超越関数

超超越関数 または超越的超越関数は、（整数）の係数を持ち、代数的初期条件を持つ代数微分方程式の解ではない超越 解析関数です。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

「超越論的に超越的」という用語は1896年にEHムーアによって導入され、「超超越的」という用語は1914年にDDモルドゥハイ・ボルトフスコイによって導入されました。 ^{[1] [2]}

標準的な定義の一つ（若干のバリエーションがある）は、次のような 微分方程式の解を定義する。

${\displaystyle F\left(x,y,y',\cdots ,y^{(n)}\right)=0}$、

ここで は定数係数の多項式であり、代数的に超越的または微分代数的である。代数的に超越的ではない超越関数は超越的に超越的である。ヘルダーの定理はガンマ関数がこの範疇に入ることを示している。^{[3] [4] [5]}${\displaystyle F}$

超越関数は通常、ガンマ関数などの関数方程式の解として現れます。

• 代数体のゼータ関数、特にリーマンゼータ関数
• ガンマ関数（ヘルダーの定理を参照 ）

• 指数関数、対数関数、三角関数、双曲線関数。
• 一般化された超幾何関数。ベッセル関数などの特殊なケースを含みます（代数的な特殊なケースは除きます）。

• すべての代数関数、特に多項式。

• 超越数

• Loxton、JH、Poorten、AJ van der、「超超越関数のクラス」、Aequationes Mathematicae、定期刊行物第 16 巻
• Mahler、K.、「Arithmetische Eigenschaften einer Klasse transzendental-transzendenter Funktionen」、Math。 Z. 32 (1930) 545-585。
• Morduhaĭ-Boltovskoĭ, D. (1949)、「超超越関数と超超越数について」、Doklady Akademii Nauk SSSR、新シリーズ（ロシア語）、64：21–24、MR  0028347