (O'+\varphi ({\vec {x}})),$ 続いてベクトルによる変換 ${\vec {b}}={\overrightarrow {O'B}}$ 。

結論としては、直感的に言えば、 $f$ 翻訳と線形マップから構成される。

代替定義

2つのアフィン空間が与えられた場合 ${\mathcal {A}}$ そして ${\mathcal {B}}$ 同じフィールド上で、関数 $f\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}$ すべてのファミリーに対して、がアフィン写像である場合に限り、 $\{(P_{i},\lambda _{i})\}_{i\in I}$ 重み付きポイントの ${\mathcal {A}}$ そのため $\sum _{i\in I}\lambda _{i}=1,$ ^[ 14 ^] $f\left(\sum _{i\in I}\lambda _{i}P_{i}\right)=\sum _{i\in I}\lambda _{i}f(P_{i}).$ 言い換えると、 $f$ 重心を保存します。

例

させて ${\mathcal {A}}$ 3次元ユークリッド空間とする。 ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {A}}$ 平面であり、両方とも直交座標系を備えている。 $f\colon \,{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}$ 平行投影である場合、またはより一般的には、軸測投影によって生成される場合、 $f$ アフィンかつ全射である。したがって、次のように表すことができる。 ${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}\longmapsto {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}=A{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}+\,b$ 行列を用いて $A\in \mathbb {R} ^{2\times 3}$ ランク2の列ベクトル $b\in \mathbb {R} ^{2}.$ 万一に備えて $b=(0,0)^{\mathsf {T}},$ これについては、アクソノメトリーの「座標計算」のセクションでより詳しく説明されています。

歴史

数学用語としての「アフィン」という言葉は、オイラーの1748年の著書『無限解析入門』の中で曲線の接線に関連して定義されている。^{[ 15 ]}フェリックス・クラインは「アフィン変換」という用語をメビウスとガウスに帰している。^{[ 10 ]}

画像変換

デジタル画像処理への応用において、アフィン変換は、ゴムシートに印刷してシートの端を平面に平行に伸ばすことに類似しています。この変換はピクセルを移動させるため、移動したピクセルの値を近似するために強度補間が必要になります。画像処理アプリケーションにおける画像変換の標準は双三次補間です。アフィン変換は、次の例に示すように、画像を拡大縮小、回転、平行移動、鏡像反転、せん断します。^{[ 16 ]}

アフィン変換は、2つ以上の画像を位置合わせ（レジストレーション）するレジストレーション処理に適用できます。画像レジストレーションの例としては、複数の画像を合成してパノラマ画像を生成することが挙げられます。

アフィンワープ

アフィン変換は平行線を保持します。しかし、伸縮変換とせん断変換は形状を歪ませます。次の例がそれを示しています。

これは画像歪みの例です。ただし、アフィン変換では曲面への投影や放射状の歪みはできません。

飛行機の中で

ユークリッド平面上のすべてのアフィン変換は、平行移動と点を固定するアフィン変換の合成であり、後者は

相似変換、
固定点を中心とした回転、
2 方向 (必ずしも垂直ではない) でのスケーリング、場合によっては負のスケーリング係数を含む。これには反射が含まれる。
せん断マッピング
スクイーズマッピング。

ユークリッド平面上の2つの非退化三角形ABCとA′B′C′が与えられたとき、 AをA′に、BをB′に、CをC′に写像する一意のアフィン変換Tが存在する。ABCとA′B′C′はそれぞれアフィン座標系と重心座標系を定義する。点Pが与えられたとき、点T (P)は、第1の座標系におけるPの座標と、第2の座標系におけるPの座標が同じである点である。

アフィン変換は長さや角度を尊重しません。面積を定数倍します。

A′B′C′の面積/ ABCの面積。

与えられたTは、直接的（向きを尊重）または間接的（向きを反転）のいずれかであり、これは三角形の向きを比較することによって決定できます。

例

実際の数字を超えて

機能 $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;f(x)=mx+c$ と $m$ そして $c$ で $\mathbb {R}$ そして $m\neq 0$ は、まさに実数直線のアフィン変換である。

平面幾何学において

で $\mathbb {R} ^{2}$ 左図に示す変換は、以下のマップを使用して行われます。

${\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}0&1\\2&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-100\\-100\end{bmatrix}}$

元の三角形（赤色）の3つの頂点を変換すると、新しい三角形（青色）を形成する3つの新しい頂点が得られます。この変換により、元の三角形は歪み、平行移動されます。

実際、すべての三角形はアフィン変換によって互いに関連付けられています。これはすべての平行四辺形にも当てはまりますが、すべての四角形に当てはまるわけではありません。

