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数学において、( B , N ) ペアは、多数の結果に対して個別の証明を多数与える代わりに、一様な証明を与えることを可能にするリー型の群の構造である。大まかに言えば、これはそのような群がすべて体上の一般線型群に類似していることを示す。これらは数学者ジャック・ティッツによって導入され、ティッツ系と呼ばれることもある。
意味
( B , N )ペアは、グループGのサブグループ BとNのペアであり、次の公理が成り立ちます。
- G はBとNによって生成されます。
- BとNの共通部分TはNの正規部分群です。
- 群W = N / Tは、位数2の要素の集合Sによって生成され、
- s がSの要素であり、w がWの要素である場合、sBw はBswBとBwBの和集合に含まれます。
- Sのどの要素もB を正規化しません。
集合SはBとNによって一意に決定され、ペア( W , S )はコクセターシステムである。[1]
用語
BNペアは簡約群と密接に関連しており、両方の主題の用語は重複しています。Sのサイズはランクと呼ばれます。
Gの部分群は
- Bの共役を含む場合は放物線状、
- 実際にB自体が含まれている場合は、標準的な放物線であり、
- Bの共役である場合はボレル（または極小放物線）です。
例
( B、N ) ペアの抽象的な例は、特定のグループアクションから発生します。
- G が2 つ以上の要素を持つ集合E上の任意の二重推移的置換群であるとします。Bを点x を固定するGの部分群とし、N を2 つの点xとyを固定または交換する部分群とします。すると、部分群Tはxとy の両方を固定する要素の集合となり、W は位数 2 で、その非自明な要素はxとy を交換する任意の要素によって表されます。
- 逆に、G に階数 1 の( B , N ) ペアがある場合、 Bの剰余類に対するGの作用は二重推移的です。したがって、階数 1 の ( B , N ) ペアは、2 つ以上の要素を持つ集合に対する二重推移的な作用とほぼ同じです。
( B , N ) ペアのより具体的な例は、簡約群で見つけることができます。
- G が体K上の一般線型群 GL n Kであるとします。Bを上三角行列、T を対角行列、N を単項行列、つまり各行と各列に 1 つの非ゼロ要素を持つ行列とします。対角行列の隣接する 2 つの行を入れ替えることで得られる行列で表されるn − 1 個の生成元があります 。ワイル群はn文字上の対称群です。
- より一般的には、Gが体K上の簡約群である場合、群G = G ( K )は( B , N )ペアを持ち、
- B = P ( K )、ここでP はGの極小放物線部分群であり、
- N = N ( K )、ここでNはPに含まれる分割最大トーラスの正規化子である。[2]
- 特に、リー型の任意の有限群は ( B、N ) ペアの構造を持ちます。
- この例では、 2 つの要素の体上でカルタン部分群は自明です。
- 局所体上の半単純単連結代数群には、 ( B、N ) ペアがあり、B は岩堀部分群です。
プロパティ
ブルハット分解
ブルーハット分解は、 G = BWBと表される。より正確には、二重剰余類 B\G/BはWからNへの持ち上げの集合で表される。[3]
放物線部分群
あらゆる放物線部分群はGにおけるその正規化群に等しい。[4]
あらゆる標準放物線は、 Sの何らかの部分集合Xに対してBW ( X ) B の形をとり、ここでW ( X ) はXによって生成されるコクセター部分群を表す。さらに、2 つの標準放物線が共役となるのは、それらの集合Xが同じ場合のみである。したがって、Sの部分集合と標準放物線の間には一対一の関係がある。 [5]より一般的には、この一対一の関係は放物線部分群の共役類にまで拡張される。[6]
ティッツの単純定理
BN ペアは、リー型の多くの群が中心を法として単純であることを証明するために使用できます。より正確には、GにBNペアがあり、 B が可解な群であり、 Bのすべての共役の共通集合が自明であり、Wの生成元の集合が 2 つの空でない可換集合に分解できない場合、 G が完全群であるときはいつでもG は単純です。実際には、 Gが完全であることを除いて、これらすべての条件は簡単に確認できます。G が完全であることを確認するには、少し面倒な計算が必要です (実際、完全ではないリー型の小さな群がいくつかあります)。しかし、グループが完全であることを示すことは、グループが単純であることを示すよりもはるかに簡単です。
引用
- ^ アブラメンコ＆ブラウン 2008、319ページ、定理6.5.6(1)。
- ^ ボレル 1991、p. 236、定理21.15。
- ^ ブルバキ 1981、p. 25、テオレーム1。
- ^ ブルバキ 1981、p. 29、テオレーム 4(iv)。
- ^ ブルバキ 1981、p. 27、テオレーム3。
- ^ ブルバキ 1981、p. 29、テオレーム4。
参考文献
- アブラメンコ、ピーター; ブラウン、ケネス S. (2008)。建物。理論と応用。シュプリンガー。ISBN 978-0-387-78834-0. MR 2439729. Zbl 1214.20033.セクション6.2.6ではBNペアについて説明します。
- ボレル、アルマン(1991) [1969]、「線形代数群」、Graduate Texts in Mathematics、vol. 126 (第2版)、ニューヨーク: Springer Nature、doi :10.1007/978-1-4612-0941-6、ISBN 0-387-97370-2、MR 1102012
- ブルバキ、ニコラ（1981）。リー群とリー代数：第4章から第6章。数学の原点（フランス語）。ヘルマン。ISBN 2-225-76076-4. MR 0240238. Zbl 0483.22001. 第 IV 章、§ 2 は BN ペアの標準的なリファレンスです。
- ブルバキ、ニコラス（2002）。リー群とリー代数：第4章から第6章。数学の要素。シュプリンガー。ISBN 3-540-42650-7. MR 1890629. Zbl 0983.17001.
- ジャン・ピエール・セール(2003)。木々。スプリンガー。ISBN 3-540-44237-5.ZBL1013.20001 。