ベクトル空間における長さ
数学 において 、 ノルム とは、実数または複素数 ベクトル空間 から非負の実数への 関数 であり、特定の方法では 原点 からの距離のように動作します。つまり、スケーリングと可換で あり、 三角不等式 の形式に従い 、原点でのみ 0 になります。特に、 ユークリッド空間 の ユークリッド距離は、関連する ユークリッドベクトル空間 上のノルムによって定義され 、ユークリッドノルム、2 ノルム、またはベクトルの 大きさ や 長さ と呼ばれることもあります。このノルムは、ベクトルとそのベクトル自体の
内積 の 平方根 として定義できます。
半 ノルムは ノルムの最初の2つの性質を満たしますが、原点以外のベクトルに対してはゼロになることがあります。 [1] 指定されたノルムを持つベクトル空間は、 ノルムベクトル空間 と呼ばれます。同様に、半ノルムを持つベクトル空間は、 半ノルムベクトル空間 と呼ばれます。
擬似規範 という用語は 、いくつかの関連する意味に使用されています。これは「半規範」の同義語である可能性があります。 [1]
擬似規範は、同次公理の等式を不等式「 」に置き換えた規範と同じ公理を満たす場合があります。 [2] [ 疑わしい – 議論する ]
また、無限の値を取ることができる規範を指す場合もあります。 [3]または 有向集合 によってパラメータ化された特定の関数を指す場合もあります 。 [4]
≤
{\displaystyle \,\leq \,}
意味 複素数の 部分体 上の ベクトル空間 が与えられたとき、 上の ノルム は 実数値関数 であり 、以下の性質を持つ。ここで は スカラーの 通常の 絶対値 を表す。 [5]
バツ
{\displaystyle X}
ふ
{\displaystyle F}
Ｃ
、
{\displaystyle \mathbb {C} ,}
バツ
{\displaystyle X}
p : バツ →
R
{\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }
|
s
|
{\displaystyle |s|}
s
{\displaystyle s}
劣加法性 / 三角不等式 ： すべてに対して
p （ x + ええ ） ≤ p （ x ） + p （ ええ ）
{\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y)}
x 、 ええ ∈ バツ 。
{\displaystyle x,y\in X.}
絶対的な同質性 ： すべてのスカラー に対して
p （ s x ） =
|
s
|
p （ x ）
{\displaystyle p(sx)=|s|p(x)}
x ∈ バツ
{\displaystyle x\in X}
s 。
{\displaystyle s.}
正定性 / 正定性 / 点分離 ：すべての 場合 、
x ∈ バツ 、
{\displaystyle x\in X,}
p （ x ） = 0
{\displaystyle p(x)=0}
x = 0.
{\displaystyle x=0.}
性質(2)は 性質(3)を同等の条件に置き換えるため、著者の中には、すべての 場合において、かつ、その場合に限り、
p （ 0 ） = 0 、
{\displaystyle p(0)=0,}
x ∈ バツ 、
{\displaystyle x\in X,}
p （ x ） = 0
{\displaystyle p(x)=0}
x = 0.
{\displaystyle x=0.}
上の 半ノルム は、 特性(1.)と(2.) [7] を持つ関数であり 、特に、すべてのノルムは半ノルムでもある(したがって、 部分線型関数 でもある)。しかし、ノルムではない半ノルムも存在する。特性(1.)と(2.)は、がノルム(またはより一般的には半ノルム)である場合、で あり、 次の特性も持つこと
を意味している。
バツ
{\displaystyle X}
p : バツ →
R
{\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }
p
{\displaystyle p}
p
(
0
)
=
0
{\displaystyle p(0)=0}
p
{\displaystyle p}
非負性 ： すべての
p
(
x
)
≥
0
{\displaystyle p(x)\geq 0}
x
∈
X
.
{\displaystyle x\in X.}
一部の著者は非負性を「規範」の定義の一部に含めているが、これは必須ではない。この記事では「 正 」を「正定値」の同義語として定義しているが、一部の著者は「 正 」を「非負」の同義語として定義している。 これらの定義は同等ではない。
同等の規範 および が ベクトル空間上の2つのノルム（または半ノルム）であると します 。 このとき 、任意の ベクトル に対してとなる 2つの正の実定数 および が存在するとき、 および は同値 であると いいます。
関係「 は に同値である 」は 反射的 、 対称的 （ を意味する ）、 推移的 であり、したがって 上のすべてのノルムの集合上で 同値関係を 定義します。
ノルム および が同値であるためには、 上に同じ位相を誘導する必要があります。 [9] 有限次元空間上の任意の2つのノルムは同値ですが、これは無限次元空間には拡張されません。 [9]
p
{\displaystyle p}
q
{\displaystyle q}
X
.
{\displaystyle X.}
p
{\displaystyle p}
q
{\displaystyle q}
c
{\displaystyle c}
C
{\displaystyle C}
x
∈
X
,
{\displaystyle x\in X,}
c
q
(
x
)
≤
p
(
x
)
≤
C
q
(
x
)
.
{\displaystyle cq(x)\leq p(x)\leq Cq(x).}
p
{\displaystyle p}
q
{\displaystyle q}
c
q
≤
p
≤
C
q
{\displaystyle cq\leq p\leq Cq}
1
C
p
≤
q
≤
1
c
p
{\displaystyle {\tfrac {1}{C}}p\leq q\leq {\tfrac {1}{c}}p}
X
.
{\displaystyle X.}
p
{\displaystyle p}
q
{\displaystyle q}
X
.
