互いに素な因数上の値の積に等しい関数
数論 において 、 乗法関数は、 f (1) = 1
であり、 a と bが 互いに素で ある とき、 正の 整数 nの 算術関数 f ( n )です 。
ふ （ 1つの b ） = ふ （ 1つの ） ふ （ b ）
{\displaystyle f(ab)=f(a)f(b)}
算術関数 f ( n ) は、 f ( 1) = 1 かつ すべて の正の整数 a と b に対して 、 それら が 互いに素でなくても f ( ab ) = f ( a ) f ( b )が成り立つ場合、 完全 乗法関数(または全乗法関数) であると言われます 。
例 数式を書きやすくするために、いくつかの乗算関数が定義されています。
1( n ): 定数関数、1( n ) = 1 (完全に乗法)で定義される Id( n ): 恒等関数 、Id( n ) = n (完全に乗法)で定義される Id k ( n ):任意の複素数 k （完全に乗法的な）に対してId k ( n ) = n k で定義されるべき乗関数 。特別な場合として、
Id 0 ( n ) = 1( n ) であり、 Id 1 ( n ) = Id( n ) です。 ε ( n ): n = 1 の場合は ε ( n ) = 1 、それ以外の場合は 0 で定義される関数。 ディリクレ畳み込み の 乗算単位 、または単に 単位関数 (完全に乗法的な関数) と呼ばれることもあります。u ( n )と表記されることもありますが、 μ ( n )と混同しないように注意してください 。 1 C ( n ) は、 特定の集合 C に対する集合 C ⊂ Zの 指示関数 です。指示関数 1 C ( n ) が乗法的となるのは、集合 C が 互いに素な任意の数 a と bに対して次の性質を持つときです。つまり、数 a と b が 両方とも C に含まれる場合のみ、 積 abが C に含まれるということです。これは、 C が平方数、立方数、または k 乗の集合である 場合に当てはまります。また、 平方数のない 数の集合など、このような関数を生成する他の集合 (乗法に関して閉じていないもの) もあります 。 乗法関数の他の例としては、次のような数論で重要な多くの関数があります。
gcd( n , k ): n と k の 最大公約数を n の関数として求めます。 ここで、 k は固定整数です。
φ （ ん ）
{\displaystyle \varphi (n)}
: オイラーのトーティエント関数、nと 互いに素であるが n より大きくない 正の整数を数える
φ
{\displaystyle \varphi}
μ ( n ): メビウス関数、 平方根のない 数 の素因数の偶奇性（奇数の場合は -1、偶数の場合は +1） 。n が平方根のない数でない場合は 0 σ k ( n ): 約数関数。これは、 n のすべての正の約数の k 乗の合計です （ k は任意の 複素数 ）。特別な場合には、
σ 0 ( n ) = d ( n ) は n の正の 約数 の個数 、 σ 1 ( n ) = σ ( n ) は、 n のすべての正の約数の合計です 。 単位 約数 の k 乗の 和は σ* k ( n )と表される 。
σ
け
∗
（ ん ） =
∑
d ∣ ん
いいえ （ d 、 ん
/
d ） = 1
d
け
。
{\displaystyle \sigma _{k}^{*}(n)=\sum _{d\,\mid \,n \atop \gcd(d,\,n/d)=1}\!\!d ^{k}.}
a ( n ): 位数 n の非同型アーベル群の数 。 λ ( n ): リウヴィル関数 、 λ ( n ) = (−1) Ω( n )。 ここで、 Ω( n ) は、 n を 割り切る素数の総数（重複度を含めて数える）です 。（完全に乗法的です）。 γ ( n ) は γ ( n ) = (−1) ω (n) で定義され 、 加法関数 ω ( n ) は n を 割り切る異なる素数の数です 。 τ ( n ): ラマヌジャン タウ関数 。 すべての ディリクレ指標 は完全に乗法的な関数である。例えば
非乗法関数の例としては、算術関数 r 2 ( n )があります。これは、 正 、 負 、または ゼロ の 2 つの整数の平方和として n を表現する方法の数です。方法の数を数える際には、順序を逆にすることができます。例:
1 = 1 2 + 0 2 = (−1) 2 + 0 2 = 0 2 + 1 2 = 0 2 + (−1) 2
したがって r 2 (1) = 4 ≠ 1です。これは関数が乗法ではないことを示しています。ただし、 r 2 ( n )/4は乗法です。
整数シーケンスのオンライン百科事典 では 、乗法関数の値のシーケンスにはキーワード「mult」が使用されています。
非乗算関数の他の例については、
算術関数を 参照してください。
プロパティ 乗法関数は、 算術の基本定理 の帰結として、 素数 の累乗の値によって完全に決定されます。したがって、 n が 異なる素数の累乗の積、たとえば n = p a q b ... である場合、
f ( n ) = f ( p a ) f ( q b ) ...
