固定小数点部分環

代数学において、環Rの自己同型fの不動点部分環は、 fの不動点の部分環である。つまり、 ${\displaystyle R^{f}}$

${\displaystyle R^{f}=\{r\in R\mid f(r)=r\}.}$

より一般的には、GがRに作用する群 であるならば、 Rの部分環

${\displaystyle R^{G}=\{r\in R\mid g\cdot r=r,\,g\in G\}}$

は固定部分環、またはより伝統的にはG の下での不変量環と呼ばれる。S がRの自己同型の集合である場合、 Sの元によって固定されるRの元はSによって生成される群の下での不変量環を形成する。特に、自己同型fの固定点部分環はfによって生成される巡回群の不変量環である。

ガロア理論において、Rが体でG が体の自己同型群である場合、固定環は自己同型群の固定体と呼ばれる部分体です。ガロア理論の基本定理を参照してください。

共変量のモジュールとともに、不変量環は不変量理論における中心的な研究対象です。幾何学的には、不変量環は（アフィンまたは射影） GIT商の座標環であり、幾何学的不変量理論における構成において基本的な役割を果たします。

例:をn変数の多項式環とします。対称群S _{n は、}変数を置換することによってRに作用します。このとき、不変量の環は対称多項式の環です。簡約代数群G がRに作用する場合、不変量理論の基本定理はR ^Gの生成元を記述します。 ${\displaystyle R=k[x_{1},\dots,x_{n}]}$${\displaystyle R^{G}=k[x_{1},\dots ,x_{n}]^{\operatorname {S} _{n}}}$

ヒルベルトの第14の問題は、不変量環が有限生成であるかどうかを問うものです（永田の定理により、 G が簡約代数群であれば答えは肯定的です）。有限生成は、有限生成代数Rに作用する有限群 Gに対して簡単に見られます。R はR ^G上で整列しているので、^[1]アルティン・テイトの補題はR ^Gが有限生成代数であることを意味します。 いくつかの単元群に対しては答えは否定的です。

G を^有限群とする。Sを有限次元G加群の対称代数とする。Gが反射群であるためには、S G上の自由加群（有限ランク）である必要があります（シュヴァレーの定理）。^{[引用が必要]}${\displaystyle S}$

微分幾何学において、G がリー群でそのリー代数が である場合、多様体M上の各主G束は次数代数準同型（チャーン・ヴェイユ準同型と呼ばれる） を決定する。${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {嘘} (G)}$

${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}\to \operatorname {H} ^{2*}(M;\mathbb {C} )}$

ここで は上の多項式関数の環であり、G はに随伴表現によって作用します。 ${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]}$

• キャラクターの多様性

• 向井 茂; オックスベリー, WM (2003年9月8日) [1998],不変量とモジュライ入門, ケンブリッジ高等数学研究, 第81巻,ケンブリッジ大学出版局, ISBN 978-0-521-80906-1、MR  2004218
• Springer, Tonny A. (1977)、不変理論、数学講義ノート、第585巻、Springer