{\displaystyle X.}
表記 ベクトル空間にノルム が与えられている場合 、ベクトルのノルム は通常、それを二重の垂直線で囲んで表されます。 このような表記は、ベクトルが半ノルムに過ぎない場合にも使用されることがあります 。ユークリッド空間におけるベクトルの長さ（以下で説明するように、これはノルムの一例です）の場合、 単一の垂直線による表記も広く使用されています。
p
:
X
→
R
{\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }
X
,
{\displaystyle X,}
z
∈
X
{\displaystyle z\in X}
‖
z
‖
=
p
(
z
)
.
{\displaystyle \|z\|=p(z).}
p
{\displaystyle p}
|
x
|
{\displaystyle |x|}
例 あらゆる（実数または複素数の）ベクトル空間はノルムを許容します。 が ベクトル空間の ハメル基底 である場合、 （ただし有限個を除くすべてのスカラー は ）を に 送る実数値写像は 上のノルムです。 また、特定の問題に役立つ追加の特性を示すノルムも多数存在します。
x
∙
=
(
x
i
)
i
∈
I
{\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}
X
{\displaystyle X}
x
=
∑
i
∈
I
s
i
x
i
∈
X
{\displaystyle x=\sum _{i\in I}s_{i}x_{i}\in X}
s
i
{\displaystyle s_{i}}
0
{\displaystyle 0}
∑
i
∈
I
|
s
i
|
{\displaystyle \sum _{i\in I}\left|s_{i}\right|}
X
.
{\displaystyle X.}
絶対値ノルム 絶対 値は、 実数 または 複素数
によって形成されるベクトル空間上のノルムです 。複素数は、複素数自体の上に 1 次元ベクトル空間 を形成し、実数の上に 2 次元ベクトル空間を形成します。絶対値は、これら 2 つの構造のノルムです。
|
x
|
{\displaystyle |x|}
1 次元ベクトル空間上の 任意のノルムは (スケーリングを除いて) 絶対値ノルムと同等です。つまり、 はまたは である ベクトル 空間 のノルム保存 同型 が存在し、ノルム保存とは であることを意味します。この同型は、 を ノルムのベクトルに
送ることで与えられます 。このベクトルは、任意の非ゼロベクトルにそのノルムの逆数を乗算することで得られるため、存在します。
p
{\displaystyle p}
X
{\displaystyle X}
f
:
F
→
X
,
{\displaystyle f:\mathbb {F} \to X,}
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
C
,
{\displaystyle \mathbb {C} ,}
|
x
|
=
p
(
f
(
x
)
)
.
{\displaystyle |x|=p(f(x)).}
1
∈
F
{\displaystyle 1\in \mathbb {F} }
1
,
{\displaystyle 1,}
ユークリッドノルム 次元 ユークリッド空間 では、 ベクトルの長さの直感的な概念は 、次の式で表される [11]。
n
{\displaystyle n}
R
n
,
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}
x
=
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle {\boldsymbol {x}}=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)}
‖
x
‖
2
:=
x
1
2
+
⋯
+
x
n
2
.
{\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|_{2}:={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}
これは ユークリッドノルム であり、原点から点 X までの通常の距離を与えるもので、 ピタゴラスの定理 の 結果である。この演算は「SRSS 」 とも呼ばれ、これは 平方和の平方根 の 頭字 語である 。 [12]
ユークリッドノルムは[11] で最も一般的に使用されているノルムです が、以下に示すように、このベクトル空間には他のノルムも存在します。ただし、これらすべてのノルムは、有限次元空間上で同じ位相を定義するという意味で同等です。
R
n
,
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}
ユークリッドベクトル空間 の2つのベクトルの 内積 は、それらの 座標ベクトル の 正規直交基底 上の ドット積 である 。したがって、ユークリッドノルムは座標を使わない方法で次のように表すことができる。
‖
x
‖
:=
x
⋅
x
.
{\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}.}
ユークリッドノルムは、 2次ノルム 、 ノルム 、 [13] ノルム 、 2ノルム 、または 平方ノルムとも呼ばれます。 空間を 参照してください。ユークリッドノルムは、 ユークリッド長さ 、 距離 、または 距離 と呼ばれる 距離関数 を定義します 。
L
2
{\displaystyle L^{2}}
ℓ
2
{\displaystyle \ell ^{2}}
L
p
{\displaystyle L^{p}}
L
2
{\displaystyle L^{2}}
ℓ
2
{\displaystyle \ell ^{2}}
ユークリッドノルムが与えられた正の定数 であるベクトルの集合は -球面 を形成します。
R
n
+
1
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}
n
{\displaystyle n}
複素数のユークリッドノルム 複素数 のユークリッドノルムは、 複素平面が ユークリッド平面 と同一視される場合の複素数の 絶対値 （ モジュラス とも呼ばれる）で ある。 このように複素数を ユークリッド平面のベクトルとして同一視することで、（オイラーが最初に示唆したように）量は 複素数に関連付けられたユークリッドノルムとなる。 の場合 、ノルムは と書くこともできる。 ここで はの 複素共役 である 。
R
2
.
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}
x
+
i
y
{\displaystyle x+iy}
x
2
+
y
2
{\textstyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
z
=
x
+
i
y
{\displaystyle z=x+iy}
z
¯
z
{\displaystyle {\sqrt {{\bar {z}}z}}}
z
¯
{\displaystyle {\bar {z}}}
z
.
