ホワイトノイズ

ホワイトノイズは、電子音楽の制作でよく使われ、通常は直接使用されるか、フィルターへの入力として他の種類のノイズ信号を生成します。オーディオシンセシスで広く使用されており、周波数領域でノイズ成分が多いシンバルやスネアドラムなどの打楽器を再現するためによく使われます。 ^{[ 12 ]}ホワイトノイズの簡単な例としては、存在しないラジオ局（静電気ノイズ）があります。

ホワイトノイズは、電気回路、特にアンプやその他のオーディオ機器のインパルス応答を取得するためにも使用されます。 ^{[ 13 ]}スペクトルに高周波成分が多すぎるため、スピーカーのテストには使用されません。ピンクノイズは、各オクターブでエネルギーが等しいという点でホワイトノイズとは異なり、スピーカーやマイクロホンなどのトランスデューサーのテストに使用されます。^{[ 14 ]}

ホワイトノイズは、一部の乱数発生器の基礎として使用されています。たとえば、Random.org は、大気アンテナのシステムを使用して、ホワイトノイズで適切にモデル化できるソースから乱数パターンを生成します。^{[ 15 ]}

ホワイトノイズは、耳鳴りマスカーによるサウンドマスキングに使用される一般的な合成ノイズ源です。^{[ 16 ]}ホワイトノイズマシンやその他のホワイトノイズ源は、プライバシー強化や睡眠補助（音楽と睡眠を参照）として、また耳鳴りをマスキングするために販売されています。^{[ 17 ]} Marpac Sleep-Mateは、1962年に旅行セールスマンのジム・バックウォルターによって作られた最初の家庭用ホワイトノイズマシンでした。^{[ 18 ]}あるいは、未使用周波数（「静電気」）に同調したAMラジオの使用は、よりシンプルで費用対効果の高いホワイトノイズ源です。^{[ 19 ]}しかし、未使用周波数に同調した一般的な市販のラジオ受信機から生成されるホワイトノイズは、隣接するラジオ局、隣接していないラジオ局からの高調波、受信アンテナ付近の電気機器による干渉、さらには太陽フレアや特に雷などの大気現象などの不要な信号によって汚染される可能性が非常に高いです。

ホワイトノイズが認知機能に及ぼす影響はまちまちである。2007年に発表された小規模な研究では、ホワイトノイズの背景刺激は注意欠陥多動性障害（ADHD）のある中学生の認知機能を改善する一方で、ADHDでない学生のパフォーマンスを低下させることがわかった。^{[ 20 ] [ 21 ]}他の研究では、ホワイトノイズはオフィスの背景ノイズをマスキングすることで労働者の気分とパフォーマンスを向上させるのに効果的であるが、^{[ 22 ]}複雑なカード分類タスクでは認知パフォーマンスを低下させることが示されている。^{[ 23 ]}

同様に、学習環境でホワイトノイズを使用することの利点を観察するために、66人の健康な参加者を対象に実験が行われました。この実験では、参加者はさまざまな背景音がある中で、さまざまな画像を識別する必要がありました。全体として、この実験はホワイトノイズが実際に学習に関して利点があることを示しました。実験では、ホワイトノイズが参加者の学習能力と認識記憶をわずかに向上させたことが示されました。^{[ 24 ]}

ランダムベクトル（つまり、R ⁿの値をとるランダム変数）は、その各成分が平均ゼロで有限の分散を持つ確率分布を持つ場合、白色雑音ベクトルまたは白色ランダムベクトルと呼ばれる。標準的な信号処理の定義では、完全に平坦なパワースペクトルを保証するためにこれらの分散が同一であることが厳密に要求されるが、より広範な統計的処理では、分散が有限であり、成分が統計的に独立であること、つまり、それらの同時確率分布が個々の成分の分布の積でなければならないことだけを要求する場合がある。^{[ 25 ]}

