五次関数

数学において、五次関数とは次のような形式の 関数である。

${\displaystyle g(x)=ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f,\,}$

ここで、a、b、c、d、e、f は体のメンバーであり、通常は有理数、実数、または複素数であり、a はゼロ以外です。言い換えると、5次関数は5次の多項式によって定義されます。

正規五次関数は奇数次であるため、グラフにすると正規三次関数と似たように見えますが、極大値と極小値がそれぞれ 1 つずつ追加される場合があります。五次関数の導関数は四次関数です。

g ( x ) = 0に設定し、a ≠ 0と仮定すると、次の形式の 五次方程式が生成されます。

${\displaystyle ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0.\,}$

5次方程式を根号（n乗根）で解くことは、 3次方程式や4次方程式が解かれた16世紀から、そのような一般解の不可能性がアーベル・ルフィニの定理によって証明された19世紀前半まで、代数学における主要な問題でした。

与えられた多項式の根（ゼロ）を見つけることは、数学における重要な問題です。

線形、二次、三次、四次方程式を根号と係数の基本的な算術演算で解くことは、根が有理数か無理数か、実数か複素数かに関係なく、常に実行できます。必要な解を生じる公式が存在します。しかし、有理数上の一般的な五次方程式の解を表す代数表現（つまり、根号で表現したもの）は存在しません。この主張はアーベル・ルフィニの定理として知られ、1799年に初めて主張され、1824年に完全に証明されました。この結果は、より高次の方程式にも当てはまります。根号で表すことができない五次方程式の例は、x ⁵ − x + 1 = 0です。

いくつかの五次方程式は根号を使って解くことができます。しかし、その解は一般に複雑すぎて実際には使えません。その代わりに、多項式の根号探索アルゴリズムを使って数値近似値が計算されます。

いくつかの5次方程式は根号を使って解くことができる。これには、x ⁵ − x ⁴ − x + 1 = ( x ² + 1)( x + 1)( x − 1) ²のような、約分可能な多項式で定義される5次方程式が含まれる。例えば、 ^[1]では次のように 示されている。

${\displaystyle x^{5}-xr=0}$

根号に解が存在するのは、整数解が存在する場合、またはr が±15、±22440、±2759640 のいずれかである場合のみであり、その場合多項式は既約です。

約分可能な 5 次方程式を解くことは、より低い次数の多項式を解くことに直結するため、このセクションの残りの部分では、約分不可能な 5 次方程式のみを考慮し、「5 次」という用語は約分不可能な 5 次式のみを指します。したがって、解ける 5 次式とは、その根が根号で表現できる約分不可能な 5 次多項式です。

解ける五次方程式、さらに一般的には高次多項式を解くために、エヴァリスト・ガロアは群論とガロア理論を生み出す技術を開発した。これらの技術を適用して、アーサー・ケイリーは任意の五次方程式が解けるかどうかを判断するための一般的な基準を発見した。^[2]この基準は以下のとおりである。^[3]

方程式

${\displaystyle ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0,}$

チルンハウス変換 x = y − ⁠b/5 a⁠は五次方程式を降ろす（つまり、四次の項を削除する）ので、次の式が得られる。

${\displaystyle y^{5}+py^{3}+qy^{2}+ry+s=0,}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}p&={\frac {5ac-2b^{2}}{5a^{2}}}\\[4pt]q&={\frac {25a^{2}d-15abc+4b^{3}}{25a^{3}}}\\[4pt]r&={\frac {125a^{3}e-50a^{2}bd+15ab^{2}c-3b^{4}}{125a^{4}}}\\[4pt]s&={\frac {3125a^{4}f-625a^{3}be+125a^{2}b^{2}d-25ab^{3}c+4b^{5}}{3125a^{5}}}\end{aligned}}}$

両五次方程式が根号で解けるのは、それらが有理係数の低次の方程式に因数分解できるか、または多項式P ² − 1024 z Δ（ケーリーのレゾルベントはzに有理根を持ち、ここで

${\displaystyle {\begin{aligned}P={}&z^{3}-z^{2}(20r+3p^{2})-z(8p^{2}r-16pq^{2}-240r^{2}+400sq-3p^{4})\\[4pt]&-p^{6}+28p^{4}r-16p^{3}q^{2}-176p^{2}r^{2}-80p^{2}sq+224prq^{2}-64q^{4}\\[4pt]&+4000ps^{2}+320r^{3}-1600rsq\end{aligned}}}$

