線形代数群上の分布

k を代数的に閉じた体とし、G をk上の線形代数群（すなわちアフィン代数群）とする。定義により、Lie( G ) は、 Gの左作用と可換なk [ G ]のすべての微分からなるリー代数である。リー群の場合と同様に、単位元におけるGの接空間と同一視することができる。

ホップ代数には、次のような一般的な構成があります。Aをホップ代数とします。Aの有限双対は、有限余次元の左イデアルを含む核を持つ A上の線形汎関数の空間です。具体的には、行列係数の空間と見なすことができます。

X = Spec Aを体k上のアフィン スキームとし、I x_を制限写像の核とする。${\displaystyle A\to k(x)}$xの剰余体。定義により、x ''でサポートされる分布fは、 A上のk線形汎関数であり、${\displaystyle f(I_{x}^{n})=0}$あるnに対して。（注： kが任意の環であっても、この定義は依然として有効です。）

さて、Gがk上の代数群である場合、Dist( G )を単位元でサポートされるG上のすべての分布の集合とします(単にG上の分布と呼ばれることもあります)。f と g がこれに含まれる場合、f * gで降格されたfとgの積を線形汎関数と定義します。

${\displaystyle k[G]{\overset {\Delta }{\to }}k[G]\otimes k[G]{\overset {f\otimes g}{\to }}k\otimes k=k}$

ここで、Δは乗法によって誘導される準同型写像である余乗法である。${\displaystyle G\times G\to G}$乗算は結合法則を満たすことがわかります（${\displaystyle 1\otimes \Delta \circ \Delta =\Delta \otimes 1\circ \Delta }$したがって、Dist( G ) は結合代数であり、この集合は式による倍加操作に関して閉じている。

(*)${\displaystyle \Delta (I_{1}^{n})\subset \sum _{r=0}^{n}I_{1}^{r}\otimes I_{1}^{nr}.}$

また、線形汎関数である統一性とも統一的である。${\displaystyle k[G]\to k,\phi \mapsto \phi (1)}$ディラックのデルタ尺度。

リー代数 Lie( G ) は Dist( G ) の中にあります。実際、定義により、Lie( G ) は単位元 1 におけるGの接空間です。つまり、双対空間です。${\displaystyle I_{1}/I_{1}^{2}}$したがって、接線ベクトルは定数項を持たず、 I ₁の二乗を消去する I 1 上の線形_汎関数に相当し、式 (*) は、${\displaystyle [f,g]=f*gg*f}$は依然として接線ベクトルである。

させて${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}$Gのリー代数を とする。すると、普遍性により、包含関係は${\displaystyle {\mathfrak {g}}\hookrightarrow \operatorname {Dist} (G)}$代数準同型を誘導する：

${\displaystyle U({\mathfrak {g}})\to \operatorname {Dist} (G).}$

基底体kの標数がゼロの場合、この準同型写像は同型写像である。^{[ 1 ]}

• Gの任意の閉部分群H、' Kについて、kが完全であり、Hが既約である場合、

${\displaystyle H\subset K\Leftrightarrow \operatorname {Dist} (H)\subset \operatorname {Dist} (K).}$

• VがG加群 (つまりGの表現)である場合、自然な Dist( G ) 加群の構造を持ち、それがさらに加群構造を与えます。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$。
• アフィン代数多様体Xに対する任意の作用Gは^、座標環k [ X ] 上にGの表現を誘導する。特に、Gの共役作用は、 k [ G ]に対するGの作用を誘導する。I n ₁はGの下で安定であることが示せるので、G は( k [ G ]/ I ⁿ ₁ ) ^*に作用し、そこからその和集合 Dist( G ) に作用する。結果として得られる作用は、 Gの随伴作用と呼ばれる。