2 つの変数の統計的独立性の必要条件 (ただし、一般的には十分条件ではない) は、それらが統計的に無相関であること、つまり共分散がゼロであることです。したがって、n個の要素を持つ白色ノイズベクトルwの成分の共分散行列Rは、 n × nの対角行列でなければなりません。ここで、各対角要素R _iiは成分w _iの分散です。また、相関行列はn × nの単位行列でなければなりません。(分散が同一であれば、共分散行列は単位行列のスカラー倍に単純化されます。${\displaystyle R=\sigma ^{2}I}$)

wのすべての変数が独立していることに加えて、平均がゼロで分散が同じ正規分布に従う場合$\displaystyle \sigma ^{2}}$の場合、w はガウス白色ノイズベクトルであると言われます。この場合、 wの同時分布は多変量正規分布になります。変数間の独立性から、分布はn次元空間で球対称になります。したがって、ベクトルの任意の直交変換はガウス白色ランダムベクトルになります。特に、FFTやハートレーなどのほとんどのタイプの離散フーリエ変換では、 wの変換Wもガウス白色ノイズベクトルになります。つまり、wのn個のフーリエ係数は、平均がゼロで分散が同じ独立なガウス変数になります。$\displaystyle \sigma ^{2}}$。

ランダムベクトルwのパワースペクトルPは、そのフーリエ変換Wの各係数の絶対値の二乗の期待値として定義できます。つまり、P _i = E(| W _i | ² ) です。この定義の下では、ガウス白色ノイズベクトルは完全に平坦なパワースペクトルを持ち、すべてのiに対してP _i = σ ²となります。   

wが白色のランダムベクトルであってガウス分布に従うものでない場合、そのフーリエ係数W _iは互いに完全に独立しているとは言えません。ただし、nが大きく、一般的な確率分布の場合、依存関係は非常に微妙であり、それらのペアワイズ相関はゼロとみなすことができます。

ホワイトノイズの定義では、統計的に独立しているという条件の代わりに、統計的に無相関であるというより弱い条件がよく用いられます。しかし、ホワイトノイズに一般的に期待される特性（平坦なパワースペクトルなど）の一部は、このより弱いバージョンでは成り立たない場合があります。この仮定の下では、より厳密なバージョンは、独立ホワイトノイズベクトルとして明示的に言及することができます。^{[ 26 ]： p.60}他の著者は代わりに、強いホワイトノイズと弱いホワイトノイズを使用しています。^{[ 27 ]}

弱い意味ではガウス白色雑音であるが強い意味ではそうではないランダムベクトルの例は次のとおりである。${\displaystyle x=[x_{1},x_{2}]}$どこ${\displaystyle x_{1}}$は平均がゼロの正規確率変数であり、${\displaystyle x_{2}}$に等しい${\displaystyle +x_{1}}$または${\displaystyle -x_{1}}$等しい確率で。これら 2 つの変数は無相関で、それぞれ正規分布に従いますが、同時に正規分布に従うわけではなく、独立でもありません。${\displaystyle x}$45度回転させると、その2つの成分は依然として無相関のままですが、それらの分布はもはや正規分布ではなくなります。

状況によっては、白いランダムベクトルの各成分を許容することで定義を緩和することができる。${\displaystyle w}$期待値がゼロでない${\displaystyle \mu }$特に画像処理では、サンプルは通常正の値に限定されるため、${\displaystyle \mu }$最大サンプル値の半分となる。その場合、フーリエ係数は${\displaystyle W_{0}}$ゼロ周波数成分に対応する（本質的には、${\displaystyle w_{i}}$）もゼロ以外の期待値を持つ${\displaystyle \mu {\sqrt {n}}}$およびパワースペクトル${\displaystyle P}$ゼロ以外の周波数帯域でのみ平坦になる。

離散時間確率過程${\displaystyle W(n)}$有限個の成分を持つランダムベクトルを無限個の成分を持つランダムベクトルに一般化したものである。離散時間確率過程${\displaystyle W(n)}$すべての に対してその平均がゼロに等しい場合、は弱意味白色雑音（または信号処理では単に「白色雑音」）と呼ばれます。${\displaystyle n}$つまり、${\displaystyle \operatorname {E} [W(n)]=0}$、そしてその自己相関関数${\displaystyle R_{W}(n)=\オペレーター名 {E} [W(k+n)W(k)]}$非ゼロ値を持つのは、${\displaystyle n=0}$つまり、${\displaystyle R_{W}(n)=\sigma ^{2}\delta (n)}$、 どこ$\displaystyle \sigma ^{2}}$分散と${\displaystyle \delta (n)}$はクロネッカーデルタである。^{[ 28 ]}