となります。
乗法関数のこの特性により、
n = 144 = 2 4 · 3 2 の次の例のように、計算の必要性が大幅に軽減されます。
d （ 144 ） =
σ
0
（ 144 ） =
σ
0
（
2
4
）
σ
0
（
3
2
） = （
1
0
+
2
0
+
4
0
+
8
0
+
16
0
） （
1
0
+
3
0
+
9
0
） = 5 ⋅ 3 = 15
{\displaystyle d(144)=\sigma _{0}(144)=\sigma _{0}(2^{4})\,\sigma _{0}(3^{2})=(1^{0}+2^{0}+4^{0}+8^{0}+16^{0})(1^{0}+3^{0}+9^{0})=5\cdot 3=15}
σ （ 144 ） =
σ
1
（ 144 ） =
σ
1
（
2
4
）
σ
1
（
3
2
） = （
1
1
+
2
1
+
4
1
+
8
1
+
16
1
） （
1
1
+
3
1
+
9
1
） = 31 ⋅ 13 = 403
{\displaystyle \sigma (144)=\sigma _{1}(144)=\sigma _{1}(2^{4})\,\sigma _{1}(3^{2})=(1^{1}+2^{1}+4^{1}+8^{1}+16^{1})(1^{1}+3^{1}+9^{1})=31\cdot 13=403}
σ
∗
（ 144 ） =
σ
∗
（
2
4
）
σ
∗
（
3
2
） = （
1
1
+
16
1
） （
1
1
+
9
1
） = 17 ⋅ 10 = 170
{\displaystyle \sigma^{*}(144)=\sigma^{*}(2^{4})\,\sigma^{*}(3^{2})=(1^{1}+16^{1})(1^{1}+9^{1})=17\cdot 10=170}
同様に、次のようになります。
φ （ 144 ） = φ （
2
4
） φ （
3
2
） = 8 ⋅ 6 = 48
{\displaystyle \varphi (144)=\varphi (2^{4})\,\varphi (3^{2})=8\cdot 6=48}
一般に、 f ( n )が乗法関数で、 a 、 bが 任意の2つの正の整数である場合、
f ( a ) · f ( b ) = f ( gcd ( a 、 b )) · f ( lcm ( a 、 b )). すべての完全な乗法関数は モノイド の 準同型 であり、素数への制限によって完全に決定されます。
畳み込み f と g が 2 つの乗法関数である場合、 f と g の ディリクレ 畳み込みという 新しい乗法関数が定義されます 。
この和は n のすべての正の約数 d に及びます。この操作により、すべての乗法関数の集合は アーベル群 になります。 単位元は ε です 。畳み込みは、加算に対して可換、結合的、分配的です。
ふ ∗ グ
{\displaystyle f*g}
（ ふ ∗ グ ） （ ん ） =
∑
d
|
ん
ふ （ d ） グ
（
ん d
）
{\displaystyle (f\,*\,g)(n)=\sum _{d|n}f(d)\,g\left({\frac {n}{d}}\right)}
上で説明した乗法関数間の関係は次のとおりです。
μ ∗ 1 = ε
{\displaystyle \mu *1=\バレプシロン }
( メビウスの反転公式 )
（ μ
識別子
け
） ∗
識別子
け
= ε
{\displaystyle (\mu \operatorname {Id} _{k})*\operatorname {Id} _{k}=\varepsilon }
（一般化メビウス反転）
φ
∗
1
=
Id
{\displaystyle \varphi *1=\operatorname {Id} }
d
=
1
∗
1
{\displaystyle d=1*1}
σ
=
Id
∗
1
=
φ
∗
d
{\displaystyle \sigma =\operatorname {Id} *1=\varphi *d}
σ
k
=
Id
k
∗
1
{\displaystyle \sigma _{k}=\operatorname {Id} _{k}*1}
