位相ベクトル空間

すべてのノルム付きベクトル空間は自然な位相構造を持ちます。ノルムは距離を誘導し、距離は位相を誘導します。これは位相ベクトル空間です。なぜなら：

1. ベクトル加算マップ${\displaystyle \cdot \,+\,\cdot \;:X\times X\to X}$定義される${\displaystyle (x,y)\mapsto x+y}$この位相に関して、（共同で）連続である。これは、ノルムが満たす三角不等式から直接導かれる。
2. スカラー乗算マップ${\displaystyle \cdot$ :\mathbb {K} \times X\to X} は 次のように定義されます。${\displaystyle (s,x)\mapsto s\cdot x,}$どこ${\displaystyle \mathbb {K} }$は、${\displaystyle X,}$は（結合的に）連続である。これは、三角不等式とノルムの同次性から導かれる。

したがって、すべてのバナッハ空間とヒルベルト空間は位相ベクトル空間の例である。

位相がノルムによって誘導されない位相ベクトル空間が存在するが、解析学では依然として興味深い。そのような空間の例としては、開領域上の正則関数の空間、無限回微分可能な関数の空間、シュワルツ空間、テスト関数の空間、およびそれらの上の分布の空間などがある。 ^{[ 1 ]}これらはすべてモンテル空間の例である。無限次元モンテル空間は決してノルム化できない。与えられた位相ベクトル空間のノルムの存在は、コルモゴロフのノルム化基準によって特徴付けられる。

位相体とは、その各部分体上の位相ベクトル空間のことである。

すべてのベクトル位相は並進不変であるため（つまり、すべての${\displaystyle x_{0}\in X,}$地図${\displaystyle X\to X}$定義される${\displaystyle x\mapsto x_{0}+x}$は同相写像である）、ベクトル位相を定義するには、原点におけるその近傍基底（または部分基底）を定義するだけで十分である。

一般に、ベクトル空間のすべてのバランスのとれた吸収部分集合の集合は、この定理の条件を満たさず、いかなるベクトル位相においても原点における近傍基底を形成しない。^{[ 5 ]}

させて${\displaystyle X}$をベクトル空間とし、${\displaystyle U_{\bullet }=\left(U_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$部分集合のシーケンスである${\displaystyle X.}$シーケンス内の各セット${\displaystyle U_{\bullet }}$と呼ばれる結び目​${\displaystyle U_{\bullet }}$そしてすべてのインデックスについて${\displaystyle i,}$${\displaystyle U_{i}}$と呼ばれる${\displaystyle i}$の番目の結び目${\displaystyle U_{\bullet }.}$セット${\displaystyle U_{1}}$は、​${\displaystyle U_{\bullet }.}$シーケンス${\displaystyle U_{\bullet }}$is/is a: ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

• 総括的${\displaystyle U_{i+1}+U_{i+1}\subseteq U_{i}}$すべてのインデックスについて${\displaystyle i.}$
• バランスが取れている（または吸収性、閉鎖性、 ^{[注1 ]}凸型、開放性、対称性、樽型、絶対凸型/円盤型など）すべての${\displaystyle U_{i}.}$
• 文字列の場合${\displaystyle U_{\bullet }}$総括的で、興味深く、バランスが取れている。
• トポロジカルストリングまたはTVSの近隣ストリング${\displaystyle X}$もし${\displaystyle U_{\bullet }}$は文字列であり、その各結び目は原点の近傍である。${\displaystyle X.}$

もし${\displaystyle U}$ベクトル空間における吸収円盤である${\displaystyle X}$次に定義されるシーケンス${\displaystyle U_{i}:=2^{1-i}U}$で始まる文字列を形成します${\displaystyle U_{1}=U.}$これは自然の弦と呼ばれています${\displaystyle U}$^{[ 7 ]}さらに、ベクトル空間が${\displaystyle X}$が可算次元であるならば、すべての文字列は絶対凸文字列を含む。

集合の総和列は、非負の連続実数値劣加法関数を定義するという特に優れた性質を持つ。これらの関数は、位相ベクトル空間の多くの基本的な性質を証明するために利用できる。

上記の定理の証明は、距離化可能な位相ベクトル空間に関する論文に記載されている。

もし${\displaystyle U_{\bullet }=\left(U_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }}$そして${\displaystyle V_{\bullet }=\left(V_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }}$ベクトル空間のサブセットの2つの集合${\displaystyle X}$そしてもし${\displaystyle s}$はスカラーであるため、定義により次のようになります。^{[ 7 ]}

