ローラン多項式

数学において、体上の 1 変数のローラン多項式(ピエール・アルフォンス・ローランにちなんで名付けられた) は、 の係数を持つ変数の正と負の累乗の線形結合です。 のローラン多項式はで示される環を形成します。^{[1]これらは負の次数の項を持つ可能性がある点で通常の}多項式と異なります。 ローラン多項式の構築は反復可能であり、複数の変数のローラン多項式の環につながります。 ローラン多項式は複素変数の研究において特に重要です。 ${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {F} [X,X^{-1}]}$

体上の係数を持つローラン多項式は、次の形式の表現である。 ${\displaystyle \mathbb {F} }$

${\displaystyle p=\sum _{k}p_{k}X^{k},\quad p_{k}\in \mathbb {F} }$

ここで、は形式変数であり、総和指数は整数（必ずしも正ではない）であり、有限個の係数のみが非ゼロです。2 つのローラン多項式は、係数が等しい場合に等しくなります。このような式は、加算、乗算でき、類似項を減算することで同じ形式に戻すことができます。加算と乗算の式は、通常の多項式とまったく同じですが、 の正の累乗と負の累乗の両方が存在できるという点が異なります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle p_{k}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\bigg (}\sum _{i}a_{i}X^{i}{\bigg )}+{\bigg (}\sum _{i}b_{i}X^{i}{\bigg )}=\sum _{i}(a_{i}+b_{i})X^{i}}$

そして

${\displaystyle {\bigg (}\sum _{i}a_{i}X^{i}{\bigg )}\cdot {\bigg (}\sum _{j}b_{j}X^{j}{\bigg )}=\sum _{k}{\Bigg (}\sum _{i,j \atop i+j=k}a_{i}b_{j}{\Bigg )}X^{k}.}$

係数と非ゼロの数は有限個だけなので、すべての合計は実質的に有限個の項しか持たず、したがってローラン多項式を表します。 ${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle b_{j}}$

• 上のローラン多項式は、有限個の係数のみがゼロでないローラン級数として考えることができます。${\displaystyle \mathbb {C} }$
• ローラン多項式環は、を「反転」することによって得られる多項式環の拡張です。より厳密に言えば、これはの非負のべき乗からなる乗法集合における多項式環の局所化です。ローラン多項式環の多くの特性は、局所化の一般的な特性から生じます。${\displaystyle R\left[X,X^{-1}\right]}$ ${\displaystyle R[X]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
• ローラン多項式環は有理関数の部分環です。
• 体上のローラン多項式の環はネーター多項式である（アルティン多項式ではない）。
• が整域である場合、ローラン多項式環の単位はの形式を持ちます。ここでは の単位であり、 は整数です。特に、 が体である場合、 の単位は の形式を持ちます。ここで は の非ゼロの要素です。${\displaystyle R}$${\displaystyle R\left[X,X^{-1}\right]}$${\displaystyle uX^{k}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle R}$${\displaystyle k}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K[X,X^{-1}]}$${\displaystyle aX^{k}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle K}$
• ローラン多項式環は、上の整数群の群環と同型です。より一般的には、変数のローラン多項式環は、階数 の自由アーベル群の群環と同型です。したがって、ローラン多項式環には、可換かつ可換なホップ代数の構造が付与されます。${\displaystyle R[X,X^{-1}]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle R}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

• ジョーンズ多項式

• ラング、セルジュ（2002）、代数、数学大学院テキスト、211（改訂第3版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラグ、ISBN  978-0-387-95385-4、MR 1878556