Id
=
φ
∗
1
=
σ
∗
μ
{\displaystyle \operatorname {Id} =\varphi *1=\sigma *\mu }
Id
k
=
σ
k
∗
μ
{\displaystyle \operatorname {Id} _{k}=\sigma _{k}*\mu }
ディリクレ畳み込みは一般的な算術関数に対して定義でき、環構造、つまり ディリクレ環を 生成します。
2 つの乗法関数のディリクレ 畳み込み も乗法関数です。この事実の証明は、互いに素な に対する次の展開によって与えられます 。
a
,
b
∈
Z
+
{\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} ^{+}}
(
f
∗
g
)
(
a
b
)
=
∑
d
|
a
b
f
(
d
)
g
(
a
b
d
)
=
∑
d
1
|
a
∑
d
2
|
b
f
(
d
1
d
2
)
g
(
a
b
d
1
d
2
)
=
∑
d
1
|
a
f
(
d
1
)
g
(
a
d
1
)
×
∑
d
2
|
b
f
(
d
2
)
g
(
b
d
2
)
=
(
f
∗
g
)
(
a
)
⋅
(
f
∗
g
)
(
b
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}(f\ast g)(ab)&=\sum _{d|ab}f(d)g\left({\frac {ab}{d}}\right)\\&=\sum _{d_{1}|a}\sum _{d_{2}|b}f(d_{1}d_{2})g\left({\frac {ab}{d_{1}d_{2}}}\right)\\&=\sum _{d_{1}|a}f(d_{1})g\left({\frac {a}{d_{1}}}\right)\times \sum _{d_{2}|b}f(d_{2})g\left({\frac {b}{d_{2}}}\right)\\&=(f\ast g)(a)\cdot (f\ast g)(b).\end{aligned}}}
いくつかの乗法関数のディリクレ級数
∑
n
≥
1
μ
(
n
)
n
s
=
1
ζ
(
s
)
{\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}}
∑
n
≥
1
φ
(
n
)
n
s
=
ζ
(
s
−
1
)
ζ
(
s
)
{\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}}
∑
n
≥
1
d
(
n
)
2
n
s
=
ζ
(
s
)
4
ζ
(
2
s
)
{\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {d(n)^{2}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)^{4}}{\zeta (2s)}}}
∑
n
≥
1
2
ω
(
n
)
n
s
=
ζ
(
s
)
2
ζ
(
2
s
)
{\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}}}
ディリクレ級数 に関する記事にさらに多くの例が示されています 。
有理数演算関数 算術関数 f が 位の有理算術関数であるとは、完全に乗法的な関数 g 1 ,..., g r ,
h 1 ,..., h s が存在し
、逆関数がディリクレ畳み込みに関して となる ときです
。 位の有理算術関数 はトーティエント関数と呼ばれ、 位の有理算術関数は 二次関数または特殊乗法関数と呼ばれます。オイラー関数は トーティエント関数であり、除数関数 は二次関数です。完全に乗法的な関数は 位の有理算術関数です。 リウヴィル関数は 完全に乗法的です。メビウス関数 は 位の有理算術関数です。慣例により、 ディリクレ畳み込みの下の 単位元は 位の有理算術関数です 。
(
r
,
s
)
{\displaystyle (r,s)}
f
=
g
1
∗
⋯
∗
g
r
∗
h
1
−
1
∗
⋯
∗
h
s
−
1
,
