ランダム要素

確率論において、ランダム要素はランダム変数の概念を単純な実数直線よりも複雑な空間に一般化したものである。この概念はモーリス・フレシェ （1948）によって導入され、彼は「確率論の発展とその応用分野の拡大により、実験の（ランダムな）結果を数値または有限の数値集合で記述できる方式から、実験の結果がベクトル、関数、プロセス、体、級数、変換、さらには集合または集合の集合などを表す方式に移行する必要が生じた」とコメントした。^[1]

現代の「ランダム要素」の用法では、値の空間が位相ベクトル空間、多くの場合は指定された自然なシグマ代数の部分集合を持つバナッハ空間またはヒルベルト空間であると想定されることが多い。^[2]

を確率空間、を可測空間とします。Eに値を持つランダムな要素は、 -可測な関数X : Ω→ Eです。つまり、任意の に対して、B の逆像がに含まれるような関数 X です。 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$${\displaystyle ({\mathcal {F}},{\mathcal {E}})}$${\displaystyle B\in {\mathcal {E}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

値を持つランダム要素は、- 値ランダム変数 と呼ばれることもあります。${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$

（ は実数、はボレルσ-代数 ）の場合、ランダム元 の定義はランダム変数の古典的な定義になることに注意してください。 ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$

バナッハ空間内の値を持つランダム元の定義は、通常、すべての有界線形関数が測定可能なB上の最小の-代数を利用するものと理解されています。この場合、上記と同等の定義は、確率空間からのマップ は、 がすべての有界線形関数fに対してランダム変数である場合、または同等に、 が弱測定可能である場合、ランダム元であるということです。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle X:\オメガ \rightarrow B}$${\displaystyle f\circ X}$${\displaystyle X}$

ランダム変数は、ランダム要素の最も単純なタイプです。これは、 可能な結果の集合から への測定可能な関数のマップです。 ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} }$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

実数値関数として、多くの場合、特定のイベントの数値的な量を表します。たとえば、コインを一定回数投げた後に表が出た回数や、さまざまな人の身長などです。 ${\displaystyle X}$

の像（または値域）が有限または可算無限である場合、ランダム変数は離散ランダム変数と呼ばれ^[3] 、その分布は、像の各値に確率を割り当てる確率質量関数によって記述できます。像が非可算無限である場合、は連続ランダム変数と呼ばれます。それが絶対連続である特別なケースでは、その分布は、区間に確率を割り当てる確率密度関数によって記述できます。特に、絶対連続ランダム変数の場合、個々の点の確率は必ず 0 になります。すべての連続ランダム変数が絶対連続であるわけではありません^[4]。たとえば、混合分布です。このようなランダム変数は、確率密度や確率質量関数では記述できません。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

ランダム ベクトルは、同じ確率空間上のスカラー値のランダム変数を要素とする列ベクトル（またはその転置、つまり行ベクトル ）です。 ここ で、はサンプル空間、はシグマ代数（すべてのイベントの集合）、 は確率測度（各イベントの確率を返す関数） です。${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},...,X_{n})^{T}}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle P}$

ランダム ベクトルは、ランダム マトリックス、ランダムツリー、ランダム シーケンス、ランダム プロセスなど、 さまざまな種類の集約ランダム変数の基礎となる実装としてよく使用されます。

ランダム マトリックスは、マトリックス値を持つランダム要素です。物理システムの多くの重要な特性は、マトリックス問題として数学的に表現できます。たとえば、格子の熱伝導率は、格子内の粒子間相互作用の動的マトリックスから計算できます。

ランダム関数は、ある関数族から単一の結果が選択されるランダム要素の一種であり、その族は、ドメインからコドメインへのすべてのマップのいくつかのクラスで構成されます。たとえば、クラスはすべての連続関数またはすべてのステップ関数に制限される場合があります。同じ実現から異なるポイントで評価されたランダム関数によって決定される値は、通常、統計的に独立ではありませんが、モデルに応じて、同じポイントまたは異なるポイントで異なる実現から決定された値は、独立しているものとして扱われる場合があります。

ランダムプロセスは、ランダム変数の集合であり、時間の経過に伴うランダム値のシステムの進化を表します。これは、決定論的プロセス (または決定論的システム) の確率的対応物です。1 つの方法でのみ進化できるプロセス (たとえば、常微分方程式の解の場合) を記述する代わりに、確率的プロセスまたはランダム プロセスには不確定性があります。つまり、初期条件 (または開始点) がわかっている場合でも、プロセスが進化する可能性のある方向は複数 (多くの場合、無限に多い) あります。