• ${\displaystyle V_{\bullet }}$を含む${\displaystyle U_{\bullet }}$:${\displaystyle \ U_{\bullet }\subseteq V_{\bullet }}$かつその場合に限り${\displaystyle U_{i}\subseteq V_{i}}$すべてのインデックスについて${\displaystyle i.}$
• 結び目のセット：${\displaystyle \ \operatorname {Knots} U_{\bullet }:=\left\{U_{i}:i\in \mathbb {N} \right\}.}$
• カーネル:${\textstyle \ \ker U_{\bullet }:=\bigcap _{i\in \mathbb {N} }U_{i}.}$
• スカラー倍数：${\displaystyle \ sU_{\bullet }:=\left(sU_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }.}$
• 合計：${\displaystyle \ U_{\bullet }+V_{\bullet }:=\left(U_{i}+V_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }.}$
• 交差点：${\displaystyle \ U_{\bullet }\cap V_{\bullet }:=\left(U_{i}\cap V_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }.}$

もし${\displaystyle \mathbb {S} }$は、サブセットのシーケンスのコレクションです。${\displaystyle X,}$それから${\displaystyle \mathbb {S} }$包含の下では（下向きに）方向付けられている、または単に下向きに方向付けられていると言われます。${\displaystyle \mathbb {S} }$空ではなく、すべての${\displaystyle U_{\bullet },V_{\bullet }\in \mathbb {S} ,}$いくつか存在する${\displaystyle W_{\bullet }\in \mathbb {S} }$そのため${\displaystyle W_{\bullet }\subseteq U_{\bullet }}$そして${\displaystyle W_{\bullet }\subseteq V_{\bullet }}$（言い換えれば、${\displaystyle \mathbb {S} }$包含に関する前処理フィルタです${\displaystyle \,\subseteq \,}$（上記で定義）。

表記法:${\textstyle \operatorname {Knots} \mathbb {S}$ :=\bigcup _{U_{\bullet }\in \mathbb {S} }\operatorname {Knots} U_{\bullet }} は、 すべての文字列のすべての結び目の集合とする。${\displaystyle \mathbb {S} .}$

文字列の集合を用いてベクトルトポロジーを定義することは、必ずしも局所的に凸ではないTVSのクラスを定義する際に特に有用である。

もし${\displaystyle \mathbb {S} }$TVS内のすべてのトポロジカル文字列の集合は${\displaystyle (X,\tau )}$それから${\displaystyle \tau _{\mathbb {S} }=\tau .}$^{[ 7 ]}ハウスドルフTVSは、その位相が単一の位相ストリングによって誘導できる場合に限り、距離化可能^{である。 [ 10 ]}

ベクトルトポロジーの最もよく使われる特性の1つは、すべてのベクトルトポロジーが翻訳不変条件:

すべての人々のために${\displaystyle x_{0}\in X,}$地図${\displaystyle X\to X}$定義される${\displaystyle x\mapsto x_{0}+x}$は同相写像ですが、${\displaystyle x_{0}\neq 0}$そうなると線形ではないため、TVS同型写像ではない。

スカラーと非ゼロのスカラーの乗算はTVS同型写像です。これは、もし${\displaystyle s\neq 0}$次に線形マップ${\displaystyle X\to X}$定義される${\displaystyle x\mapsto sx}$同相写像です。${\displaystyle s=-1}$否定マップを生成する${\displaystyle X\to X}$定義される${\displaystyle x\mapsto -x,}$これは結果として線形同相写像であり、したがってTVS同相写像である。

もし${\displaystyle x\in X}$および任意の部分集合${\displaystyle S\subseteq X,}$それから${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(x+S)=x+\operatorname {cl} _{X}S}$^{[ 6 ]}さらに、もし${\displaystyle 0\in S}$それから${\displaystyle x+S}$は、​${\displaystyle x}$で${\displaystyle X}$の場合に限り、${\displaystyle S}$起源において。