そして

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta ={}&-128p^{2}r^{4}+3125s^{4}-72p^{4}qrs+560p^{2}qr^{2}s+16p^{4}r^{3}+256r^{5}+108p^{5}s^{2}\\[4pt]&-1600qr^{3}s+144pq^{2}r^{3}-900p^{3}rs^{2}+2000p r^{2}s^{2}-3750pqs^{3}+825p^{2}q^{2}s^{2}\\[4pt]&+2250q^{2}rs^{2}+108q^{5}s-27q^{4}r^{2}-630pq^{3}rs+16p^{3}q^{3}s-4p^{3}q^{2}r^{2}.\end{aligned}}}$

ケーリーの結果により、5 次方程式が解けるかどうかをテストできます。解ける場合、その根を求めることはより困難な問題であり、5 次方程式の係数とケーリーの分解の有理根を含む根号で根を表す必要があります。

1888年、ジョージ・パクストン・ヤングは、明示的な公式を与えることなく、解ける五次方程式を解く方法を説明した。^[4] 2004年、ダニエル・ラザードは3ページにわたる公式を書き上げた。^[5]

x ⁵ + ax + b = 0の形式の可解な5次方程式のパラメトリック表現はいくつかあり、Bring–Jerrard形式と呼ばれます。

19世紀後半、ジョン・スチュアート・グラシャン、ジョージ・パクストン・ヤング、カール・ルンゲは、次のようなパラメータ化を与えた。ブリング・ジェラード形式の有理係数を持つ既約五次方程式が解けるのは、 a = 0であるか、または

${\displaystyle x^{5}+{\frac {5\mu ^{4}(4\nu +3)}{\nu ^{2}+1}}x+{\frac {4\mu ^{5}(2\nu +1)(4\nu +3)}{\nu ^{2}+1}}=0}$

ここで、μとνは有理数です。

1994年、ブレア・スピアマンとケネス・S・ウィリアムズは、

${\displaystyle x^{5}+{\frac {5e^{4}(4c+3)}{c^{2}+1}}x+{\frac {-4e^{5}(2c-11)}{c^{2}+1}}=0.}$

1885年と1994年のパラメータ化の関係は、次の式を定義することでわかる。

${\displaystyle b={\frac {4}{5}}\left(a+20\pm 2{\sqrt {(20-a)(5+a)}}\right)}$

ここで、a = ⁠5(4ν + 3)/ν2 + ¹⁠。平方根の負の場合を使用すると、変数をスケーリングした後、最初のパラメーター化が得られ、正の場合では 2 番目のパラメーター化が得られます。

置換c = ⁠−メートル/ℓ ⁵⁠、 e = ⁠1/ℓ⁠スピアマン–ウィリアムズパラメータ化では、特殊なケースa = 0を除外しないため、次の結果が得られます。

aとbが有理数である場合、方程式x ⁵ + ax + b = 0は、その左辺が有理数係数を持つ5次未満の多項式の積であるか、または2つの有理数ℓとmが存在し、

${\displaystyle a={\frac {5\ell (3\ell ^{5}-4m)}{m^{2}+\ell ^{10}}}\qquad b={\frac {4(11\ell ^{5}+2m)}{m^{2}+\ell ^{10}}}.}$

多項式方程式は、そのガロア群が可解な群である場合に根号によって解くことができます。既約五次方程式の場合、ガロア群は、5 元集合のすべての順列の対称群 S ₅の部分群であり、巡回順列(1 2 3 4 5)と(1 2 4 3)によって生成される、位数20の群F ₅の部分群である場合に限り、解くことができます。

五次方程式が解ける場合、解の 1 つは、5 乗根と最大 2 つの平方根 (通常はネスト)を含む代数式で表すことができます。その他の解は、5 乗根を変更するか、5 乗根のすべての出現に5 乗根の原始的な 1の同じ累乗を掛け合わせることで得られます。たとえば、

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {-10-2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}-1}{4}}.}$

実際、4つの原始5乗根はすべて、平方根の符号を適切に変更することで得られます。つまり、次の式です。

${\displaystyle {\frac {\alpha {\sqrt {-10-2\beta {\sqrt {5}}}}+\beta {\sqrt {5}}-1}{4}},}$