{\displaystyle z\,.}
四元数と八元数 実数 上の ユークリッド フルヴィッツ代数は 正確に 4 つ存在します 。これらは、実数、複素数、四元数、最後に八元数であり 、 実数 上 の これら の空間の次元は それぞれです。 および 上の標準ノルムは 、 前述のように、
それらの 絶対値 関数です。
R
,
{\displaystyle \mathbb {R} ,}
C
,
{\displaystyle \mathbb {C} ,}
H
,
{\displaystyle \mathbb {H} ,}
O
,
{\displaystyle \mathbb {O} ,}
1
,
2
,
4
,
and
8
,
{\displaystyle 1,2,4,{\text{ and }}8,}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
四元数 の 正準ノルムは、 の任意の
四元数 に対して で定義されます
。これは、 ベクトル空間として考えた場合 の のユークリッドノルムと同じです。同様に、 八元数 の正準ノルム は、 のユークリッドノルムです。
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
‖
q
‖
=
q
q
∗
=
q
∗
q
=
a
2
+
b
2
+
c
2
+
d
2
{\displaystyle \lVert q\rVert ={\sqrt {\,qq^{*}~}}={\sqrt {\,q^{*}q~}}={\sqrt {\,a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}~}}}
q
=
a
+
b
i
+
c
j
+
d
k
{\displaystyle q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} }
H
.
{\displaystyle \mathbb {H} .}
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
R
4
.
{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}
R
8
.
{\displaystyle \mathbb {R} ^{8}.}
有限次元複素ノルム空間 次元 複素空間 における 最も一般的なノルムは
n
{\displaystyle n}
C
n
,
{\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}
‖
z
‖
:=
|
z
1
|
2
+
⋯
+
|
z
n
|
2
=
z
1
z
¯
1
+
⋯
+
z
n
z
¯
n
.
{\displaystyle \|{\boldsymbol {z}}\|:={\sqrt {\left|z_{1}\right|^{2}+\cdots +\left|z_{n}\right|^{2}}}={\sqrt {z_{1}{\bar {z}}_{1}+\cdots +z_{n}{\bar {z}}_{n}}}.}
この場合、ノルムは ベクトルとそれ自身の
内積 の 平方根 として表すことができます。
ここで、は 列ベクトル として表され 、 その 共役転置 を表します。
‖
x
‖
:=
x
H
x
,
{\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}^{H}~{\boldsymbol {x}}}},}
x
{\displaystyle {\boldsymbol {x}}}
[
x
1
x
2
…
x
n
]
T
{\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{n}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}
x
H
{\displaystyle {\boldsymbol {x}}^{H}}
この式は、ユークリッド空間や複素空間を含む任意の内積空間 に有効です 。複素空間の場合、内積は 複素ドット積 に相当します。したがって、この場合の式は次の表記法を使用して記述することもできます。
‖
x
‖
:=
x
⋅
x
.
{\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}.}
タクシー基準またはマンハッタン基準
‖
x
‖
1
:=
∑
i
=
1
n
|
x
i
|
.
{\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|_{1}:=\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|.}
この名前は、タクシーが起点から終点まで到達するために、長方形の 街路網（ ニューヨーク のマンハッタン の ような）
を走行しなければならない距離に由来しています。
x
.
{\displaystyle x.}
1 ノルムが与えられた定数であるベクトルの集合は 、ベクトル空間の次元から 1 を引いた次元に等しい交差 多面体の表面を形成します。タクシー ノルムは ノルム とも呼ばれます。このノルムから導出される距離は、 マンハッタン距離 または 距離 と呼ばれます。
ℓ
1
{\displaystyle \ell ^{1}}
ℓ
1
{\displaystyle \ell ^{1}}
1 ノルムは、単に列の絶対値の合計です。
対照的に、
否定的な結果をもたらす可能性があるため、これは標準ではありません。
∑
i
=
1
n
x
i
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}}
p -ノルム を実数と します。 ベクトルの -ノルム（ -ノルムとも呼ばれる）は [11] で表されます。
から タクシーノルムが得られ、 から ユークリッドノルムが得られ、 に 近づくにつれて- ノルムは 無限大ノルム または最大ノルム
に近づきます。 -
ノルムは 一般化平均 または累乗平均
と関連しています。
p
≥
1
{\displaystyle p\geq 1}
p
{\displaystyle p}
ℓ
p
{\displaystyle \ell ^{p}}
x
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})}
‖
x
‖
p
:=
(
∑
i
=
1
n
|
x
i
|
p
)
1
/
p
.
{\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{p}:=\left(\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|^{p}\right)^{1/p}.}
p
=
1
,
{\displaystyle p=1,}
p
=
2
{\displaystyle p=2}
p
{\displaystyle p}
∞
{\displaystyle \infty }
p
{\displaystyle p}
‖
x
‖
∞
:=
max
i
|
x
i
|
.
{\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }:=\max _{i}\left|x_{i}\right|.}
p
{\displaystyle p}
ノルム は、 すべてのベクトルに対して となる標準 内積 によって誘導されます。この内積は、 分極恒等式 を用いてノルムで表すことができます 。 この内積では、
p
=
2
,
{\displaystyle p=2,}
‖
⋅
‖
2
{\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{2}}
⟨
⋅
,
⋅
⟩
,
{\displaystyle \langle \,\cdot ,\,\cdot \rangle ,}
‖
x
‖
2
=
⟨
x
,
x
⟩
{\textstyle \|\mathbf {x} \|_{2}={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}}
x
.
