Loading article…
数学では、区間[ a , b ]上の実数値関数 f が次の特性を持つ場合、その関数 は特異関数であるといわれます。
- f は[ a , b ] 上で連続である。(**)
- 測度0の集合Nが存在し、 Nの外側のすべてのxに対して導関数f ′ ( x )が存在し、0である。つまり、fの導関数はほぼすべての場所でゼロになる。
- f は[ a , b ]上で定数ではありません。
特異関数の標準的な例としては、カントール関数が挙げられます。これは悪魔の階段 (特異関数全般にも使用される用語) と呼ばれることもあります。ただし、この名前が付けられた関数は他にもあります。1 つは円写像によって定義されます。
すべてのx ≤ aに対してf ( x ) = 0であり、すべてのx ≥ bに対してf ( x ) = 1 である場合、関数は、離散確率変数(各ポイントの確率がゼロであるため) でも絶対連続確率変数(存在するすべての場所で確率密度がゼロであるため) でもない確率変数の累積分布関数を表すと見なすことができます。
特異関数は、例えば固体や磁性体における空間的に変調された位相や構造のシーケンスとして現れ、フレンケル・コントロバ・モデルやANNNIモデル、またいくつかの力学系によって典型的な形で記述されます。おそらく最も有名なのは、分数量子ホール効果の中心にある関数です。
特異点を持つ関数を指す場合
一般的な数学的解析、より具体的には実解析、複素解析、微分方程式について議論する場合、数学的特異点を含む関数を「特異関数」と呼ぶのが一般的です。これは、ある点または境界で無限に発散する関数について言及する場合に特に当てはまります。たとえば、「1/x は原点で特異になるため、1/xは特異関数です」と言うことができます。
分布関数解析または一般化関数解析と呼ばれる分野では、特異点を含む関数を扱うための高度な手法が開発されています。偏微分方程式など で特異関数を使用できるようにする弱導関数が定義されています。
参照
参考文献
（**）この条件は参考文献 [1]に依存する。
- ルベーグ、H.（1955–1961）、実変数関数の理論、F.ウンガー
- ハルモス、PR（1950）、測度論、ノストランド対
- ロイデン、HL (1988)、実分析、プレンティスホール、ニュージャージー州イングルウッドクリフス
- Lebesgue, H. (1928)、Leçons sur l'intégration et la récherche des fonctions primitives、Gauthier-Villars