サブセット${\displaystyle E}$ベクトル空間の${\displaystyle X}$と言われている

• 吸収する（${\displaystyle X}$): すべての${\displaystyle x\in X,}$現実が存在する${\displaystyle r>0}$そのため${\displaystyle cx\in E}$任意のスカラーに対して${\displaystyle c}$満足${\displaystyle |c|\leq r.}$^{[ 12 ]}
• バランスが取れているか、円形になっている場合${\displaystyle tE\subseteq E}$すべてのスカラーに対して${\displaystyle |t|\leq 1.}$^{[ 12 ]}
• 凸型の場合${\displaystyle tE+(1-t)E\subseteq E}$すべての実数に対して${\displaystyle 0\leq t\leq 1.}$^{[ 12 ]}
• 円盤または完全に凸型の場合：${\displaystyle E}$凸型でバランスが取れている。
• 対称: もし${\displaystyle -E\subseteq E,}$または同等に、${\displaystyle -E=E.}$

原点のすべての近傍は吸収集合であり、${\displaystyle 0}$^{[ 6 ]}したがって、すべての位相ベクトル空間は、吸収集合とバランス集合からなる局所基底を持つ。原点には、閉じたバランス近傍からなる近傍基底さえ存在する。${\displaystyle 0;}$空間が局所的に凸である場合、その空間は原点の閉じた凸平衡近傍からなる近傍基底も持つ。

境界付き部分集合

サブセット${\displaystyle E}$位相ベクトル空間の${\displaystyle X}$^{任意の近傍に対して、 が有界である [ 13} ]ならば、は有界である^{[ 13 ]。}${\displaystyle V}$起源には存在する${\displaystyle t}$そのため${\displaystyle E\subseteq tV}$。

有界性の定義は、やや緩和される可能性がある。${\displaystyle E}$集合が有界であるのは、その可算部分集合がすべて有界である場合に限る。集合が有界であるのは、その部分列のそれぞれが有界集合である場合に限る。^{[ 14 ]}また、${\displaystyle E}$は、すべてのバランスのとれた近傍に対して、${\displaystyle V}$起源には、${\displaystyle t}$そのため${\displaystyle E\subseteq tV.}$

さらに、${\displaystyle X}$は局所的に凸であり、有界性は半ノルムによって特徴付けられる。部分集合${\displaystyle E}$が有界であるのは、すべての連続セミノルムが有界である場合かつその場合に限る。${\displaystyle p}$境界は${\displaystyle E.}$^{[ 15 ]}

すべての完全有界集合は有界である。^{[ 14 ]}もし${\displaystyle M}$TVSのベクトル部分空間です${\displaystyle X,}$次に、${\displaystyle M}$は${\displaystyle M}$有界である場合に限り${\displaystyle X.}$^{[ 14 ]}

TVSが擬距離化可能であるのは、原点に可算近傍基底を持つ場合、またはそれと同等に、その位相がF-セミノルムによって生成される場合である。TVSが距離化可能であるのは、それがハウスドルフ空間であり、かつ擬距離化可能である場合である。

より厳密に言えば、位相ベクトル空間は、その位相がノルムによって誘導できる場合にノルム可能であると言われます。位相ベクトル空間がノルム可能であるのは、それがハウスドルフ空間であり、原点の凸有界近傍を持つ場合に限ります。^{[ 17 ]}

させて${\displaystyle \mathbb {K} }$は、例えば実数や複素数のような、非離散的な局所コンパクト位相体である。上のハウスドルフ位相ベクトル空間${\displaystyle \mathbb {K} }$が局所的にコンパクトであるのは、それが有限次元である、つまり と同型である場合に限る。${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$ある自然数に対して${\displaystyle n.}$^{[ 18 ]}

TVSにおける標準的な均一性^{[ 19 ]}${\displaystyle (X,\tau )}$は、トポロジーを誘導する独自の並進不変均一性である。${\displaystyle \tau }$の上${\displaystyle X.}$

すべての TVS は、この標準的な均一性を備えていると想定されており、これによりすべての TVS は均一な空間になります。したがって、完全性、均一収束、コーシーネット、均一連続性などの関連概念は意味を持ち、これらは常にこの均一性に関して想定されています (特に明記されていない限り)。これは、すべてのハウスドルフ位相ベクトル空間がチコノフであることを意味します。^{[ 20 ]} TVS の部分集合は、それが完全かつ完全に有界である場合に限りコンパクトです(ハウスドルフ TVS の場合、集合が完全に有界であることは、それがプレコンパクトであることと同等です)。しかし、TVS がハウスドルフでない場合、閉じていないコンパクトな部分集合が存在します。ただし、非ハウスドルフ TVS のコンパクトな部分集合の閉包は再びコンパクトです (したがって、コンパクトな部分集合は相対的にコンパクトです)。