{\displaystyle f=g_{1}\ast \cdots \ast g_{r}\ast h_{1}^{-1}\ast \cdots \ast h_{s}^{-1},}
(
1
,
1
)
{\displaystyle (1,1)}
(
2
,
0
)
{\displaystyle (2,0)}
φ
(
n
)
{\displaystyle \varphi (n)}
σ
k
(
n
)
{\displaystyle \sigma _{k}(n)}
(
1
,
0
)
{\displaystyle (1,0)}
λ
(
n
)
{\displaystyle \lambda (n)}
μ
(
n
)
{\displaystyle \mu (n)}
(
0
,
1
)
{\displaystyle (0,1)}
ε
{\displaystyle \varepsilon }
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0,0)}
すべての有理算術関数は乗法関数です。乗法関数 f が の有理算術関数となるのは、そのベル級数が
すべての素数に対して の 形である場合のみです
。
(
r
,
s
)
{\displaystyle (r,s)}
f
p
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
f
(
p
n
)
x
n
=
(
1
−
h
1
(
p
)
x
)
(
1
−
h
2
(
p
)
x
)
⋯
(
1
−
h
s
(
p
)
x
)
(
1
−
g
1
(
p
)
x
)
(
1
−
g
2
(
p
)
x
)
⋯
(
1
−
g
r
(
p
)
x
)
{\displaystyle {\displaystyle f_{p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f(p^{n})x^{n}={\frac {(1-h_{1}(p)x)(1-h_{2}(p)x)\cdots (1-h_{s}(p)x)}{(1-g_{1}(p)x)(1-g_{2}(p)x)\cdots (1-g_{r}(p)x)}}}}
p
{\displaystyle p}
有理算術関数の概念は、R. Vaidyanathaswamy (1931) に由来します。
ブッシュ＝ラマヌジャン恒等式 乗法関数は、 次のような
完全乗法関数が存在する場合、特殊乗法関数と呼ばれます。
f
{\displaystyle f}
f
A
{\displaystyle f_{A}}
f
(
m
)
f
(
n
)
=
∑
d
∣
(
m
,
n
)
f
(
m
n
/
d
2
)
f
A
(
d
)
{\displaystyle f(m)f(n)=\sum _{d\mid (m,n)}f(mn/d^{2})f_{A}(d)}
すべての正の整数 およびに対して 、または同等に
m
{\displaystyle m}
n
{\displaystyle n}
f
(
m
n
)
=
∑
d
∣
(
m
,
n
)
f
(
m
/
d
)
f
(
n
/
d
)
μ
(
d
)
f
A
(
d
)
{\displaystyle f(mn)=\sum _{d\mid (m,n)}f(m/d)f(n/d)\mu (d)f_{A}(d)}
全ての正の整数 およびに対して 、 は メビウス関数である。これらはブシェ・ラマヌジャン恒等式として知られている。1906年にE.ブシェは恒等式を述べた。
m
{\displaystyle m}
n
{\displaystyle n}
μ
{\displaystyle \mu }
σ
k
(
m
)
σ
k
(
n
)
=
∑
d
∣
(
m
,
n
)
σ
k
(
m
n
/
d
2
)
d
k
,
{\displaystyle \sigma _{k}(m)\sigma _{k}(n)=\sum _{d\mid (m,n)}\sigma _{k}(mn/d^{2})d^{k},}
そして1915年にS.ラマヌジャンは逆形式を与えた。
σ
k
(
m
n
)
=
∑
d
∣
(
m
,
n
)
σ
k
(
m
/
d
)
σ
k