{\displaystyle \mathbf {x} .}
ℓ
2
,
{\displaystyle \ell ^{2},}
ユークリッド内積は、 すべての二乗可積分関数 からなる 測度空間 に関連付けられた
空間に対して 定義されます
。この内積は、
⟨
(
x
n
)
n
,
(
y
n
)
n
⟩
ℓ
2
=
∑
n
x
n
¯
y
n
{\displaystyle \langle \left(x_{n}\right)_{n},\left(y_{n}\right)_{n}\rangle _{\ell ^{2}}~=~\sum _{n}{\overline {x_{n}}}y_{n}}
L
2
(
X
,
μ
)
{\displaystyle L^{2}(X,\mu )}
(
X
,
Σ
,
μ
)
,
{\displaystyle (X,\Sigma ,\mu ),}
⟨
f
,
g
⟩
L
2
=
∫
X
f
(
x
)
¯
g
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \langle f,g\rangle _{L^{2}}=\int _{X}{\overline {f(x)}}g(x)\,\mathrm {d} x.}
この定義は については依然として興味深いものです が、結果として得られる関数はノルムを定義しません。 [14]これは 三角不等式 に違反するためです 。 のこの場合の 測定可能な類似物でも真であるのは、対応する クラスがベクトル空間であり、関数
( の根なし) が完全な計量 位相ベクトル空間 に なる距離を定義することも真です。これらの空間は、 関数解析 、 確率論 、 調和解析 で非常に興味深いものです 。ただし、自明な場合を除き、この位相ベクトル空間は局所的に凸ではなく、連続する非ゼロ線型形式はありません。したがって、位相双対空間にはゼロ関数のみが含まれます。
0
<
p
<
1
,
{\displaystyle 0<p<1,}
0
<
p
<
1
,
{\displaystyle 0<p<1,}
L
p
{\displaystyle L^{p}}
∫
X
|
f
(
x
)
−
g
(
x
)
|
p
d
μ
{\displaystyle \int _{X}|f(x)-g(x)|^{p}~\mathrm {d} \mu }
p
{\displaystyle p}
L
p
(
X
)
{\displaystyle L^{p}(X)}
-ノルムの偏微分は 次のように与えられる。
p
{\displaystyle p}
∂
∂
x
k
‖
x
‖
p
=
x
k
|
x
k
|
p
−
2
‖
x
‖
p
p
−
1
.
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\|\mathbf {x} \|_{p}={\frac {x_{k}\left|x_{k}\right|^{p-2}}{\|\mathbf {x} \|_{p}^{p-1}}}.}
したがって、に関する導関数は 、
であり、 は アダマール積 を表し 、 ベクトルの各成分の絶対値として使用されます。
x
,
{\displaystyle x,}
∂
‖
x
‖
p
∂
x
=
x
∘
|
x
|
p
−
2
‖
x
‖
p
p
−
1
.
{\displaystyle {\frac {\partial \|\mathbf {x} \|_{p}}{\partial \mathbf {x} }}={\frac {\mathbf {x} \circ |\mathbf {x} |^{p-2}}{\|\mathbf {x} \|_{p}^{p-1}}}.}
∘
{\displaystyle \circ }
|
⋅
|
{\displaystyle |\cdot |}
の特別なケースでは 、
または
p
=
2
,
{\displaystyle p=2,}
∂
∂
x
k
‖
x
‖
2
=
x
k
‖
x
‖
2
,
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\|\mathbf {x} \|_{2}={\frac {x_{k}}{\|\mathbf {x} \|_{2}}},}
∂
∂
x
‖
x
‖
2
=
x
‖
x
‖
2
.
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} }}\|\mathbf {x} \|_{2}={\frac {\mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|_{2}}}.}
‖
x
‖
∞
=
1
{\displaystyle \|x\|_{\infty }=1}
が次のようなベクトルである 場合 :
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
x
=
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
,
{\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),}
‖
x
‖
∞
:=
max
(
|
x
1
|
,
…
,
|
x
n
|
)
.
{\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }:=\max \left(\left|x_{1}\right|,\ldots ,\left|x_{n}\right|\right).}
無限大ノルムが与えられた定数であるベクトルの集合は、 辺 の 長さが
c
,
{\displaystyle c,}
2
c
.
{\displaystyle 2c.}
エネルギー基準 ベクトルの エネルギーノルム [15]は 対称 正定値 行列 で次 のよう
に定義される。
x
=
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
∈
R
n
{\displaystyle {\boldsymbol {x}}=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}}
A
∈
R
n
{\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n}}
‖
x
‖
A
:=
x
T
⋅
A
⋅
x
.
{\displaystyle {\|{\boldsymbol {x}}\|}_{A}:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}^{T}\cdot A\cdot {\boldsymbol {x}}}}.}
が単位行列 である場合 、このノルムはユークリッドノルムに対応すること は明らかです。 が対角行列である場合、このノルムは 重み付きノルム とも呼ばれます。エネルギーノルムは、に対して によって与えられる 内積 によって誘導されます 。
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
⟨
x
,
y
⟩
A
:=
x
T
⋅
A
⋅
x
{\displaystyle \langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}\rangle _{A}:={\boldsymbol {x}}^{T}\cdot A\cdot {\boldsymbol {x}}}
x
,
y
∈
R
n
{\displaystyle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}\in \mathbb {R} ^{n}}
一般に、ノルムの値は の スペクトル に依存します。 ユークリッドノルムが 1 のベクトルの場合、 の値はそれぞれ の 最小および最大の絶対 固有値 によって上下に制限されます 。ここで、制限は が対応する (正規化された) 固有ベクトルと一致する場合に達成されます。対称 行列の平方根 に基づいて 、ベクトルのエネルギーノルムは、標準ユークリッドノルムで次のように表すことができます。
A
{\displaystyle A}
x
{\displaystyle {\boldsymbol {x}}}
‖
x
‖
A
{\displaystyle {\|{\boldsymbol {x}}\|}_{A}}
A
{\displaystyle A}
x
{\displaystyle {\boldsymbol {x}}}
A
1
/
2
{\displaystyle A^{1/2}}
‖
x
‖
A
=
‖
A
1
/
2
x
‖
2
.
