どこでも連続しない関数

数学において、どこでも連続しない関数はどこでも不連続な関数とも呼ばれ、定義域のどの点でも連続しない関数です。 が実数から実数への関数である場合、 はどこでも連続しないとは、各点に対してが存在し、任意の に対して かつ となる点を見つけることができる場合です。したがって、 が任意の固定点にどれだけ近づいたとしても、関数が近傍でない値を取るさらに近い点が存在します。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \delta >0,}$${\displaystyle y}$${\displaystyle |xy|<\delta }$${\displaystyle |f(x)-f(y)|\geq \epsilon }$

この種の関数のより一般的な定義は、絶対値を計量空間の距離関数に置き換えるか、位相空間の連続性の定義を使用することによって得ることができます。

このような関数の一例は、有理数の指示関数で、ディリクレ関数とも呼ばれます。この関数は と表され、定義域と余定義域は両方とも実数に等しくなります。定義により、が有理数の場合、 はに等しく、それ以外の場合はです。 ${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }}$${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle x}$

より一般的には、 が位相空間の任意の部分集合で、 との補集合がともにに稠密である場合、 に値を取りの補集合に値を取る実数値関数はどこも連続しない。このタイプの関数は、もともとピーター・グスタフ・ルジューン・ディリクレによって研究された。^[1]${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle E}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle E}$

関数は、コーシーの関数方程式を満たす場合、加法関数と呼ばれます。 たとえば、が定数である形式のすべての写像は加法的です (実際、線形かつ連続です)。さらに、すべての線形写像はこの形式です ( を取ることによって)。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$$${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\quad {\text{ }}x,y\in \mathbb {R} に対して。}$$${\displaystyle x\mapsto cx,}$${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$${\displaystyle L:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle c:=L(1)}$

すべての線型写像は加法的ですが、すべての加法的写像が線型であるわけではありません。加法的写像が線型であるためには、それが連続する点が存在する必要があり、その場合、加法的写像はどこでも連続です。したがって、すべての非線型加法的関数は、その定義域のすべての点で不連続です。それでも、任意の加法的関数の有理数の任意の実スカラー倍への制限は連続です。明示的には、これはすべての実数に対して、集合への制限が連続関数であることを意味します。したがって、が非線型加法的関数である場合、すべての点はで不連続ですが、の制限が連続である稠密な部分集合にも含まれています(具体的には、 の場合はを取り、の場合はを取ります)。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle r\in \mathbb {R} ,}$${\displaystyle f{\big \vert }_{r\mathbb {Q} }:r\,\mathbb {Q} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle r\,\mathbb {Q} :=\{rq:q\in \mathbb {Q} \}}$${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle f\vert_{D}:D\to \mathbb{R} }$${\displaystyle D:=x\,\mathbb {Q} }$${\displaystyle x\neq 0,}$${\displaystyle D:=\mathbb {Q} }$${\displaystyle x=0}$

たとえばノルム空間などの2 つの位相ベクトル空間間の線型写像が連続 (あらゆる場所) となるのは、線型写像が連続する点が存在する場合のみであり、その場合、線型写像は一様連続でもあります。したがって、すべての線型写像は、あらゆる場所で連続しているか、どこでも連続していないかのどちらかです。すべての線型関数は線型写像であり、すべての無限次元ノルム空間には、不連続な線型関数が存在します。

コンウェイの基数 13 の関数は、すべての点で不連続です。

実関数がどこも連続ではないとは、その自然な超実数拡大が、あらゆるが に無限に近く、その差が感知できる（つまり、無限小ではない）という性質を持つ場合をいいます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f(x)-f(y)}$

• ブルームバーグの定理 – 実関数がどこでも連続していなくても、への制限が連続するようなの稠密な部分集合が存在します。${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle D}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle D}$
• トーマ関数(ポップコーン関数とも呼ばれる) - すべての無理数で連続し、すべての有理数で不連続となる関数。
• ワイエルシュトラス関数–どこでも（その定義域内で）連続だがどこでも微分不可能な 関数。

• 「ディリクレ関数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• ディリクレ関数 — MathWorldより
• 修正ディリクレ関数は、George Beck、The Wolfram Demonstrations Projectによって 2019-05-02 にWayback Machineにアーカイブされました。