変数${\displaystyle W(n)}$サンプルが無相関であること（必ずしも統計的に独立である必要はない）だけが求められます。これは、白色雑音の特性である平坦なパワースペクトル密度が、プロセスの2次モーメント（自己相関関数）に完全に依存するためです。サンプルが独立かつ同一分布（iid）であることを厳密に要求するプロセスは、厳密な意味での白色雑音と呼ばれます。特に、無相関の確率変数が同時にガウス分布に従う場合、統計的にも独立であることが必然的に保証されます。

連続時間信号の理論において白色雑音の概念を定義するには、ランダムベクトルの概念を連続時間ランダム信号、すなわち関数を生成するランダム過程に置き換える必要がある。${\displaystyle w}$実数値パラメータの${\displaystyle t}$。

このようなプロセスは、その値が${\displaystyle w(t)}$いつでも${\displaystyle t}$これは、過去の全履歴とは統計的に独立したランダム変数である。${\displaystyle t}$より弱い定義では、値間の独立性のみを要求する。${\displaystyle w(t_{1})}$そして${\displaystyle w(t_{2})}$異なる時刻のペアごとに$t1$そして$t2$さらに弱い定義では、そのようなペアは${\displaystyle w(t_{1})}$そして${\displaystyle w(t_{2})}$相関がない。^{[ 29 ]}離散の場合と同様に、ホワイトノイズの弱い定義を採用し、独立という修飾語を使用してより強い定義のいずれかを参照する著者もいる。また、弱ホワイトと強ホワイトを使用して両者を区別する著者もいる。

しかし、これらの概念の正確な定義は容易ではない。なぜなら、有限離散の場合に有限和となる量の中には、収束しない可能性のある積分に置き換える必要があるものがあるからである。実際、信号のすべての可能なインスタンスの集合は${\displaystyle w}$もはや有限次元空間ではない$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$しかし、無限次元関数空間である。さらに、いかなる定義においても、白色雑音信号は${\displaystyle w}$あらゆる点で本質的に不連続でなければならないため、最も単純な操作でも${\displaystyle w}$有限区間における積分と同様に、高度な数学的手法が必要となる。

入門的な工学テキストの中には、これを厳密な数学的定義ではなく経験則として扱い、各値を要求しているものもある。${\displaystyle w(t)}$期待値を持つ実数値の確率変数である${\displaystyle \mu }$そして、ある程度の有限の分散$\displaystyle \sigma ^{2}}$共分散${\displaystyle \mathrm {E} (w(t_{1})\cdot w(t_{2}))}$2つの時点の値の間$t1$そして$t2$は明確に定義されています。時刻が異なっている場合はゼロであり、$\displaystyle \sigma ^{2}}$それらが等しい場合。ただし、この定義によれば、積分は

${\displaystyle W_{[a,a+r]}=\int _{a}^{a+r}w(t)\,dt}$

正の幅を持つ任意の区間において${\displaystyle r}$単純に幅に期待値を掛けた値になります。${\displaystyle r\mu }$期待値がゼロであること自体は本質的に問題ではありませんが、点ごとの分散が有限である場合、この積分の分散はゼロとなり、信号には測定可能なエネルギーがないことを意味します。この性質により、この概念は物理的にも数学的にも白色雑音信号のモデルとして不適切になります。なぜなら、真の白色雑音プロセスは平坦なパワースペクトル密度を持つ必要があり、そのためには点ごとの分散が有限ではなく無限でなければならないからです。

したがって、ほとんどの著者は信号を定義する${\displaystyle w}$積分のランダムな値を指定することによって間接的に${\displaystyle w(t)}$そして${\displaystyle |w(t)|^{2}}$各区間において${\displaystyle [a,a+r]}$しかし、このアプローチでは、${\displaystyle w(t)}$孤立した時点では、標準的な実数値確率変数として定義することはできません。^{[ 30 ]}また、共分散${\displaystyle \mathrm {E} (w(t_{1})\cdot w(t_{2}))}$無限になるとき$t_1=t_2$および自己共分散関数（工学分野ではしばしば自己相関と大まかに呼ばれる）${\displaystyle \mathrm {R} (t_{1},t_{2})}$定義する必要がある${\displaystyle N\delta (t_{1}-t_{2})}$、 どこ${\displaystyle N}$はパワースペクトル密度を表す実定数であり、${\displaystyle \delta }$はディラックのデルタ関数であり、無限の分散を正しく反映する非有界な尺度である。$t_1=t_2$。