この均一性に関して、ネット（またはシーケンス）${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$は、すべての近傍に対して、${\displaystyle V}$の${\displaystyle 0,}$インデックスが存在する${\displaystyle n}$そのため${\displaystyle x_{i}-x_{j}\in V}$いつでも${\displaystyle i\geq n}$そして${\displaystyle j\geq n.}$

コーシー列はすべて有界ですが、コーシーネットやコーシーフィルタは有界でない場合があります。すべてのコーシー列が収束する位相ベクトル空間は、逐次完備と呼ばれます。一般に、それは（すべてのコーシーフィルタが収束するという意味で）完備ではない場合があります。

ベクトル空間における加算演算は一様連続であり、開写像である。スカラー乗算はコーシー連続であるが、一般に一様連続であることはほとんどない。このため、すべての位相ベクトル空間は完備化することができ、したがって完備な位相ベクトル空間の稠密な線形部分空間となる。

• すべての TVS には完備化があり、すべてのハウスドルフ TVS にはハウスドルフ完備化があります。^{[ 6 ]}すべての TVS (ハウスドルフで完備なものも含む) には、同型でない非ハウスドルフ完備化が無限に存在します。
• TVS のコンパクト部分集合 (必ずしもハウスドルフではない) は完全である。^{[ 21 ]}ハウスドルフ TVS の完全部分集合は閉集合である。^{[ 21 ]}
• もし${\displaystyle C}$TVS の完全部分集合であれば、任意の部分集合は${\displaystyle C}$それは閉じている${\displaystyle C}$完了しました。^{[ 21 ]}
• ハウスドルフTVSにおけるコーシー列${\displaystyle X}$必ずしも相対的にコンパクトではない（つまり、${\displaystyle X}$必ずしもコンパクトとは限らない。
• TVSのコーシーフィルターに集積点がある場合${\displaystyle x}$そしてそれは収束する${\displaystyle x.}$
• 一連の${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}}$TVSでは収束する^{[注5 ]}${\displaystyle X}$それから${\displaystyle x_{\bullet }\to 0}$で${\displaystyle X.}$^{[ 22 ]}

させて${\displaystyle X}$実数または複素数のベクトル空間である。

自明なトポロジー

自明な位相または非離散位相${\displaystyle \{X,\varnothing \}}$は任意のベクトル空間上のTVSトポロジーである。${\displaystyle X}$そしてそれは可能な限り最も粗いTVSトポロジーである。このことから重要な結果として、TVSトポロジーの任意の集合の交差は${\displaystyle X}$常に TVS 位相を含む。自明な位相を備えた任意のベクトル空間 (無限次元のものを含む) は、コンパクト (したがって局所的にコンパクト)完備擬距離化可能半ノルム可能局所凸位相ベクトル空間である。ハウスドルフであるのは、次の場合に限る。${\displaystyle \dim X=0.}$

最高級のベクトルトポロジー

TVSトポロジーが存在する${\displaystyle \tau _{f}}$の上${\displaystyle X,}$と呼ばれる最高のベクトルトポロジー${\displaystyle X,}$それは他のすべてのTVSトポロジーよりも優れている${\displaystyle X}$（つまり、任意の TVS トポロジー${\displaystyle X}$は必然的に の部分集合である${\displaystyle \tau _{f}}$) ^{[ 23 ] [ 24 ]}すべての線形マップ${\displaystyle \left(X,\tau _{f}\right)}$別のTVSへの変換は必然的に連続的です。${\displaystyle X}$ハーメル基底が数えきれないほどある場合${\displaystyle \tau _{f}}$局所凸でもなく 、距離化可能でもない。^{[ 24 ]}