ここで、は 4 つの異なる原始 5 乗根を生成します。 ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \{-1,1\}}$

したがって、解ける5次方程式のすべての根を書くには、4つの異なる平方根が必要になる可能性がある。最大で2つの平方根を含む最初の根であっても、根号による解の表現は通常非常に複雑である。しかし、平方根が必要ない場合は、最初の解の形はかなり単純になる可能性があり、方程式x ⁵ − 5 x ⁴ + 30 x ³ − 50 x ² + 55 x − 21 = 0の場合、唯一の実数解は次のようになる。

${\displaystyle x=1+{\sqrt[{5}]{2}}-\left({\sqrt[{5}]{2}}\right)^{2}+\left({\sqrt[{5}]{2}}\right)^{3}-\left({\sqrt[{5}]{2}}\right)^{4}.}$

より複雑な（ただし、ここで書くには十分小さい）解の例としては、x ⁵ − 5 x + 12 = 0^の唯一の実根がある。a = √ 2 φ ⁻¹、b = √ 2 φ、c = 4 √ 5とすると、φ = ⁠1 + √5/2⁠ は黄金比です。すると、唯一の実数解x = −1.84208...は次のように与えられます。

${\displaystyle -cx={\sqrt[{5}]{(a+c)^{2}(b-c)}}+{\sqrt[{5}]{(-a+c)(b-c)^{2}}}+{\sqrt[{5}]{(a+c)(b+c)^{2}}}-{\sqrt[{5}]{(-a+c)^{2}(b+c)}}\,,}$

あるいは、同等に、

${\displaystyle x={\sqrt[{5}]{y_{1}}}+{\sqrt[{5}]{y_{2}}}+{\sqrt[{5}]{y_{3}}}+{\sqrt[{5}]{y_{4}}}\,,}$

ここで、y _{i は}4次方程式の4つの根である。

${\displaystyle y^{4}+4y^{3}+{\frac {4}{5}}y^{2}-{\frac {8}{5^{3}}}y-{\frac {1}{5^{5}}}=0\,.}$

より一般的には、有理数係数を持つp次素数方程式P ( x ) = 0が根号で解ける場合、同じく有理数係数を持つp – 1次補助方程式Q ( y ) = 0を定義でき、 Pの各根はQの根のp次根の和になります。これらのp次根はジョゼフ＝ルイ・ラグランジュによって導入され、それらのpによる積は一般にラグランジュの分解子と呼ばれます。 Qとその根の計算を使用して、P ( x ) = 0を解くことができます。ただし、これらのp次根は個別に計算できない場合があります (そうすると、pではなくp ^{p –1 個の根が提供されます)。したがって、正しい解は、これらすべての}p根をそのうちの 1 つで表す必要があります。ガロア理論は、結果として得られる式が大きすぎて役に立たない場合でも、これが常に理論的に可能であることを示しています。

Qの根のいくつかは有理数（このセクションの最初の例のように）であったり、ゼロであったりする可能性がある。これらの場合、根の式ははるかに単純であり、解けるド・モアブルの5次方程式の場合と同様である。

${\displaystyle x^{5}+5ax^{3}+5a^{2}x+b=0\,,}$

ここで、補助方程式は2つの零根を持ち、それらを因数分解すると二次方程式になる。

${\displaystyle y^{2}+by-a^{5}=0\,,}$

ド・モアブルの5次方程式の5つの根は次のように与えられる。

${\displaystyle x_{k}=\omega ^{k}{\sqrt[{5}]{y_{i}}}-{\frac {a}{\omega ^{k}{\sqrt[{5}]{y_{i}}}}},}$

ここで、y _{i は}補助二次方程式の任意の根であり、ω は1 の4 つの原始 5 乗根のいずれかです。これは簡単に一般化でき、必ずしも素数ではない、解けるsepticやその他の奇数次数を構築できます。

前のセクションでパラメータ化された Bring-Jerrard 形式の可解な五次方程式は無限に存在します。

変数のスケーリングまで、形状 の解ける五次方程式は正確に5つ存在し、^[6]で表される（ここでsはスケーリング係数である）。 ${\displaystyle x^{5}+ax^{2}+b}$