{\displaystyle {\|{\boldsymbol {x}}\|}_{A}={\|A^{1/2}{\boldsymbol {x}}\|}_{2}.}
ゼロノルム 確率解析と関数解析において、ゼロノルムは、 測定可能な関数 の空間と、 Fノルムを持つ数列の F空間に対して完全な計量位相を誘導します [16]
ここで、 Fノルム とは、F空間上の距離を持つ 実数値関数を意味します 。上記の Fノルムは、必要な同次 性 プロパティを欠いているため、通常の意味でのノルムではありません。
(
x
n
)
↦
∑
n
2
−
n
x
n
/
(
1
+
x
n
)
.
{\textstyle (x_{n})\mapsto \sum _{n}{2^{-n}x_{n}/(1+x_{n})}.}
‖
⋅
‖
{\displaystyle \lVert \cdot \rVert }
d
,
{\displaystyle d,}
‖
x
‖
=
d
(
x
,
0
)
.
{\displaystyle \lVert x\rVert =d(x,0).}
ゼロからのベクトルのハミング距離 計量幾何学 では 、 離散計量は 異なる点に対しては値 1 をとり、そうでない場合は 0 をとる。離散距離をベクトル空間の要素に座標ごとに適用すると、 ハミング距離 が定義され、これは符号化 と 情報理論 で重要である 。実数または複素数の分野では、離散計量のゼロからの距離は、非ゼロ点において同次ではない。実際、非ゼロ引数がゼロに近づくにつれて、ゼロからの距離は 1 のままである。しかし、ある数のゼロからの離散距離は、ノルムの他の特性、すなわち三角不等式と正定値性を満たしている。ベクトルに成分ごとに適用すると、ゼロからの離散距離は、ベクトル引数の非ゼロ成分の数を数える非同次「ノルム」のように動作する。この場合も、この非同次「ノルム」は不連続である。
信号処理 と 統計学 において 、 David Donoho は 引用符で囲んだ ゼロ 「 ノルム 」 について言及しています。Donoho の表記法に従うと、 のゼロ「ノルム」は 、 の非ゼロ座標の数 、またはベクトルのゼロからのハミング距離に過ぎません。この「ノルム」が有界集合に局所化されると、 が0 に近づく につれて -ノルムの極限になります。 もちろん、ゼロ「ノルム」は 正同次 ではないため、真のノルムではあり ません 。実際、上記の意味での F ノルムでもありません。スカラーとベクトルの乗算におけるスカラー引数およびそのベクトル引数に関して、連立および個別的に不連続だからです。
用語を乱用して 、一部のエンジニア [ 誰? ] はDonoho の引用符を省略し、非ゼロの数の関数を不適切にノルムと呼び、 測定可能な関数 の ルベーグ空間 の表記法を模倣しています 。
x
{\displaystyle x}
x
,
{\displaystyle x,}
p
{\displaystyle p}
p
{\displaystyle p}
L
0
{\displaystyle L^{0}}
無限の次元 上記の規範を無限個の成分に一般化すると 、 規範を持つ
空間 が生まれ、
ℓ
p
{\displaystyle \ell ^{p}}
L
p
{\displaystyle L^{p}}
p
≥
1
,
{\displaystyle p\geq 1\,,}
‖
x
‖
p
=
(
∑
i
∈
N
|
x
i
|
p
)
1
/
p
and
‖
f
‖
p
,
X
=
(
∫
X
|
f
(
x
)
|
p
d
x
)
1
/
p
{\displaystyle \|x\|_{p}={\bigg (}\sum _{i\in \mathbb {N} }\left|x_{i}\right|^{p}{\bigg )}^{1/p}{\text{ and }}\ \|f\|_{p,X}={\bigg (}\int _{X}|f(x)|^{p}~\mathrm {d} x{\bigg )}^{1/p}}
はそれぞれ 上の複素数値列と関数に対して成り立ち 、さらに一般化できる（ ハール測度 を参照）。これらのノルムは の極限でも成立し、 上限ノルム を与え 、 および と呼ばれる。
X
⊆
R
n
{\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}
p
→
+
∞
{\displaystyle p\rightarrow +\infty }
ℓ
∞
{\displaystyle \ell ^{\infty }}
L
∞
.
{\displaystyle L^{\infty }\,.}
任意の内積 は 、自然な方法でノルムを誘導する
‖
x
‖
:=
⟨
x
,
x
⟩
.
{\textstyle \|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.}
無限次元ノルムベクトル空間の他の例については、 バナッハ空間の 記事を参照してください。
一般的に、これらのノルムは同じ位相を与えない。例えば、無限次元空間は、 無限次元 空間よりも 厳密に細かい位相を 与える。
ℓ
p
{\displaystyle \ell ^{p}}
ℓ
q
{\displaystyle \ell ^{q}}
p
<
q
.
{\displaystyle p<q\,.}
複合規範 上記を組み合わせることで、他の規範 を構築することができます。例えば
、
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
‖
x
‖
:=
2
|
x
1
|
+
3
|
x
2
|
2
+
max
(
|
x
3
|
,
2
|
x
4
|
)
2
{\displaystyle \|x\|:=2\left|x_{1}\right|+{\sqrt {3\left|x_{2}\right|^{2}+\max(\left|x_{3}\right|,2\left|x_{4}\right|)^{2}}}}
R
4
.
{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}
任意のノルムと 任意の単射 線形変換 に対して、に等しい
の新しいノルムを定義できます
。2D では、 45° 回転して適切なスケーリングを行うと、タクシー ノルムが最大ノルムに変わります。 タクシー ノルムにそれぞれを適用すると、軸の反転と交換まで、異なる単位球、つまり特定の形状、サイズ、方向の 平行四辺形 が生成されます。
A
{\displaystyle A}
x
,
{\displaystyle x,}
‖
A
x
‖
.