位相ベクトル空間の族の直積は、積位相が与えられたとき、位相ベクトル空間となる。例えば、集合 を考えてみよう。${\displaystyle X}$すべての機能${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$どこ${\displaystyle \mathbb {R} }$通常のユークリッド位相構造を持つ。${\displaystyle X}$は実ベクトル空間であり（加算とスカラー乗算は通常通り点ごとに定義される）、デカルト積と同一視できる（そして実際、しばしばデカルト積として定義される）。${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} },}$これは自然積トポロジーを持つ。この積トポロジーでは、${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$は、点ごとの収束の位相と呼ばれる位相ベクトル空間となる。${\displaystyle \mathbb {R} .}$この名前の理由は次のとおりです。${\displaystyle \left(f_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$は、要素のシーケンス（またはより一般的にはネット）です。${\displaystyle X}$そしてもし${\displaystyle f\in X}$それから${\displaystyle f_{n}}$収束して${\displaystyle f}$で${\displaystyle X}$すべての実数に対して${\displaystyle x,}$${\displaystyle f_{n}(x)}$収束して${\displaystyle f(x)}$で${\displaystyle \mathbb {R} .}$ この TVS は完全で、ハウスドルフ空間であり、局所的に凸ですが、距離化可能ではなく、したがってノルム化可能でもありません。実際、積位相における原点のすべての近傍には線 (つまり、1 次元ベクトル部分空間、次の形式の部分集合) が含まれています。${\displaystyle \mathbb {R} f:=\{rf:r\in \mathbb {R} \}}$と${\displaystyle f\neq 0}$)

F.リースの定理によれば、ハウスドルフ位相ベクトル空間が有限次元であるのは、それが局所的にコンパクトである場合に限る。そして、局所的にコンパクトである場合に限る。これは、原点のコンパクトな近傍を持つ場合に限る。

させて${\displaystyle \mathbb {K} }$示す${\displaystyle \mathbb {R} }$または${\displaystyle \mathbb {C} }$そして寄付する${\displaystyle \mathbb {K} }$通常のハウスドルフノルム付きユークリッド位相を持つ。${\displaystyle X}$上のベクトル空間である${\displaystyle \mathbb {K} }$有限次元${\displaystyle n:=\dim X}$そして、${\displaystyle X}$ベクトル空間は同型である${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$（具体的には、これはベクトル空間間に線形同型が存在することを意味する。）${\displaystyle X}$そして${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$この有限次元ベクトル空間${\displaystyle X}$常に独自のハウスドルフベクトル位相を持ち、TVS と同型である。${\displaystyle \mathbb {K} ^{n},}$どこ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$は通常のユークリッド位相（積位相と同じ）を備えている。このハウスドルフベクトル位相は、（唯一の）最も細かいベクトル位相でもある。${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$が一意のベクトル位相を持つのは、${\displaystyle \dim X=0.}$もし${\displaystyle \dim X\neq 0}$その時でも${\displaystyle X}$一意のベクトル位相は持たないが、一意のハウスドルフベクトル位相は持つ。

• もし${\displaystyle \dim X=0}$それから${\displaystyle X=\{0\}}$ベクトル空間には、自明な位相がただ一つだけ存在します。この場合（そしてこの場合のみ）、それはハウスドルフ位相です。ベクトル空間上の自明な位相がハウスドルフ位相となるのは、ベクトル空間の次元が の場合のみです。${\displaystyle 0.}$
• もし${\displaystyle \dim X=1}$それから${\displaystyle X}$には、通常のユークリッド位相と（ハウスドルフではない）自明な位相という2つのベクトル位相が存在する。
  • 分野${\displaystyle \mathbb {K} }$それ自体は${\displaystyle 1}$上の次元位相ベクトル空間${\displaystyle \mathbb {K} }$そして、位相ベクトル空間の定義において重要な役割を果たすため、この二分法は吸収集合の定義において重要な役割を果たし、関数解析全体に影響を及ぼす結果をもたらします。

