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集合値関数は、対応関係または集合値関係とも呼ばれ、ある集合（関数の定義域）の要素を別の集合の部分集合にマッピングする数学関数です。[ 1 ] [ 2 ]集合値関数は、最適化、制御理論、ゲーム理論など、さまざまな数学分野で使用されています。
集合値関数は、一部の文献では多値関数とも呼ばれていますが、 [ 3 ]本稿および多値関数に関する記事では、両者を区別する著者の見解に従います。
他の著者は異なる方法で（あるいは全く区別しない場合もあるが）、WriggersとPanatiotopoulos（2014）は、多値関数は有限個（または可算個）の点でのみ複数の値を取り、それ以外は関数のように振る舞うという事実によって、多値関数と集合値関数（彼らはこれを集合値関係と呼んだ）を区別している。[ 2 ]幾何学的には、これは多値関数のグラフは必然的に面積がゼロでループしない線であるのに対し、集合値関係のグラフには塗りつぶされた領域やループが含まれる可能性があることを意味する。[ 2 ]
あるいは、多値関数とは、集合内の要素の選択が連続性を持つ集合値関数f のことである。各セット内の対応する要素を定義するyがxに近い場合、局所的に通常の関数を定義する。
関数のargmaxは一般に多値です。例えば、。
集合値解析とは、数学解析学および一般位相幾何学の精神に基づいた集合の研究である。
集合値解析では、点の集合のみを考えるのではなく、集合の集合を考えます。集合の集合に位相が付与されている場合、または基となる位相空間から適切な位相を継承している場合、集合の収束を研究することができます。
集合値解析の多くは、数理経済学や最適制御の研究を通して、凸解析の一般化として発展してきた。「変分解析」という用語は、R. Tyrrell RockafellarとRoger JB Wets、Jonathan BorweinとAdrian Lewis、Boris Mordukhovichなどの著者によって使用されている。最適化理論では、近似劣微分が劣微分に収束することが、任意の最小化点の必要十分条件を理解する上で重要である。
点値解析の以下の概念には、集合値拡張が存在する：連続性、微分、積分、[ 4 ]陰関数定理、縮約写像、測度論、不動点定理、[ 5 ]最適化、位相次数論。特に、方程式は包含関係に一般化され、微分方程式は微分包含関係に一般化される。
連続性を一般化する概念は複数あり、閉グラフ特性や上半連続性、下半連続性などが挙げられる[ a ] 。また、測度を多関数に一般化する様々な方法もある。
集合値関数は最適制御理論、特に微分包含式やゲーム理論などの関連分野で現れ、集合値関数に対するカクタニの不動点定理はナッシュ均衡の存在を証明するために応用されてきた。これは、上半連続多関数を連続関数で近似できるという性質と緩やかに関連する多くの性質の中でも、上半連続性が下半連続性よりも好まれる理由を説明するものである。
それにもかかわらず、下位半連続多価関数は通常、パラコンパクト空間の別の特徴付けを提供するマイケルの選択定理で述べられているように連続選択を持ちます。 [ 6 ] [ 7 ]ブレッサン・コロンボ方向連続選択、クラトフスキーとリル・ナルゼフスキーの可測選択定理、アウマン可測選択、分解可能な写像のフリシュコフスキー選択などの他の選択定理は、最適制御と微分包含の理論において重要です。
