交換行列

線型代数では、2 つの行列 とは、の場合、または同等にそれらの交換子が 0 の場合に、可換であると言われます。行列の集合は、それらがペアごとに可換である場合に可換であると言われます。つまり、集合内のすべての行列のペアが可換であるということです。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle AB=BA}$ ${\displaystyle [A,B]=AB-BA}$${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}$

• 可換行列は互いの固有空間を保存します。^[1]結果として、代数的に閉じた体上の可換行列は同時に三角化可能です。つまり、両方が上三角である基底が存在します。言い換えれば、可換であれば、すべての に対して が上三角であるような相似行列が存在します。次の反例が示すように、 逆は必ずしも真ではありません。${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P^{-1}A_{i}P}$${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,k\}}$

  ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\0&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\0&3\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}1&5\\0&3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2\\0&3\end{bmatrix}}.}$

しかし、2つの行列の交換子の平方がゼロ、つまり の場合、その逆は真である。^[2]${\displaystyle [A,B]^{2}=0}$

• 2 つの対角化可能な行列と は、同時に対角化可能である場合(つまり、 と が両方とも対角 であるような可逆行列が存在する場合) 、互いに可換です。 ^{[3] : p. 64}逆もまた真です。つまり、2 つの対角化可能な行列が可換である場合、それらは同時に対角化可能です。^[4]しかし、任意の 2 つの行列が可換である場合 (そして、それらが 2 つの対角化可能な行列であると仮定していない場合)、行列の 1 つに多重固有値がなければ、それらは同時に対角化可能です。^[5]${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle AB=BA}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P^{-1}AP}$${\displaystyle P^{-1}BP}$
• と が可換である場合、それらは共通の固有ベクトルを持ちます。が異なる固有値を持ち、 とが可換である場合、の固有ベクトルはの固有ベクトルになります。${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$
• 行列の 1 つに、その最小多項式がその特性多項式と一致する(つまり、最大次数を持つ) という特性がある場合 (特に、特性多項式が単純な根のみを持つ場合に発生します) 、他の行列は最初の多項式として表すことができます。
• 同時三角化可能性の直接的な結果として、 2つの可換複素行列A、Bの固有値とその代数的重複度（特性多項式の根の多重集合）は、 2つの行列の任意の多項式の固有値の多重集合が値の多重集合であるように一致させることができます。この定理はフロベニウスによるものです。^[6]${\displaystyle \alpha _{i}\leftrightarrow \beta _{i}}$${\displaystyle P(A,B)}$${\displaystyle P(\alpha _{i},\beta _{i})}$
• 2つのエルミート行列は、その固有空間が一致する場合、可換である。特に、複数の固有値を持たない2つのエルミート行列は、同じ固有ベクトルの集合を共有する場合、可換である。これは、両方の行列の固有値分解を考慮することでわかる。と を2つのエルミート行列とする。 と が およびと書ける場合、と は共通の固有空間を持つ。すると、 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A=U\Lambda _{1}U^{\dagger }}$${\displaystyle B=U\Lambda _{2}U^{\dagger }}$

  ${\displaystyle AB=U\Lambda _{1}U^{\dagger }U\Lambda _{2}U^{\dagger }=U\Lambda _{1}\Lambda _{2}U^{\dagger }=U\Lambda _{2}\Lambda _{1}U^{\dagger }=U\Lambda _{2}U^{\dagger }U\Lambda _{1}U^{\dagger }=BA.}$

• 2 つの行列が可換であるという性質は推移的ではありません。行列はと の両方と可換ですが、 とは互いに可換ではありません。たとえば、単位行列はすべての行列と可換ですが、それらの行列はすべて可換ではありません。考慮する行列の集合が複数の固有値を持たないエルミート行列に制限されている場合、固有ベクトルによる特徴付けの結果として、可換性は推移的です。${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$
• リーの定理は、解けるリー代数の任意の表現が同時に上三角化可能であることを示し、一般化として見ることができます。
• n  ×  n行列が他のすべてのn  ×  n行列と可換となるのは、それがスカラー行列、つまり という形式の行列である場合のみです。ここで、はn  ×  n単位行列で、 はスカラーです。言い換えると、乗算による n × n 行列の 群 の中心は、スカラー行列の部分群です。${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \lambda }$
• 有限体 を固定し、上の可換行列の順序対の数を とすると、W. FeitとNJ Fine ^[7]は次式を示した。${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle P(n)}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$$${\displaystyle 1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {P(n)}{(q^{n}-1)(q^{n}-q)\cdots (q^{n}-q^{n-1})}}z^{n}=\prod _{i=1}^{\infty }\prod _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{1-q^{1-j}z^{i}}}.}$$

• 単位行列はすべての行列と可換です。
• ジョルダンブロックは、バンドに沿って同じ値を持つ上三角行列と交換可能です。
• 2つの対称行列の積が対称であれば、それらは必ず可換である。これはまた、すべての対角行列が他のすべての対角行列と可換であることを意味する。^{[8] [9]}
• 巡回行列は可換です。2つの巡回行列の和は巡回行列なので、それらは可換環を形成します。

可換行列の概念は、行列理論に関するケイリーの回想録で導入され、行列の最初の公理化も提供されました。可換行列に関する最初の重要な結果は、1878年にフロベニウスによって証明されました。 ^[10]