• もし${\displaystyle \dim X=n\geq 2}$それから${\displaystyle X}$無限に多くの異なるベクトル位相構造 を持つ。
  • これらのトポロジーのいくつかを以下に説明します。すべての線形関数${\displaystyle f}$の上${\displaystyle X,}$これはベクトル空間で同型です${\displaystyle \mathbb {K} ^{n},}$半ノルムを誘導する${\displaystyle |f|:X\to \mathbb {R} }$定義される${\displaystyle |f|(x)=|f(x)|}$どこ${\displaystyle \ker f=\ker |f|.}$すべてのセミノルムは、(擬似距離化可能な局所凸)ベクトル位相を誘導する。${\displaystyle X}$また、異なる核を持つセミノルムは異なる位相を誘導するため、特に、上のセミノルムは${\displaystyle X}$異なるカーネルを持つ線形汎関数によって誘導されるものは、異なるベクトルトポロジーを誘導する${\displaystyle X.}$
  • しかし、ベクトルトポロジーは無限に存在するが、${\displaystyle X}$いつ${\displaystyle \dim X\geq 2,}$TVS同型性までには、${\displaystyle 1+\dim X}$ベクトルトポロジー${\displaystyle X.}$例えば、${\displaystyle n:=\dim X=2}$次に、ベクトルトポロジー${\displaystyle X}$自明な位相、ハウスドルフユークリッド位相、そして無限に残る非自明な非ユークリッドベクトル位相から構成される。${\displaystyle X}$これらはすべて互いにTVS同型である。

離散的位相と余有限位相

もし${\displaystyle X}$が非自明なベクトル空間（つまり、非ゼロ次元）である場合、上の離散位相は${\displaystyle X}$（常に計量化可能な）は、加算と否定を連続にする（これにより加算に関して位相群になる）にもかかわらず、スカラー乗法を連続にできないため、TVS位相ではありません。${\displaystyle X}$（部分集合が開集合であるのは、その補集合が有限集合である場合に限る）もTVSトポロジーではない。${\displaystyle X.}$

近傍と開集合の性質

すべての TVS は連結しており^{[ 6 ]}、局所的に連結しており^{[ 30 ]}、TVS の連結した開部分集合は弧状に連結している。${\displaystyle S\subseteq X}$そして${\displaystyle U}$は、の開部分集合である。${\displaystyle X}$それから${\displaystyle S+U}$は開集合である${\displaystyle X}$^{[ 6 ]}そしてもし${\displaystyle S\subseteq X}$内部が空でない場合${\displaystyle S-S}$原点の近傍である。^{[ 6 ]}

TVSの開凸部分集合${\displaystyle X}$（必ずしもハウスドルフまたは局所凸である必要はない）は、まさに次の形式である。$${\displaystyle z+\{x\in X:p(x)<1\}~=~\{x\in X:p(x-z)<1\}}$$一部の人にとって${\displaystyle z\in X}$そしていくつかの正の連続劣線形関数${\displaystyle p}$の上${\displaystyle X.}$^{[ 28 ]}

もし${\displaystyle K}$TVSの吸収ディスクです${\displaystyle X}$そしてもし${\displaystyle p:=p_{K}}$ミンコフスキー関数は${\displaystyle K}$そして^{[ 31 ]}$${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}K~\subseteq ~\{x\in X:p(x)<1\}~\subseteq ~K~\subseteq ~\{x\in X:p(x)\leq 1\}~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}K}$$重要なことに、${\displaystyle K}$位相的性質はなく、${\displaystyle p}$連続であった（これは、${\displaystyle K}$（原点の近隣地域）

させて${\displaystyle \tau }$そして${\displaystyle \nu }$2 つのベクトルトポロジー${\displaystyle X.}$それから${\displaystyle \tau \subseteq \nu }$ネットが${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$で${\displaystyle X}$収束する${\displaystyle 0}$で${\displaystyle (X,\nu )}$それから${\displaystyle x_{\bullet }\to 0}$で${\displaystyle (X,\tau ).}$^{[ 32 ]}

させて${\displaystyle {\mathcal {N}}}$起源の近隣基盤となる${\displaystyle X,}$させて${\displaystyle S\subseteq X,}$そして${\displaystyle x\in X.}$それから${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}S}$ネットが存在する場合に限り${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{N}\right)_{N\in {\mathcal {N}}}}$で${\displaystyle S}$（インデックス付き）${\displaystyle {\mathcal {N}}}$) のように${\displaystyle s_{\bullet }\to x}$で${\displaystyle X.}$^{[ 33 ]}これは特に、任意の有向集合上のネットではなく、原点の近傍基底によってインデックス付けされたネットを考慮するだけで十分な場合が多いことを示しています。

もし${\displaystyle X}$がそれ自体で第2カテゴリーのTVS （つまり、非貧弱な空間）である場合、 の任意の閉じた凸吸収部分集合${\displaystyle X}$は原点の近傍である。^{[ 34 ]}集合が凸でない場合、これはもはや保証されない（反例は、${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$）または${\displaystyle X}$それ自体は第二のカテゴリーには属さない。^{[ 34 ]}

