カルタンサブグループ

代数群の理論では、（代数的に閉じている必要はない）体上の連結な線型代数群のカルタン部分群は、最大トーラスの中心化群である。カルタン部分群は滑らか（同値に縮約）、連結、冪零である。が代数的に閉じている場合、それらはすべて互いに共役である。^[1] ${\displaystyle G}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

代数群の文脈では、トーラスは 、基底拡大( はの代数閉包) が の有限個のコピーの積に同型であるような代数群であることに注意してください。このような極大部分群は、代数群の理論において、リー群の理論における極大トーラスの役割に似た役割を果たします。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle T_{({\bar {k}})}}$${\displaystyle {\bar {k}}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {G} _{m}=\mathbf {GL} _{1}}$

が簡約的である場合（特に半単純である場合）、トーラスが最大となるのは、それがそれ自身の中心化である場合に限ります^[2] 。したがって、 のカルタン部分群は、まさに最大トーラスです。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

一般線型群は簡約的です。対角部分群は明らかにトーラス (実際には分割トーラスです。なぜなら、基底拡張の前にすでに n 個のコピーの積になっているからです) であり、最大であることが示せます。は簡約的であるため、対角部分群はカルタン部分群です。 ${\displaystyle \mathbf {GL} _{n}}$${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$${\displaystyle \mathbf {GL} _{n}}$

• ボレルサブグループ
• 代数群
• 代数トーラス

• ボレル、アルマン（1991-12-31）。線形代数群。ISBN 3-540-97370-2。
• ラング、セルジュ(2002)。代数。スプリンガー。ISBN 978-0-387-95385-4。
• ミルン、JS (2017)、代数群：体上の有限型の群スキームの理論、ケンブリッジ大学出版局、doi :10.1017/9781316711736、ISBN 978-1107167483、MR  3729270
• ポポフ、VL (2001) [1994]、「カルタン部分群」、数学百科事典、EMS プレス
• Springer, Tonny A. (1998)、線形代数群、Progress in Mathematics、第9巻（第2版）、ボストン、マサチューセッツ州：Birkhäuser Boston、ISBN 978-0-8176-4021-7、MR  1642713