{\displaystyle \|Ax\|.}
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
3D では、これは 1 ノルム ( 八面体 ) と最大ノルム ( 平行四辺形の底面を持つ
角柱) で似ていますが異なります。
「エントリワイズ」の公式によって定義されないノルムの例があります。たとえば、 中心対称凸体 (中心がゼロ) のミンコフスキー 関数 は、上のノルムを定義します (以下の「半ノルムの分類: 絶対凸吸収集合」を参照)。
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
上記のすべての式は、 修正なしで のノルムも生成します。
C
n
{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
行列（実数または複素数要素）の空間にもノルムがあり、いわゆる 行列ノルム と呼ばれます。
抽象代数学では を不可分次数 の 体の 有限 拡大 とし 、が 代数的閉包を持つとします。 の 異なる 埋め込み が である 場合、 元の ガロア理論的ノルム は値です。 この関数は次数 の同次関数であるため 、ガロア理論的ノルムはこの記事の意味でのノルムではありません。 ただし、 ノルムの - 乗根は（その概念が意味をなすと仮定して）ノルムです。 [17]
E
{\displaystyle E}
k
{\displaystyle k}
p
μ
,
{\displaystyle p^{\mu },}
k
{\displaystyle k}
K
.
{\displaystyle K.}
E
{\displaystyle E}
{
σ
j
}
j
,
{\displaystyle \left\{\sigma _{j}\right\}_{j},}
α
∈
E
{\displaystyle \alpha \in E}
(
∏
j
σ
k
(
α
)
)
p
μ
.
{\textstyle \left(\prod _{j}{\sigma _{k}(\alpha )}\right)^{p^{\mu }}.}
[
E
:
k
]
{\displaystyle [E:k]}
[
E
:
k
]
{\displaystyle [E:k]}
合成代数 合成代数 における ノルムの概念は、 ヌルベクトル が許可されているため、ノルムの通常の特性を共有し ませ ん 。合成代数は、 体上の代数、 反転 、 および「ノルム」と呼ばれる 二次形式 で構成されます 。
N
(
z
)
{\displaystyle N(z)}
(
A
,
∗
,
N
)
{\displaystyle (A,{}^{*},N)}
A
,
{\displaystyle A,}
∗
,
{\displaystyle {}^{*},}
N
(
z
)
=
z
z
∗
{\displaystyle N(z)=zz^{*}}
合成代数の特徴は、 の 準同型 性です。合成代数 の 2 つの要素 と の 積に対して、そのノルムは を満たします。 分割代数 との場合 、 合成代数のノルムは上で説明したノルムの 2 乗です。これらの場合、ノルムは 定常の 2 次形式 です。 分割代数 の場合、ノルムは 等方的な 2 次形式 です。
N
{\displaystyle N}
w
z
{\displaystyle wz}
w
{\displaystyle w}
z
{\displaystyle z}
N
(
w
z
)
=
N
(
w
)
N
(
z
)
.
{\displaystyle N(wz)=N(w)N(z).}
R
,
{\displaystyle \mathbb {R} ,}
C
,
{\displaystyle \mathbb {C} ,}
H
,
{\displaystyle \mathbb {H} ,}
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
プロパティ ベクトル空間上の 任意のノルムに対して 逆 三角不等式 が成り立つ。
がノルム空間間の連続線型写像である
場合 、 のノルムと の 転置 の ノルム は等しい。
p
:
X
→
R
{\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }
X
,
{\displaystyle X,}
p
(
x
±
y
)
≥
|
p
(
x
)
−
p
(
y
)
|
for all
x
,
y
∈
X
.
{\displaystyle p(x\pm y)\geq |p(x)-p(y)|{\text{ for all }}x,y\in X.}
u
:
X
→
Y
{\displaystyle u:X\to Y}
u
{\displaystyle u}
u
{\displaystyle u}
ノルム に対しては、 ヘルダーの不等式 [19] が成り立ちます。
この不等式の特別なケースは、 コーシー・シュワルツの不等式 です。 [19]
L
p
{\displaystyle L^{p}}
|
⟨
x
,
y
⟩
|
≤
‖
x
‖
p
‖
y
‖
q
1
p
+
1
q
=
1.
{\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|_{p}\|y\|_{q}\qquad {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1.}
|
⟨
x
,
y
⟩
|
≤
‖
x
‖
2
‖
y
‖
2
.
{\displaystyle \left|\langle x,y\rangle \right|\leq \|x\|_{2}\|y\|_{2}.}
さまざまな基準での単位円 の図 。 すべてのノルムは 半ノルム であり、したがって 後者の すべての特性を満たします。同様に、すべての半ノルムは 部分線形関数 であり、したがって 後者のすべての特性を 満たします。特に、すべてのノルムは 凸関数 です。
等価 単位円 （ノルム 1 のすべてのベクトルの集合） の概念は、ノルムによって異なります。1 ノルムの場合、単位円はダイヤモンド型をした 正方形 です。2 ノルム（ユークリッド ノルム）の場合、よく知られている単位 円 です。一方、無限ノルムの場合、単位円は軸に沿った正方形です。任意の - ノルムの場合、単位円は合同な軸を持つ 超楕円 です （添付の図を参照）。ノルムの定義により、単位円は 凸型 で中心対称でなければなりません（したがって、たとえば、単位球は長方形にはなりますが三角形にはならず、 - ノルム の場合、 になります ）。
p
{\displaystyle p}
p
≥
1
{\displaystyle p\geq 1}
p
{\displaystyle p}
ベクトル空間の観点から見ると、半ノルムは 空間上の 位相を定義し、これはまさに半ノルムが異なるベクトルを区別できるときに ハウスドルフ 位相であり、これもまた半ノルムがノルムであることと同値である。このように定義される位相（ノルムまたは半ノルムのいずれかによって）は、シーケンスまたは開集合のいずれかの観点から理解することができる。 ベクトルの シーケンスは 、 がである 場合 にノルムで に 収束する と言われる。同値である。位相は、 開球 の和集合として表すことができるすべての集合からなる 。 が ノルム空間である場合、
{
v
n
}
{\displaystyle \{v_{n}\}}
v
,
{\displaystyle v,}
‖
v
n
−
v
‖
→
0
{\displaystyle \left\|v_{n}-v\right\|\to 0}
n
→
∞
.