インテリア

もし${\displaystyle R,S\subseteq X}$そして${\displaystyle S}$内部が空でない場合 $${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}S~=~\operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}S\right)~{\text{ and }}~\operatorname {cl} _{X}S~=~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}S\right)}$$ そして $${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}(R)+\operatorname {Int} _{X}(S)~\subseteq ~R+\operatorname {Int} _{X}S\subseteq \operatorname {Int} _{X}(R+S).}$$

円盤の位相的内部が空でないのは、その内部が原点を含む場合に限る。^{[ 35 ]} より一般的には、${\displaystyle S}$内部が空でないバランスの取れたセットです${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}S\neq \varnothing }$TVSで${\displaystyle X}$それから${\displaystyle \{0\}\cup \operatorname {Int} _{X}S}$必然的にバランスが取れるだろう。^{[ 6 ]}したがって、${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}S}$原点が含まれている場合に限り、バランスが取れている。^{[証明2 ]}このために（つまり${\displaystyle 0\in \operatorname {Int} _{X}S}$）真実であれば、${\displaystyle S}$凸であること（バランスが取れていて内部が空でないことに加えて）。^{[ 6 ]} 結論${\displaystyle 0\in \operatorname {Int} _{X}S}$偽である可能性がある場合${\displaystyle S}$また凸関数ではない。^{[ 35 ]}例えば、${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2},}$閉じたバランスの取れたセットの内部${\displaystyle S:=\{(x,y):xy\geq 0\}}$は${\displaystyle \{(x,y):xy>0\}.}$

もし${\displaystyle C}$凸であり、${\displaystyle 0<t\leq 1,}$それから^{[ 36 ]}${\displaystyle t\operatorname {Int} C+(1-t)\operatorname {cl} C~\subseteq ~\operatorname {Int} C.}$ 具体的に言うと、もし${\displaystyle C}$TVSの凸部分集合である${\displaystyle X}$（必ずしもハウスドルフ空間や局所凸空間である必要はない）${\displaystyle y\in \operatorname {int} _{X}C,}$そして${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}C}$次に、開いた線分が結合します${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$内部に属する${\displaystyle C;}$つまり、${\displaystyle \{tx+(1-t)y:0<t<1\}\subseteq \operatorname {int} _{X}C.}$^{[ 37 ] [ 38 ] [証明3 ]}

もし${\displaystyle N\subseteq X}$原点の任意のバランスのとれた近傍は${\displaystyle X}$それから${\textstyle \operatorname {Int} _{X}N\subseteq B_{1}N=\bigcup _{0<|a|<1}aN\subseteq N}$どこ${\displaystyle B_{1}}$はすべてのスカラーの集合です${\displaystyle a}$そのため${\displaystyle |a|<1.}$

もし${\displaystyle x}$凸集合の内部に属する${\displaystyle S\subseteq X}$そして${\displaystyle y\in \operatorname {cl} _{X}S,}$すると半開きの線分$${\displaystyle [x,y):=\{tx+(1-t)y:0<t\leq 1\}\subseteq \operatorname {Int} _{X}{\text{ if }}x\neq y}$$および^{[ 37 ]}$${\displaystyle [x,x)=\varnothing {\text{ if }}x=y.}$$ もし${\displaystyle N}$バランスの取れた近隣地域${\displaystyle 0}$で${\displaystyle X}$そして${\displaystyle B_{1}:=\{a\in \mathbb {K}$ :|a|<1\},} の形式の交差を考慮すると${\displaystyle N\cap \mathbb {R} x}$（凸対称近傍）${\displaystyle 0}$実際のTVSでは${\displaystyle \mathbb {R} x}$したがって、次のことが言える。${\displaystyle \operatorname {Int} N=[0,1)\operatorname {Int} N=(-1,1)N=B_{1}N,}$さらに、もし${\displaystyle x\in \operatorname {Int} N{\text{ and }}r:=\sup\{r>0:[0,r)x\subseteq N\}}$それから${\displaystyle r>1{\text{ and }}[0,r)x\subseteq \operatorname {Int} N,}$そしてもし${\displaystyle r\neq \infty }$それから${\displaystyle rx\in \operatorname {cl} N\setminus \operatorname {Int} N.}$