区分的関数

{\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{array}{lll}-3-x&{\text{if}}&x\leq -3\\x+3&{\text{if}}&-3\leq x\leq 0\\3-2x&{\text{if}}&0\leq x\leq 3\\0.5x-4.5&{\text{if}}&3\leq x\\\end{array}}\right.} — 区分的線形関数のグラフ $f(x)=\left\{{\begin{array}{lll}-3-x&{\text{if}}&x\leq -3\\x+3&{\text{if}}&-3\leq x\leq 0\\3-2x&{\text{if}}&0\leq x\leq 3\\0.5x-4.5&{\text{if}}&3\leq x\\\end{array}}\right.$

数学において、区分的関数（区分的に定義された関数、ハイブリッド関数、または場合分けによって定義された関数とも呼ばれる）とは、定義域がいくつかの区間（「部分領域」）に分割され、その区間上で関数が異なる方法で定義される関数のことである。^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}区分的定義は、実際には、結果として得られる関数自体の特性ではなく、関数を指定する方法である。なぜなら、定義域に少なくとも 2 つの点が含まれるすべての関数は、区分的関数として書き直すことができるからである。この記事の最初の 3 つの段落では、「区分的」の最初の意味のみを扱う。

区分的線形、区分的滑らか、区分的連続などの用語も非常に一般的です。関数が区分的である意味は $P$ 不動産の場合 $P$ 関数の定義域は、その特性が $P$ 成り立つが、この用語は著者によって若干異なる意味で使われている。^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}最初の意味とは異なり、これは関数自体の性質であり、関数を指定する方法だけではない。この用語は、三角形分割を含むより一般的な意味で使われることもある。区分的線形多様体を参照。

表記法と解釈

{\displaystyle y=\vert x\vert } — 絶対値関数のグラフ、 $y=\vert x\vert$ ⁠

{\displaystyle f(x)=\min(1,x^{2})} — 機能⁠ $f(x)=\min(1,x^{2})$ ⁠は区分的に単調です（サブドメイン $(-\infty ,0]$ 、⁠ $[0,+\infty )$ ⁠ ) および区分的に微分可能(サブドメイン⁠ $(-\infty ,-1]$ ⁠、 ⁠ $[-1,+1]$ ⁠、そして⁠ $[+1,+\infty )$ ⁠ )

区分的関数は、一般的な関数表記法を使用して定義できます。関数の本体は、関数とそれに関連付けられたサブドメインの配列です。サブ関数またはサブドメインの列の後には、セミコロンまたはコンマが続く場合があります。^{[ 2 ]} ${\text{if}}$ または ${\text{for}}$ 右列の先頭では省略されることはまれである。^{[ 2 ]}

部分領域は、全体として領域全体をカバーする必要があります。また、それらが互いに排他的である、つまり領域の分割を形成することも要求される場合があります。^{[ 6 ]}これは、関数が「場合分けによって定義される」ために十分ですが、全体の関数が「区分的」であるためには、部分領域は通常、空でない区間である必要があります（一部は退化区間、つまり単一点または非有界区間である可能性があります）。また、有界区間内に無限に多くの部分領域を持つことは多くの場合許されません。これは、有界領域を持つ関数は有限個の部分領域しか持たないのに対し、非有界領域を持つ関数は、適切に分散されている限り、無限に多くの部分領域を持つことができることを意味します。

例として、絶対値関数の区分的定義を考えてみましょう。^{[ 2 ]} $|x|={\begin{cases}-x,&{\text{if }}x<0\\+x,&{\text{if }}x\geq 0.\end{cases}}$ すべての値に対して $x$ ゼロ未満の場合、最初のサブ関数（ $-x$ ) が使用され、入力値の符号を反転させ、負の数を正の値にします。すべての値に対して $x$ 0以上、2番目のサブ関数（ $x$ )が使用され、これは自明に入力値自体に評価されます。

以下の表は、特定の値における絶対値関数を示しています。 $x$ :

区分的に定義された関数を特定の入力値で評価するには、適切な部分領域を選択して正しい部分関数を選び、正しい出力値を生成する必要がある。

例

階段関数または区分的定数関数は、定数部分関数から構成される。
区分的線形関数（線形部分関数から構成される）
区分的に滑らかな関数であり、滑らかな部分関数から構成される。
破綻べき乗則とは、べき乗則のサブ関数から構成される関数である。
スプラインとは、多項式部分関数から構成される関数であり、多くの場合、部品間の接合部で滑らかになるように制約される。
- Bスプライン
$f(x)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{1-x^{2}}}\right),&x\in (-1,1)\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}$ そして、その他の一般的なバンプ関数。これらは無限回微分可能ですが、解析性は区分的にのみ成り立ちます。