このアプローチでは、通常、積分を指定します。${\displaystyle W_{I}}$の${\displaystyle w(t)}$一定期間にわたって${\displaystyle I=[a,b]}$は正規分布に従う実数確率変数で、平均はゼロ、分散は${\displaystyle (ba)\sigma ^{2}}$; また、共分散${\displaystyle \mathrm {E} (W_{I}\cdot W_{J})}$積分の${\displaystyle W_{I}}$、${\displaystyle W_{J}}$は$\displaystyle r\sigma ^{2}}$、 どこ${\displaystyle r}$交差点の幅${\displaystyle I\cap J}$2つの区間のうち${\displaystyle I,J}$このモデルはガウス白色雑音信号（またはプロセス）と呼ばれます。

ホワイトノイズ解析として知られる数学分野では、ガウスホワイトノイズ${\displaystyle w}$は確率的緩和分布として定義され、すなわち空間内の値を持つ確率変数である。${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )}$緩められた分布の場合。有限次元のランダムベクトルの場合と同様に、無限次元空間上の確率法則${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )}$は、その特性関数によって定義できます（存在と一意性は、ボフナー・ミンロス定理の拡張であるボフナー・ミンロス・サザノフ定理によって保証されます）。

• 多変量正規分布の場合と同様に${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}_{n}(\mu ,\Sigma )}$特徴的な機能を持つもの：

${\displaystyle \forall k\in \mathbb {R} ^{n}:\quad \mathrm {E} (\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \langle k,X\rangle })=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \langle k,\mu \rangle -{\frac {1}{2}}\langle k,\Sigma k\rangle },}$

• ホワイトノイズ${\displaystyle w:\Omega \to {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )}$以下の条件を満たす必要があります：

${\displaystyle \forall \varphi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ):\quad \mathrm {E} (\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \langle w,\varphi \rangle })=\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}\|\varphi \|_{2}^{2}},}$

• どこ${\displaystyle \langle w,\varphi \rangle }$は、緩和分布の自然な組み合わせです${\displaystyle w(\omega )}$シュワルツ関数を用いて${\displaystyle \varphi }$（つまり、我々は${\displaystyle \varphi }$固定線形関数として${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )}$に類似して${\displaystyle k}$その上）。
• そして${\displaystyle \|\varphi \|_{2}^{2}=\int _{\mathbb {R} }\vert \varphi (x)\vert ^{2}\,\mathrm {d} x}$。

統計学や計量経済学では、観測された一連のデータ値は、特定の独立変数（説明変数）と一連のランダムノイズ値に依存する決定論的線形プロセスによって生成された値の合計であると仮定されることが多い。そして、回帰分析は、例えば最小二乗法によって、観測されたデータからモデルプロセスのパラメータを推定し、各パラメータがゼロであるという帰無仮説を、ゼロでないという対立仮説に対して検定するために使用される。仮説検定では、通常、ノイズ値は互いに無相関で平均がゼロであり、同じガウス確率分布を持つ、つまりノイズはガウス白色（単なる白色ではない）であると仮定される。^{[ 31 ]}異なる観測の背後にあるノイズ値の間にゼロでない相関がある場合、推定されたモデルパラメータは依然として不偏であるが、その不確実性の推定値（信頼区間など）は偏りがある（平均的に正確ではない）。これは、ノイズが不均一分散である場合、つまり、異なるデータポイントごとに分散が異なる場合にも当てはまります。  

あるいは、回帰分析のサブセットである時系列分析では、モデル化される変数（従属変数）の過去の値以外の説明変数は存在しないことが多い。この場合、ノイズプロセスは移動平均プロセスとしてモデル化されることが多く、従属変数の現在の値は、連続するホワイトノイズプロセスの現在値と過去の値に依存する。^{[ 32 ]}

適切な線形変換（着色変換）により、白色ランダムベクトルを使用して、要素が所定の共分散行列を持つ非白色ランダムベクトル（つまり、ランダム変数のリスト）を生成できます。逆に、既知の共分散行列を持つランダムベクトルは、適切な白色化変換によって白色ランダムベクトルに変換できます。^{[ 33 ]}

これら2つの概念は、通信やオーディオにおけるチャネル推定やチャネル等化といった応用分野で非常に重要です。また、これらの概念はデータ圧縮にも用いられています。