${\displaystyle x^{5}-2s^{3}x^{2}-{\frac {s^{5}}{5}}}$

${\displaystyle x^{5}-100s^{3}x^{2}-1000s^{5}}$

${\displaystyle x^{5}-5s^{3}x^{2}-3s^{5}}$

${\displaystyle x^{5}-5s^{3}x^{2}+15s^{5}}$

${\displaystyle x^{5}-25s^{3}x^{2}-300s^{5}}$

パクストン・ヤング (1888) は、解ける五次方程式の例をいくつか挙げています。

解ける5次方程式の無限列を構築することができ、その根は1のn乗根の和であり、n = 10 k + 1は素数である。

解ける5次方程式には、2つのパラメータ化された族がある。近藤・ブルマー5次方程式、

${\displaystyle x^{5}+(a-3)\,x^{4}+(-a+b+3)\,x^{3}+(a^{2}-a-1-2b)\,x^{2}+b\,x+a=0}$

パラメータに応じて家族${\displaystyle a,\ell ,m}$

${\displaystyle x^{5}-5\,p\left(2\,x^{3}+a\,x^{2}+b\,x\right)-p\,c=0}$

どこ

${\displaystyle p={\tfrac {1}{4}}\left[\,\ell ^{2}(4m^{2}+a^{2})-m^{2}\,\right]\;,}$

${\displaystyle b=\ell \,(4m^{2}+a^{2})-5p-2m^{2}\;,}$

${\displaystyle c={\tfrac {1}{2}}\left[\,b(a+4m)-p(a-4m)-a^{2}m\,\right]\;.}$

3次方程式と同様に、5つの実根を持ち、その根号の解がすべて複素数の根を含む可解な5次方程式があります。これが5次方程式の既約原因であり、Dummitで議論されています。^{[7] ：p.17}実際、既約5次方程式のすべての根が実数である場合、根を純粋に実根号で表すことはできません（2の累乗ではないすべての多項式次数に当てはまります）。

1835年頃、ジェラードは、超根号（ブリング根号とも呼ばれる）を使って五次方程式を解くことができることを示した。超根号とは、実数aに対してt ⁵ + t − a = 0の唯一の実根である。1858年、シャルル・エルミートは、三角関数を使って三次方程式を解くという、より馴染みのあるアプローチに似たアプローチを使って、ブリング根号をヤコビのシータ関数とそれに関連する楕円モジュラー関数で特徴付けることができることを示した。同じ頃、レオポルド・クロネッカーは群論を使って、フランチェスコ・ブリオスキと同じように、エルミートの結果を導くより簡単な方法を開発した。その後、フェリックス・クラインは、イコサヘドロン、ガロア理論、エルミートの解法に見られる楕円モジュラー関数の対称性を関連付ける手法を考案し、なぜそれらが現れるのかを説明し、一般化された超幾何関数の観点から独自の解法を展開した。^{[8]同様の現象は}7次（セプティック方程式）と11次でも発生し、クラインによって研究され、イコサヘドロン対称性§関連する幾何学で議論されている。

四次方程式を解くことによって計算されるチルンハウス変換は、次の形式の一般五次方程式を簡約する。

${\displaystyle x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0\,}$

Bring–Jerrard正規形 x ⁵ − x + t = 0に等しい。

この方程式の根は根号では表すことができません。しかし、1858年にシャルル・エルミートは楕円関数を用いたこの方程式の最初の解を発表しました。^[9] ほぼ同じ時期にフランチェスコ・ブリオスキ^[10] とレオポルド・クロネッカー^[11]も 同等の解を見つけました。

これらのソリューションと関連するソリューションの詳細については、 「Bring radical」を参照してください。

両方の物体の質量が無視できない天文軌道の ラグランジアン点の位置を解くには、五次方程式を解く必要があります。

より正確には、 L ₂とL ₁の位置は次の方程式の解です。ここで、2 つの質量が第 3 の質量 (たとえば、L ₂のGaiaやジェイムズ・ウェッブ宇宙望遠鏡、L ₁のSOHOなどの衛星上の太陽と地球) にかかる重力は、太陽の周りを地球と同期して周回するために必要な衛星の向心力を提供します。

${\displaystyle {\frac {GmM_{S}}{(R\pm r)^{2}}}\pm {\frac {GmM_{E}}{r^{2}}}=m\omega ^{2}(R\pm r)}$

± 記号はそれぞれL ₂とL _{1に対応します}。Gは万有引力定数、ω は角速度、r は衛星から地球までの距離、R は太陽から地球までの距離（つまり、地球の軌道の長半径）、m、M _E、M _Sはそれぞれ衛星、地球、太陽の質量です。

