加法マップ

代数学において、加法写像、-線型写像、または加法関数とは、の定義域に あるすべての要素のペアと に対して、加法演算を保存する関数です。 ^[1]たとえば、任意の線型写像は加法です。定義域が実数のとき、これはコーシーの関数方程式です。この定義の具体的なケースについては、加法多項式を参照してください。 ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f.}$

より正式には、加法写像は-加群準同型です。アーベル群は-加群なので、アーベル群間の群準同型として定義できます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

2つの引数それぞれについて加法的な写像は、双加法写像または双線形写像と呼ばれる。^[2]${\displaystyle V\times W\to X}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

典型的な例としては、加法群を保存する環、ベクトル空間、または加法群間の写像が挙げられます。加法写像は、環の積演算など、オブジェクトの他の構造を必ずしも保存するわけではありません。

および が加法的な写像である場合、 (点ごとに定義された) 写像は加法的です。${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f+g}$

整数によるスカラー乗算の定義

が単位元を持つ加法群であり、 の逆がで表されるとします。任意の および 整数について、次が成り立ちます。 したがって 、 およびは、すべての整数およびすべてのに対して、 であることが示されます。このスカラー乗算の定義により、の 巡回部分群は左- 加群になります。 が可換である場合、 も左- 加群になります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle -x.}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,}$$${\displaystyle nx:=\left\{{\begin{alignedat}{9}&&&0&&&&&&~~~~&&&&~{\text{ }}n=0 のとき、\\&&&x&&+\cdots +&&x&&~~~~{\text{(}}n&&{\text{ 加数) }}&&~{\text{ }}n>0 のとき、\\&(-&&x)&&+\cdots +(-&&x)&&~~~~{\text{(}}|n|&&{\text{ 加数) }}&&~{\text{ }}n<0 のとき、\\\end{alignedat}}\right.}$$${\displaystyle (-1)x=-x}$${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle (m+n)x=mx+nx}$${\displaystyle -(nx)=(-n)x=n(-x).}$${\displaystyle \mathbb {Z} x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

整数上の同次性

が加法群間の加法写像である場合、すべてに対して となり、 となります(ただし、否定は加法逆を表す) 。 ^{[証明 1]} したがって、すべてに対して となります(ただし、定義により)。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f(0)=0}$${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$ $${\displaystyle f(nx)=nf(x)\quad {\text{ すべての }}n\in \mathbb {Z} に対して。}$$${\displaystyle f(xy)=f(x)-f(y)}$${\displaystyle x,y\in X}$${\displaystyle xy:=x+(-y)}$

言い換えれば、すべての加法写像は整数 上で同次です。したがって、アーベル群間のすべての加法写像は- 加群の準同型${\displaystyle \mathbb {Z} }$です。

-加群の準同型性${\displaystyle \mathbb {Q} }$

加法アーベル群 とが有理数（実ベクトル空間や複素ベクトル空間など）上の単位加群でもある場合、加法写像は次式を満たします。 ^{[証明 2]} 言い換えれば、すべての加法写像は有理数上で同次です。したがって、単位-加群間のすべての加法写像は-加群の準同型です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle f:X\to Y}$ $${\displaystyle f(qx)=qf(x)\quad {\text{ 任意の }}q\in \mathbb {Q} {\text{ および }}x\in X に対して。}$$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

コーシーの関数方程式に関する記事で説明されているように、上で同次であるにもかかわらず、加法関数が実数 上で同次でなくなる可能性もあります。言い換えると、ある定数 に対して の形式ではない加法写像が存在します。 特に、線型写像ではない加法写像が存在します。 ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$${\displaystyle X=Y=\mathbb {R} ,}$${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(x)=s_{0}x}$${\displaystyle s_{0}\in \mathbb {R} .}$

• 反線型写像 – 共役同次加法写像

証明

• ロジャー・C・リンドン; Paul E. Schupp (2001)、組合せ群理論、Springer