区分的に定義された関数の連続性と微分可能性

{\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{array}{lll}x^{2}&{\text{if}}&x<0.707\\1.5-(x-1.414)^{2}&{\text{if}}&0.707\leq x\\\end{array}}\right.} — 区分的二次関数のグラフ $f(x)=\left\{{\begin{array}{lll}x^{2}&{\text{if}}&x<0.707\\1.5-(x-1.414)^{2}&{\text{if}}&0.707\leq x\\\end{array}}\right.$ その唯一の不連続点は $x_{0}=0.707$ 。

区分的に定義された関数は、定義域内の特定の区間において、以下の条件を満たす場合に連続である。

その部分関数は対応する区間（部分領域）で連続であり、
その区間内のどの部分領域の端点にも不連続性はない。

例えば、図示された関数は、その部分領域全体では区分的に連続ですが、領域全体では連続ではなく、ある点でジャンプ不連続点を含んでいます。 $x_{0}$ 塗りつぶされた円は、この位置で右側のサブ関数の値が使用されていることを示しています。

区分的に定義された関数が、その定義域内の特定の区間で微分可能であるためには、上記の連続性の条件に加えて、以下の条件を満たす必要があります。

その部分関数は対応する開区間で微分可能であり、
片側微分はすべての区間の端点で存在し、
2 つの小区間が接する点では、隣接する 2 つの小区間の対応する片側微分が一致する。^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}

アプリケーション

応用数学解析では、「区分的に正則な」関数は、人間の視覚システムの多くのモデルと一致することがわかっています。人間の視覚システムでは、画像は最初の段階で、エッジによって区切られた滑らかな領域から構成されていると認識されます（漫画のように）。^{[ 10 ]} 漫画のような関数は、不連続曲線の存在を除いて滑らかなC ²関数です。 ^{[ 11 ]} 特に、シャーレットは、このモデルクラスの 2D および 3D での疎な近似を提供する表現システムとして使用されています。

区分的に定義された関数は、最近傍補間などの補間にもよく使用されます。

参考文献

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↑カヌート、クラウディオ；タバコ、アニタ（2008）。数学解析 I。翻訳：サイモン・G・キオッシ。ミラノ：シュプリンガー・フェルラーク・イタリア。83、176頁。ISBN 978-88-470-0875-5。
↑クティニオク、ギッタ；ラバテ、デメトリオ（2012）。「シアレット入門」（PDF）。シアレット。ビルクハウザー：1–38。ここ：8ページ
↑ Kutyniok, Gitta; Lim, Wang-Q (2011). "コンパクトにサポートされたシャーレットは最適に疎である". Journal of Approximation Theory . 163 (11): 1564– 1589. arXiv : 1002.2661 . doi : 10.1016/j.jat.2011.06.005 .

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[4] SM Nikolsky (1977).数学解析コース第 1 巻p. 178.

[5] Sofronidis, Nikolaos Efstathiou (2005). "連続区分微分可能関数の集合" . Real Analysis Exchange . 31 (1): 13– 22. doi : 10.14321/realanalexch.31.1.0013 (2025-08-11 に非アクティブ)。{{cite journal}}: CS1メンテナンス: DOIは2025年8月現在非アクティブです（リンク）

[6] 実現可能なより弱い要件としては、すべての定義が交差するサブドメインについて一致していることが挙げられます。

[7] レーマン、ウルフ (2001) [1994]. 「片側微分」 .数学百科事典. EMS Press .

[8] イリイン、VA; ポズニャク、EG (1982).数学解析の基礎. 第1巻. イレーネ・アレクサノワによるロシア語からの翻訳. ミール出版社、モスクワ. pp. 146, 177. ISBN 978-93-859-2386-9。

[9] カヌート、クラウディオ；タバコ、アニタ（2008）。数学解析 I。翻訳：サイモン・G・キオッシ。ミラノ：シュプリンガー・フェルラーク・イタリア。83、176頁。ISBN 978-88-470-0875-5。

[10] クティニオク、ギッタ；ラバテ、デメトリオ（2012）。「シアレット入門」（PDF）。シアレット。ビルクハウザー：1–38。ここ：8ページ

[s150-11] Kutyniok, Gitta; Lim, Wang-Q (2011). "コンパクトにサポートされたシャーレットは最適に疎である". Journal of Approximation Theory . 163 (11): 1564– 1589. arXiv : 1002.2661 . doi : 10.1016/j.jat.2011.06.005 .

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