ケプラーの第三法則を使い、すべての項を並べ替えると五次方程式が得られる。 ${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{P^{2}}}={\frac {G(M_{S}+M_{E})}{R^{3}}}}$

${\displaystyle ar^{5}+br^{4}+cr^{3}+dr^{2}+er+f=0}$

と：

${\displaystyle {\begin{aligned}&a=\pm (M_{S}+M_{E}),\\&b=+(M_{S}+M_{E})3R,\\&c=\pm (M_{S}+M_{E})3R^{2},\\&d=+(M_{E}\mp M_{E})R^{3}\ ({\text{thus }}d=0{\text{ for }}L_{2}),\\&e=\pm M_{E}2R^{4},\\&f=\mp M_{E}R^{5}.\end{aligned}}}$

これら 2 つの 5 次方程式を解くと、L ₂ではr = 1.501 × 10 ⁹ m、L ₁ではr = 1.491 × 10 ⁹ mとなります。太陽 - 地球のラグランジアン点L ₂とL ₁は、通常、地球から 150 万 km の距離として与えられます。

小さい方の物体の質量 ( M _E ) が大きい方の物体の質量 ( M _S ) よりもはるかに小さい場合、五次方程式は大幅に簡略化され、 L ₁と L _{2 は次のように表される}ヒル球の半径とほぼ同じになります。

${\displaystyle r\approx R{\sqrt[{3}]{\frac {M_{E}}{3M_{S}}}}}$

これにより、太陽地球系の L ₁および L ₂にある衛星のr = 1.5 × 10 ⁹ mも得られます。

• 6次方程式
• 浄化機能
• 方程式の理論

• Charles Hermite、「Sur la résolution de l'équation du cinquème degré」、āuvres de Charles Hermite、2 :5–21、Gauthier-Villars、1908 年。
• クライン、フェリックス（1888）。二十面体と五次方程式の解法に関する講義。モリス、ジョージ・ギャビン訳。Trübner & Co. ISBN 0-486-49528-0。
• Leopold Kronecker、「Sur la résolution de l'equation du cinquième degré, extrait d'une lettre adressée à M. Hermite」、Comptes Rendus de l'Académie des Sciences、46 :1:1150–1152 1858。
• Blair Spearman と Kenneth S. Williams、「解ける 5 次方程式x ⁵ + ax + bの特性評価」、American Mathematical Monthly、101 :986–992 (1994)。
• イアン・スチュワート『ガロア理論第2版』、チャップマン・アンド・ホール、1989年。ISBN 0-412-34550-1。一般五次方程式の不解性の証明を含むガロア理論全般について論じています。 
• Jörg Bewersdorff、「初心者のためのガロア理論：歴史的観点」、アメリカ数学会、2006年。ISBN 0-8218-3817-2 。第8章（ Wayback Machineにある5次方程式の解（2010年3月31日アーカイブ））では、解ける5次方程式x ⁵ + cx + dの解について説明します。 
• Victor S. Adamchik および David J. Jeffrey、「Tschirnhaus、Bring、および Jerrard の多項式変換」、ACM SIGSAM Bulletin、第 37 巻、第 3 号、2003 年 9 月、90 ～ 94 ページ。
• Ehrenfried Walter von Tschirnhaus、「与えられた方程式からすべての中間項を削除する方法」、ACM SIGSAM Bulletin、Vol. 37、No. 1、2003 年 3 月、1 ～ 3 ページ。
• ラザード、ダニエル (2004)。 「根号で五次関数を解く」。オラフ・アルンフィン・ラウダルでは。ラグニ・ピエネ（編）。ニールス・ヘンリック・アベルの遺産。ベルリン。 207–225ページ。ISBN 3-540-43826-22005年1月6日時点のオリジナルよりアーカイブ。{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• トート、ガボール（2002）、有限メビウス群、球面の極小浸漬、モジュライ

• Mathworld - 五次方程式 - 五次方程式を解く方法の詳細。
• 解ける五次方程式の解決 - David S. Dummit による、解ける五次方程式を解く方法。
• 与えられた方程式からすべての中間項を削除する方法 - Tschirnhaus の 1683 年の論文の最近の英語翻訳。
• ブルース・バートレット:五次曲線、二十面体、楕円曲線、AMS 通知(2024 年 4 月)