連続時間ではなく離散時間の単純なケースでは、確率過程には一連のランダム変数と、これらのランダム変数に関連付けられた時系列が含まれます(たとえば、離散時間マルコフ連鎖とも呼ばれるマルコフ連鎖を参照)。

確率空間 と測定空間Xが与えられたとき、X値ランダムフィールドは位相空間Tの要素でインデックス付けされたX値 ランダム変数の集合である。つまり、ランダムフィールドFは集合である。 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$

${\displaystyle \{F_{t}:t\in T\}}$

ここで、それぞれはX値のランダム変数です。 ${\displaystyle F_{t}}$

ランダム場にはいくつかの種類があり、その中にはマルコフランダム場（MRF）、ギブスランダム場（GRF）、条件付きランダム場（CRF）、ガウスランダム場などがある。MRFはマルコフの性質を示す。

${\displaystyle P(X_{i}=x_{i}|X_{j}=x_{j},i\neq j)=P(X_{i}=x_{i}|\partial _{i}),\,}$

ここで、はランダム変数X _iの近傍の集合である。言い換えれば、ランダム変数が値をとる確率は、そのすぐ近傍のランダム変数を通じてのみ他のランダム変数に依存する。MRFにおけるランダム変数の確率は次のように与えられる。 ${\displaystyle \partial_{i}}$

${\displaystyle P(X_{i}=x_{i}|\partial _{i})={\frac {P(\omega )}{\sum _{\omega '}P(\omega ')}},}$

ここで、Ω' はランダム変数X _iを除いて Ω と同じ実現です。1974年に Julian Besagによって提案された MRF と GRF の関係に頼らずに、この式で計算するのは困難です。

ランダム測度は、測度値を持つランダムな元である。^{[5] [6]} X を完全な可分距離空間とそのボレル集合の σ 代数とする。X上のボレル測度μ は、任意の有界ボレル集合 A に対して μ(A) < ∞ である場合に、有界有限である。を 上のすべての有界有限測度の空間とする。(Ω, ℱ, P )を確率空間とすると、ランダム測度はこの確率空間から測定可能空間( ,  )に写像される。^[7]測度は一般に次のように分解される。 ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(X)}$${\displaystyle M_{X}}$${\displaystyle {\mathfrak {B}}(X)}$ ${\displaystyle M_{X}}$${\displaystyle {\mathfrak {B}}(M_{X})}$

${\displaystyle \mu =\mu _{d}+\mu _{a}=\mu _{d}+\sum _{n=1}^{N}\kappa _{n}\delta _{X_ {n}},}$

ここでは原子なしの拡散測定ですが、 は純粋に原子の測定です。 ${\displaystyle \mu_{d}}$${\displaystyle \mu_{a}}$

ランダム セットは、セット値のランダム要素です。

具体例として、ランダムコンパクト集合がある。 は完全な分離距離空間とする。はのすべてのコンパクト部分集合の集合を表す。上のハウスドルフ距離は次のように定義される。 ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle h}$${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

${\displaystyle h(K_{1},K_{2}):=\max \left\{\sup _{a\in K_{1}}\inf _{b\in K_{2}}d(a,b),\sup _{b\in K_{2}}\inf _{a\in K_{1}}d(a,b)\right\}.}$

${\displaystyle ({\mathcal {K}},h)}$は完全な可分距離空間でもあります。対応する開部分集合は上のσ-代数、つまり のボレルシグマ代数を生成します。 ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}({\mathcal {K}})}$${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

ランダムコンパクトセットは、確率空間からへの測定可能な関数 です。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$${\displaystyle ({\mathcal {K}},{\mathcal {B}}({\mathcal {K}}))}$

言い換えれば、ランダムコンパクト集合は、ほぼ確実にコンパクトであり、 ${\displaystyle K\colon \Omega \to 2^{M}}$${\displaystyle K(\omega )}$

${\displaystyle \omega \mapsto \inf _{b\in K(\omega )}d(x,b)}$

はあらゆる に対して測定可能な関数です。 ${\displaystyle x\in M}$

これらにはランダムな点、ランダムな図形^[8]、ランダムな形状^{[8]が含まれます。}

• Springer Encyclopedia of Mathematics のエントリ