{\displaystyle n\to \infty .}
(
X
,
‖
⋅
‖
)
{\displaystyle (X,\|\cdot \|)}
‖
x
−
y
‖
=
‖
x
−
z
‖
+
‖
z
−
y
‖
for all
x
,
y
∈
X
and
z
∈
[
x
,
y
]
.
{\displaystyle \|x-y\|=\|x-z\|+\|z-y\|{\text{ for all }}x,y\in X{\text{ and }}z\in [x,y].}
ベクトル空間上の 2つのノルム と を
‖
⋅
‖
α
{\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}
‖
⋅
‖
β
{\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}
X
{\displaystyle X}
それらが同じ位相を誘導する場合、 それらは等価である 。 [9] すべてのに対して成り立つ 正の実数 とが
例えば、 が である [21]
C
{\displaystyle C}
D
{\displaystyle D}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
C
‖
x
‖
α
≤
‖
x
‖
β
≤
D
‖
x
‖
α
.
{\displaystyle C\|x\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\beta }\leq D\|x\|_{\alpha }.}
p
>
r
≥
1
{\displaystyle p>r\geq 1}
C
n
,
{\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}
‖
x
‖
p
≤
‖
x
‖
r
≤
n
(
1
/
r
−
1
/
p
)
‖
x
‖
p
.
{\displaystyle \|x\|_{p}\leq \|x\|_{r}\leq n^{(1/r-1/p)}\|x\|_{p}.}
特に、
ベクトル
空間が有限次元の実数または複素数の場合、すべてのノルムは同等です。一方、無限次元ベクトル空間の場合は、すべてのノルムが同等であるとは限りません。
‖
x
‖
2
≤
‖
x
‖
1
≤
n
‖
x
‖
2
{\displaystyle \|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{2}}
‖
x
‖
∞
≤
‖
x
‖
2
≤
n
‖
x
‖
∞
{\displaystyle \|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{2}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{\infty }}
‖
x
‖
∞
≤
‖
x
‖
1
≤
n
‖
x
‖
∞
,
{\displaystyle \|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{1}\leq n\|x\|_{\infty },}
‖
x
‖
∞
≤
‖
x
‖
2
≤
‖
x
‖
1
≤
n
‖
x
‖
2
≤
n
‖
x
‖
∞
.
{\displaystyle \|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{2}\leq n\|x\|_{\infty }.}
同値ノルムは連続性と収束性という同じ概念を定義しており、多くの目的において区別する必要はありません。より正確には、ベクトル空間上の同値ノルムによって定義される一様構造は 一様同型です 。
半ノルムの分類: 絶対凸吸収集合 ベクトル空間上のすべての半ノルムは 、 の 絶対凸 吸収部分 集合によって分類できます。このような各部分集合には 、 の ゲージ と呼ばれる 半ノルムが対応します。これは として定義
されます。
ここでは 下限 であり 、次の性質を持ちます
。逆に:
X
{\displaystyle X}
A
{\displaystyle A}
X
.
{\displaystyle X.}
p
A
{\displaystyle p_{A}}
A
,
{\displaystyle A,}
p
A
(
x
)
:=
inf
{
r
∈
R
:
r
>
0
,
x
∈
r
A
}
{\displaystyle p_{A}(x):=\inf\{r\in \mathbb {R} :r>0,x\in rA\}}
inf
{\displaystyle \inf _{}}
{
x
∈
X
:
p
A
(
x
)
<
1
}
⊆
A
⊆
{
x
∈
X
:
p
A
(
x
)
≤
1
}
.
