選択機能

X を空でない集合の集合とする。このとき、 X上の選択関数(セレクタ、選択)は、 X上で定義された数学関数fであり、fはXの各要素をその要素のいずれかに割り当てます。

X  =  {  {1,4,7},  {9},  {2,7} }とする。この とき、f ( {1, 4, 7}) = 7、f ({9}) = 9、f ({2, 7}) = 2 で定義される関数 f は、 X上の選択関数である。

エルンスト・ツェルメロ（1904）は選択関数と選択公理（AC）を導入し、すべての集合は整列可能であることを示す整列定理[ ^{1 ]を}証明した。ACは、空でない集合のすべての集合が選択関数を持つことを述べている。ACの弱い形式である可算選択公理（ACω _）は、空でない集合のすべての可算集合が選択関数を持つことを述べている。しかし、ACまたは_ACωのいずれも存在しない場合でも、いくつかの集合が選択関数を持つことが示されることがある。

• もし${\displaystyle X}$が空でない集合の有限集合である場合、選択関数を構築することができる。${\displaystyle X}$各メンバーから1つの要素を選択することによって${\displaystyle X.}$これには有限個の選択肢しか必要ないため、ACもACωも必要ありませ_ん。
• すべてのメンバーが${\displaystyle X}$は空でない集合であり、その和集合は${\displaystyle \bigcup X}$が整列している場合、各要素の最小要素を選択することができます。${\displaystyle X}$この場合、すべてのメンバーを同時に整列させることが可能でした。${\displaystyle X}$和集合の整列順序を1つだけ選択することで、ACもACωも_必要なかった。（この例は、整列順序定理がACを導くことを示している。逆もまた真であるが、それほど自明ではない。）

2つの集合が与えられた場合${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$、 させて${\displaystyle F}$多値マップ​${\displaystyle X}$に${\displaystyle Y}$（同等に、${\displaystyle F:X\rightarrow {\mathcal {P}}(Y)}$は関数です${\displaystyle X}$べき乗セットへ${\displaystyle Y}$)

関数${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$は、​${\displaystyle F}$、 もし：

$${\displaystyle \forall x\in X\,(f(x)\in F(x))\,.}$$

より規則的な選択関数、すなわち連続的または測定可能な選択の存在は、微分包含理論、最適制御、および数理経済学において重要である。^{[ 2 ]}選択定理を参照。

ニコラ・ブルバキは、基礎にイプシロン微積分を使用し、$\displaystyle \tau }$与えられた命題を満たす対象（存在する場合）を選択することと解釈できる記号。したがって、${\displaystyle P(x)}$述語である場合、$\displaystyle \tau _{x}(P)$は、${\displaystyle P}$（存在する場合、存在しない場合は任意のオブジェクトを返します。）したがって、選択関数から量化子を取得できます。たとえば${\displaystyle P(\tau _{x}(P))}$に相当${\displaystyle (\exists x)(P(x))}$[ ^{3 ]​}

しかし、ブルバキの選択演算子は通常よりも強力です。それは大域選択演算子です。つまり、大域選択の公理を含意します。^{[ 4 ]}ヒルベルトはイプシロン計算を導入したときにこのことを認識しました。^{[ 5 ]}

• 可算選択の公理
• 依存選択の公理
• ハウスドルフのパラドックス
• 半連続性

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