(
n
/
d
)
μ
(
d
)
d
k
{\displaystyle \sigma _{k}(mn)=\sum _{d\mid (m,n)}\sigma _{k}(m/d)\sigma _{k}(n/d)\mu (d)d^{k}}
について 。S. Chowla は 1929 年に一般の逆形式を与えました 。PJ McCarthy (1986) を参照してください。Busche-Ramanujan 恒等式の研究は、Busche と Ramanujan によって与えられた特殊なケースをよりよく理解しようとする試みから始まりました。
k
=
0
{\displaystyle k=0}
k
{\displaystyle k}
2次関数は、 のブシェ・ラマヌジャン恒等式を満たすこと が知られています 。実際、2次関数は特別な乗法関数とまったく同じです。トーティエントは制限されたブシェ・ラマヌジャン恒等式を満たします。詳細については、R. Vaidyanathaswamy (1931) を参照してください。
f
=
g
1
∗
g
2
{\displaystyle f=g_{1}\ast g_{2}}
f
A
=
g
1
g
2
{\displaystyle f_{A}=g_{1}g_{2}}
乗法関数 F q [ X ] A = F q [ X ] 、 q 個の元を持つ 有限体 上の多項式環と します 。A は 主イデアル領域 な ので、 Aは 一意の因数分解領域 です 。
A 上の 複素数値関数は、 f と g が 互いに素で ある場合 に 乗法的であると 呼ばれます 。
λ
{\displaystyle \lambda }
λ
(
f
g
)
=
λ
(
f
)
λ
(
g
)
{\displaystyle \lambda (fg)=\lambda (f)\lambda (g)}
ゼータ関数とディリクレ級数 F q [ X ] h を多項式算術関数（つまり A 上の単項多項式の集合上の関数）とする 。 対応するディリクレ級数は次のように定義される。
D
h
(
s
)
=
∑
f
monic
h
(
f
)
|
f
|
−
s
,
{\displaystyle D_{h}(s)=\sum _{f{\text{ monic}}}h(f)|f|^{-s},}
ここで、 for は if を 設定し 、 それ以外の場合は if を設定します。
g
∈
A
,
{\displaystyle g\in A,}
|
g
|
=
q
deg
(
g
)
{\displaystyle |g|=q^{\deg(g)}}
g
≠
0
,
{\displaystyle g\neq 0,}
|
g
|
=
0
{\displaystyle |g|=0}
多項式ゼータ関数は
ζ
A
(
s
)
=
∑
f
monic
|
f
|
−
s
.
{\displaystyle \zeta _{A}(s)=\sum _{f{\text{ monic}}}|f|^{-s}.}
N の場合と同様に 、乗法関数 h のすべてのディリクレ級数には積表現（ オイラー積 ）があります。
D
h
(
s
)
=
∏
P
(
∑
n
=
0
∞
h
(
P
n
)
|
P
|
−
s
n
)
,
{\displaystyle D_{h}(s)=\prod _{P}\left(\sum _{n\mathop {=} 0}^{\infty }h(P^{n})|P|^{-sn}\right),}
ここで、積はすべてのモニック既約多項式 P 上で実行されます。たとえば、ゼータ関数の積表現は整数の場合と同じです。
ζ
A
(
s
)
=
∏
P
(
1
−
|
P
|
−
s
)
−
1
.
{\displaystyle \zeta _{A}(s)=\prod _{P}(1-|P|^{-s})^{-1}.}
古典的な ゼータ関数 とは異なり、 は単純な有理関数です。
ζ
A
(
s
)
{\displaystyle \zeta _{A}(s)}
ζ
A
(
s
)
=
∑
f
|
f
|
−
s
=
∑
n
∑
deg
(
f
)
=
n
q
−
s
n
=
∑
n
(
q
n
−
s
n
)
=
(
1
−
q
1
−
s
)
−
1
.
