局所的に定数関数

数学において、局所定数関数とは、位相空間から集合への関数で、その定義域のすべての点の周囲に、その点の近傍が存在し、その近傍では定数関数に制限されるという性質を持つ関数のことである。

させて${\displaystyle f:X\to S}$位相空間からの関数である${\displaystyle X}$セットに${\displaystyle S.}$ もし ${\displaystyle x\in X}$それから${\displaystyle f}$は局所的に一定であると言われている${\displaystyle x}$近隣が存在する場合${\displaystyle U\subseteq X}$の${\displaystyle x}$そのため${\displaystyle f}$は一定です${\displaystyle U,}$定義上、それは${\displaystyle f(u)=f(v)}$すべての人々のために${\displaystyle u,v\in U.}$ 機能${\displaystyle f:X\to S}$は、すべての点で局所的に一定である場合、局所的に一定であると呼ばれます。${\displaystyle x\in X}$その領域内で。

すべての定数関数は局所的に定数である。定義域が連結空間であれば、その逆も成り立つ。

実数から得られるすべての局所定数関数${\displaystyle \mathbb {R} }$に${\displaystyle \mathbb {R} }$は一定であり、${\displaystyle \mathbb {R} .}$しかしその機能は${\displaystyle f:\mathbb {Q} \to \mathbb {R} }$理性から${\displaystyle \mathbb {Q} }$に${\displaystyle \mathbb {R} ,}$定義される${\displaystyle f(x)=0{\text{ for }}x<\pi ,}$そして${\displaystyle f(x)=1{\text{ for }}x>\pi ,}$は局所的に定数である（これは、${\displaystyle \pi }$は無理数であり、したがって2つの集合は${\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} :x<\pi \}}$そして${\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} :x>\pi \}}$両方とも開いている${\displaystyle \mathbb {Q} }$)

もし${\displaystyle f:A\to B}$が局所的に一定であれば、それは任意の連結成分上で一定である。${\displaystyle A.}$局所的に連結された空間、すなわち連結成分が開部分集合である空間については、その逆が成り立つ。

その他の例としては、以下のようなものがあります。

• 被覆マップが与えられた場合${\displaystyle p:C\to X,}$そして各ポイントへ${\displaystyle x\in X}$ファイバーのカーディナリティを割り当てることができます${\displaystyle p^{-1}(x)}$以上${\displaystyle x}$; この割り当ては局所的に定数です。
• 位相空間からの地図${\displaystyle A}$離散的な空間へ${\displaystyle B}$連続であるのは、それが局所的に定数である場合に限る。

には局所的に定数な関数の層が存在する${\displaystyle X.}$より明確に言うと、${\displaystyle X}$各開集合に対して、層を形成するという意味で${\displaystyle U}$の${\displaystyle X}$このような関数を構成できます。そして、この構成に対して層の公理が成り立つことを検証すると、アーベル群（可換環も含む）の層が得られます。^{[ 1 ]}この層は次のように書くことができます。${\displaystyle Z_{X}}$;茎によって説明される茎${\displaystyle Z_{x},}$のコピー${\displaystyle Z}$で${\displaystyle x,}$各${\displaystyle x\in X.}$これは定数層と呼ばれるもので、正確には（同じ）群に値をとる局所的に定数な関数の層を意味します。典型的な層はもちろんこのようには定数ではありませんが、この構成は層コホモロジーとホモロジー理論を結びつけたり、層の論理的応用において有用です。局所係数系の考え方は、局所的にそのような「無害な」層（任意の近傍）のように見える層の理論を持つことができるということです。${\displaystyle x}$）しかし、グローバルな観点から見ると、いくつかの「歪み」が見られる。

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• 局所的に一定の層