{\displaystyle \left\{x\in X:p_{A}(x)<1\right\}~\subseteq ~A~\subseteq ~\left\{x\in X:p_{A}(x)\leq 1\right\}.}
任意の局所 凸位相ベクトル空間は、絶対凸集合からなる 局所基底 を持ち ます。このような基底を構築する一般的な方法は、点を分離する半ノルムの族を使用することです 。 集合 の すべての有限交差の集合は、 空間を 局所凸位相ベクトル空間 に変換し、すべての p が 連続します 。
(
p
)
{\displaystyle (p)}
p
{\displaystyle p}
{
p
<
1
/
n
}
{\displaystyle \{p<1/n\}}
このような方法は、 弱いトポロジと弱い*トポロジを 設計するために使用されます。
標準ケース:
が を 分離し 、 がノルム、 が その開 単位球 であるため、 に 1 つの が含まれる とします 。この場合、は 0 の 絶対凸 境界 近傍であり、 は 連続です。
(
p
)
{\displaystyle (p)}
p
:
{\displaystyle p:}
(
p
)
{\displaystyle (p)}
p
{\displaystyle p}
A
=
{
p
<
1
}
{\displaystyle A=\{p<1\}}
A
{\displaystyle A}
p
=
p
A
{\displaystyle p=p_{A}}
逆は アンドレイ・コルモゴロフ によるものです。つまり、任意の局所凸かつ局所的に有界な位相ベクトル空間は ノルム可能で あるということです。正確には、 が 0 の絶対凸境界近傍である 場合、ゲージ (したがって は ノルムです。
X
{\displaystyle X}
g
X
{\displaystyle g_{X}}
X
=
{
g
X
<
1
}
{\displaystyle X=\{g_{X}<1\}}
参照 非対称規範 – 規範の概念の一般化 F-セミノルム – 位相が計量によって定義できる位相ベクトル空間 Pages displaying short descriptions of redirect targets ガワーズ基準 カデックノルム – すべての無限次元可分バナッハ空間は同相である Pages displaying short descriptions of redirect targets 最小二乗スペクトル解析 - 周期計算法 マハラノビス距離 – 統計的距離測定 大きさ（数学） - 比較と順序を決定する性質 行列ノルム – 行列のベクトル空間上のノルム ミンコフスキー距離 – ノルムベクトル空間における数学的距離 ミンコフスキー関数 – 集合から構成される関数 演算子ノルム – 線形演算子の「サイズ」の尺度 パラノルム – 位相が計量によって定義できる位相ベクトル空間 Pages displaying short descriptions of redirect targets 規範と測定基準の関係 – 距離の概念を持つ数学的空間 Pages displaying short descriptions of redirect targets セミノルム – 数学関数 部分線形関数 – 線形代数における関数の種類
参考文献
^ ab Knapp, AW (2005). 基礎実解析 . Birkhäuser. p. [1]. ISBN 978-0-817-63250-2 。 ^ 「擬似ノルム - 数学百科事典」 encyclopediaofmath.org . 2022年5月12日 閲覧 。 ^ “Pseudonorm”. www.spektrum.de (ドイツ語) . 2022年5月12日 閲覧。 ^ Hyers, DH (1939-09-01). 「擬似ノルム線形空間とアーベル群」. Duke Mathematical Journal . 5 (3). doi :10.1215/s0012-7094-39-00551-x. ISSN 0012-7094. ^ Pugh, CC (2015). 実数理解析 . Springer. p. 28ページ. ISBN 978-3-319-17770-0 。 Prugovečki, E. (1981). ヒルベルト空間における量子力学 . p. 20ページ。 ^ Rudin, W. (1991). 機能分析 . p. 25. ^ abc コンラッド、キース。「ノルムの等価性」 （PDF） 。kconrad.math.uconn.edu 。 2020年 9月7 日 閲覧 。 ^ abc Weisstein, Eric W. 「ベクトルノルム」。mathworld.wolfram.com . 2020年8月24日 閲覧 。 ^ チョプラ、アニル（2012）。 構造のダイナミクス、第4版 。プレンティスホール 。ISBN 978-0-13-285803-8 。 ^ Weisstein, Eric W. 「Norm」 。mathworld.wolfram.com . 2020年8月24日 閲覧 。 ^ ユークリッドノルムと一致する場合と、 それが自明な場合 を除きます。
R
1
,
{\displaystyle \mathbb {R} ^{1},}
R
0
,
{\displaystyle \mathbb {R} ^{0},}
^ Saad, Yousef (2003)、 スパース線形システムの反復法 、p. 32、 ISBN 978-0-89871-534-7 ^ Rolewicz, Stefan (1987)、 機能解析と制御理論：線形システム 、数学とその応用（東ヨーロッパシリーズ）、第29巻（ポーランド語からの翻訳はEwa Bednarczuk編）、ドルドレヒト、ワルシャワ：D. Reidel Publishing Co.、PWN—Polish Scientific Publishers、pp. xvi、524、 doi ：10.1007/978-94-015-7758-8、 ISBN 90-277-2186-6 、 MR 0920371、 OCLC 13064804 ^ ラング、セルジュ (2002) [1993]. 代数 (改訂第 3 版)。ニューヨーク: Springer Verlag。 p. 284.ISBN 0-387-95385-X 。 ^ ab Golub, Gene ; Van Loan, Charles F. (1996). Matrix Computations (第3版). ボルチモア: ジョンズ・ホプキンス大学出版局. p. 53. ISBN 0-8018-5413-X 。 ^ 「p-ノルム間の関係」。Mathematics Stack Exchange 。
文献 ブルバキ、ニコラス (1987) [1981]。 位相ベクトル空間: 第 1 章から第 5 章まで 。 数学的要素 。エグルストン、HG による翻訳。マダン、サウス・ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag。 ISBN 3-540-13627-4 . OCLC 17499190. Khaleelulla , SM (1982)。 位相ベクトル空間における反例 。 数学講義ノート 。第936巻。ベルリン、ハイデルベルク、ニューヨーク： Springer- Verlag。ISBN 978-3-540-11565-6 . OCLC 8588370. Kubrusly, Carlos S. (2011). 『作用素論の要素』 （第2版）. ボストン: Birkhäuser . ISBN 978-0-8176-4998-2 . OCLC 710154895. ナリシ、ローレンス; ベッケンシュタイン、エドワード (2011)。 位相ベクトル空間 。純粋数学と応用数学 (第 2 版)。ボカラトン、フロリダ州: CRC プレス 。ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834. Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (第 2 版). ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135. トレヴ、フランソワ (2006) [1967]。 トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル 。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。 ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322. ウィランスキー、アルバート (2013)。 位相ベクトル空間における最新の手法 。ニューヨーク州ミネオラ: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4 . OCLC 849801114.
![{\displaystyle [E:k]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/310a9eea16514b602e0ded65d3ae4ad3dd341938)
![{\displaystyle \|xy\|=\|xz\|+\|zy\|{\text{ すべての }}x,y\in X{\text{ および }}z\in [x,y] に対して。}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/260066e13f1afcce833e2deda11b06fce7662378)