{\displaystyle \zeta _{A}(s)=\sum _{f}|f|^{-s}=\sum _{n}\sum _{\deg(f)=n}q^{-sn}=\sum _{n}(q^{n-sn})=(1-q^{1-s})^{-1}.}
同様に、 f と g が 2つの多項式算術関数である場合、 f と g の ディリクレ 畳み込みである f * g を 次のように定義します。
(
f
∗
g
)
(
m
)
=
∑
d
∣
m
f
(
d
)
g
(
m
d
)
=
∑
a
b
=
m
f
(
a
)
g
(
b
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}(f*g)(m)&=\sum _{d\mid m}f(d)g\left({\frac {m}{d}}\right)\\&=\sum _{ab=m}f(a)g(b),\end{aligned}}}
ここで、和は m の すべてのモニック 因子 dにわたって、またはそれと同等に、積が m であるモニック多項式の すべてのペア ( a 、 b ) にわたっています。恒等式 は依然として保持されます。
D
h
D
g
=
D
h
∗
g
{\displaystyle D_{h}D_{g}=D_{h*g}}
多変量 多変量関数は乗法モデル推定量を使って構築できる。A の 行列関数は 次のように定義される。
D
N
=
N
2
×
N
(
N
+
1
)
/
2
{\displaystyle D_{N}=N^{2}\times N(N+1)/2}
合計は 製品全体に 分配できる
y
t
=
∑
(
t
/
T
)
1
/
2
u
t
=
∑
(
t
/
T
)
1
/
2
G
t
1
/
2
ϵ
t
{\displaystyle y_{t}=\sum (t/T)^{1/2}u_{t}=\sum (t/T)^{1/2}G_{t}^{1/2}\epsilon _{t}}
Σ(.) を 効率的に 推定する ために、次の2つの ノンパラメトリック回帰 を検討することができます。
y
~
t
2
=
y
t
2
g
t
=
σ
2
(
t
/
T
)
+
σ
2
(
t
/
T
)
(
ϵ
t
2
−
1
)
,
{\displaystyle {\tilde {y}}_{t}^{2}={\frac {y_{t}^{2}}{g_{t}}}=\sigma ^{2}(t/T)+\sigma ^{2}(t/T)(\epsilon _{t}^{2}-1),}
そして
y
t
2
=
σ
2
(
t
/
T
)
+
σ
2
(
t
/
T
)
(
g
t
ϵ
t
2
−
1
)
.
{\displaystyle y_{t}^{2}=\sigma ^{2}(t/T)+\sigma ^{2}(t/T)(g_{t}\epsilon _{t}^{2}-1).}
したがって、推定値は
L
t
(
τ
;
u
)
=
∑
t
=
1
T
K
h
(
u
−
t
/
T
)
[
l
n
τ
+
y
t
2
g
t
τ
]
{\displaystyle L_{t}(\tau ;u)=\sum _{t=1}^{T}K_{h}(u-t/T){\begin{bmatrix}ln\tau +{\frac {y_{t}^{2}}{g_{t}\tau }}\end{bmatrix}}}
既知 および未知の に対する局所尤度関数 。
y
t
2
{\displaystyle y_{t}^{2}}
g
t
{\displaystyle g_{t}}
σ
2
(
t
/
T
)
{\displaystyle \sigma ^{2}(t/T)}
一般化 算術関数が準乗法的であるとは、 と
なるすべての正の整数に対して と なる
非ゼロの定数が存在する場合です 。この概念は Lahiri (1972) によって生まれました。
f
{\displaystyle f}
c
{\displaystyle c}
c
f
(
m
n
)
=
f
(
m
)
f
(
n
)
{\displaystyle c\,f(mn)=f(m)f(n)}
m
,
n
{\displaystyle m,n}
(
m
,
n
)
=
1
{\displaystyle (m,n)=1}
算術関数 が半乗法的であるとは、0 以外の定数 、正の整数、および
すべての正の整数に対して となる 乗法
的関数が存在する場合です ( が正の整数でない 場合は
という規則が適用されます )。この概念は David Rearick (1966) によるものです。
f
{\displaystyle f}
c
{\displaystyle c}
a
{\displaystyle a}
f
m
{\displaystyle f_{m}}
f
(
n
)
=
c
f
m
(
n
/
a
)
{\displaystyle f(n)=cf_{m}(n/a)}