注記

↑ Berger 1987、p. 38。
↑サミュエル 1988、p. 11。
↑ Snapper & Troyer 1989、p. 65。
↑ Snapper & Troyer 1989、p. 66。
↑ Snapper & Troyer 1989、p. 69。
↑ Snapper & Troyer 1989、p. 59。
↑ Snapper & Troyer 1989、p. 76,87。
↑ Snapper & Troyer 1989、p. 86。
↑ Wan 1993、pp. 19–20。
1 2クライン 1948、p. 70。
↑ブラナン、エスプレン、グレイ、1999 年、p. 53.
↑ラインハルト・シュルツ。「アフィン変換と凸性」（PDF）。 2017年2月27日取得。
↑オズワルド・ヴェブレン（1918）射影幾何学、第2巻、105-7頁。
↑ Schneider, Philip K.; Eberly, David H. (2003). Geometric Tools for Computer Graphics . Morgan Kaufmann. p. 98. ISBN 978-1-55860-594-7。
↑オイラー、レオンハルト (1748)。『analysin infinitorum』の紹介（ラテン語）。 Vol. II. 第 II 巻、宗派。 XVIII、芸術。 442
↑ゴンザレス、ラファエル (2008)。『デジタル画像処理第3版』ピアソンホール。ISBN 9780131687288。

参考文献

ベルガー、マルセル（1987）、『幾何学 I』、ベルリン：シュプリンガー、ISBN 3-540-11658-3
ブランナン、デイビッド A.、エスプレン、マシュー F.、グレイ、ジェレミー J. (1999)、幾何学、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-59787-6
野水勝美;佐々木 S. (1994)、アフィン微分幾何学(新版 )、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-44177-3
クライン、フェリックス（1948）[1939]、『高度な視点からの初等数学：幾何学』、ドーバー出版
サミュエル、ピエール（1988）、『射影幾何学』、シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 0-387-96752-4
Sharpe, RW (1997).微分幾何学：カルタンによるクラインのエルランゲン・プログラムの一般化. ニューヨーク：Springer. ISBN 0-387-94732-9。
スナッパー、エルンスト、トロイヤー、ロバート J. (1989) [1971]、『メトリックアフィンジオメトリ』、ドーバー、ISBN 978-0-486-66108-7
Wan, Zhe-xian (1993), Geometry of Classical Groups over Finite Fields , Chartwell-Bratt, ISBN 0-86238-326-9

外部リンク

ウィキメディア・コモンズにあるアフィン変換に関連するメディア
「アフィン変換」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
幾何学的演算：アフィン変換、R. Fisher、S. Perkins、A. Walker、E. Wolfart。
ワイスタイン、エリック W. 「アフィン変換」。マスワールド。
アフィン変換（ベルナール・ヴュイユミエ、 Wolfram Demonstrations Project）。
MATLABによるアフィン変換

[FOOTNOTEBerger198738-1] Berger 1987、p. 38。

[FOOTNOTESamuel198811-2] サミュエル 1988、p. 11。

[FOOTNOTESnapperTroyer198965-3] Snapper & Troyer 1989、p. 65。

[FOOTNOTESnapperTroyer198966-4] Snapper & Troyer 1989、p. 66。

[FOOTNOTESnapperTroyer198969-5] Snapper & Troyer 1989、p. 69。

[FOOTNOTESnapperTroyer198959-6] Snapper & Troyer 1989、p. 59。

[FOOTNOTESnapperTroyer198976,87-7] Snapper & Troyer 1989、p. 76,87。

[FOOTNOTESnapperTroyer198986-8] Snapper & Troyer 1989、p. 86。

[FOOTNOTEWan199319–20-9] Wan 1993、pp. 19–20。

[FOOTNOTEKlein194870-10] 1 2クライン 1948、p. 70。

[FOOTNOTEBrannanEsplenGray199953-11] ブラナン、エスプレン、グレイ、1999 年、p. 53.

[res-12] ラインハルト・シュルツ。「アフィン変換と凸性」（PDF）。 2017年2月27日取得。

[13] オズワルド・ヴェブレン（1918）射影幾何学、第2巻、105-7頁。

[14] Schneider, Philip K.; Eberly, David H. (2003). Geometric Tools for Computer Graphics . Morgan Kaufmann. p. 98. ISBN 978-1-55860-594-7。

[Euler-15] オイラー、レオンハルト (1748)。『analysin infinitorum』の紹介（ラテン語）。 Vol. II. 第 II 巻、宗派。 XVIII、芸術。 442

[16] ゴンザレス、ラファエル (2008)。『デジタル画像処理第3版』ピアソンホール。ISBN 9780131687288。

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