n
{\displaystyle n}
f
m
(
x
)
=
0
{\displaystyle f_{m}(x)=0}
x
{\displaystyle x}
算術関数 がセルバーグ乗法的であるとは、各素数に対して、有限個 以外のすべての 素数に対して となる非負整数上の 関数が存在し、
すべての正の整数 に対して 、
となる場合を指します。ここで は の標準因数分解における の指数です 。Selberg (1977) を参照してください。
f
{\displaystyle f}
p
{\displaystyle p}
f
p
{\displaystyle f_{p}}
f
p
(
0
)
=
1
{\displaystyle f_{p}(0)=1}
p
{\displaystyle p}
f
(
n
)
=
∏
p
f
p
(
ν
p
(
n
)
)
{\displaystyle f(n)=\prod _{p}f_{p}(\nu _{p}(n))}
n
{\displaystyle n}
ν
p
(
n
)
{\displaystyle \nu _{p}(n)}
p
{\displaystyle p}
n
{\displaystyle n}
半乗法関数とセルバーグ乗法関数のクラスは一致することが知られています。どちらも
すべての正の整数に対して算術恒等式を満たします 。Haukkanen (2012) を参照してください。
f
(
m
)
f
(
n
)
=
f
(
(
m
,
n
)
)
f
(
[
m
,
n
]
)
{\displaystyle f(m)f(n)=f((m,n))f([m,n])}
m
,
n
{\displaystyle m,n}
乗法関数は の準乗法関数であり、準乗法関数は の半乗法関数であること はよく知られており、簡単にわかります 。
c
=
1
{\displaystyle c=1}
a
=
1
{\displaystyle a=1}
参照
参考文献 アポストル、トム・M. （1976） 「解析的数論入門」 、Undergraduate Texts in Mathematics、ニューヨーク・ハイデルベルク：シュプリンガー・フェアラーク、 ISBN 第2章を参照。 978-0-387-90163-3 、 MR 0434929、 Zbl 0335.10001 PJ McCarthy、「算術関数入門」、Universitext、ニューヨーク：Springer-Verlag、1986年。 Hafner, Christian M.; Linton, Oliver (2010). 「多変量乗法ボラティリティモデルの効率的な推定」 (PDF) . Journal of Econometrics . 159 (1): 55–73. doi :10.1016/j.jeconom.2010.04.007. S2CID 54812323. P. Haukkanen (2003). 「特殊な乗法関数のいくつかの特徴」. Int. J. Math. Math. Sci . 37 : 2335–2344. P. Haukkanen (2012). 「乗法関数のクラスの拡張」. East–West Journal of Mathematics . 14 (2): 101–113. DB ラヒリ (1972)。 「次数乗法数論関数」。 数学の方程式 。 8 (3): 316–317。 D. Rearick (1966). 「半乗法関数」. Duke Math. J. 33 : 49–53. L. Tóth (2013). 「Busche-Ramanujan 恒等式の 2 つの一般化」. International Journal of Number Theory . 9 : 1301–1311. R. ヴァイダナタスワミ (1931). 「乗法算術関数の理論」. アメリカ数学会誌 . 33 (2): 579–662. doi : 10.1090/S0002-9947-1931-1501607-1 . S.ラマヌジャン「解析的数論におけるいくつかの公式」メッセンジャー45（1915）、81--84。 E. Busche、Lösung einer Aufgabe über Teileranzahlen。ミット。数学。ゲス。ハム。 4、229--237 (1906) A. セルバーグ: 乗法関数に関する考察。数論の日 (Proc. Conf.、ロックフェラー大学、ニューヨーク、1976)、pp. 232–241、Springer、1977。
外部リンク 
![{\displaystyle f(m)f(n)=f((m,n))f([m,n])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/441b17e748b027ef6f06e39cc1568fd80784aa8c)
