バランスの取れたセット

線形代数および関連する数学分野 において、ベクトル空間（体上）におけるバランスのとれた集合、円で囲まれた集合、または円盤${\displaystyle \mathbb {K} }$絶対値関数${\displaystyle |\cdot |}$) は集合です${\displaystyle S}$そのため${\displaystyle aS\subseteq S}$すべてのスカラーに対して${\displaystyle a}$満足${\displaystyle |a|\leq 1.}$

船体のバランスの取れた形状またはバランスの取れた外形${\displaystyle S}$は、${\displaystyle S.}$セットのバランスの 取れたコア${\displaystyle S}$は、に含まれる最大のバランスの取れたセットです。${\displaystyle S.}$

バランスのとれた集合は関数解析において遍在する。なぜなら、あらゆる位相ベクトル空間（TVS）における原点のあらゆる近傍には、原点のバランスのとれた近傍が含まれ、原点のあらゆる凸近傍には、原点のバランスのとれた凸近傍が含まれるからである（TVSが局所的に凸でない場合でも同様である）。この近傍は、開集合または閉集合として選択することもできる。

させて${\displaystyle X}$体上のベクトル空間とする${\displaystyle \mathbb {K} }$実数または複素数。​

表記法

もし${\displaystyle S}$集合です。${\displaystyle a}$はスカラーであり、${\displaystyle B\subseteq \mathbb {K} }$それから${\displaystyle aS=\{as:s\in S\}}$そして${\displaystyle BS=\{bs:b\in B,s\in S\}}$そしてどんな${\displaystyle 0\leq r\leq \infty ,}$させて $${\displaystyle B_{r}=\{a\in \mathbb {K}$$ :|a|<r\}\qquad {\text{ および }}\qquad B_{\leq r}=\{a\in \mathbb {K}  :|a|\leq r\}.} は 、それぞれ半径 r の開球と閉球を表す。${\displaystyle r}$スカラー場において${\displaystyle \mathbb {K} }$中心は${\displaystyle 0}$どこ${\displaystyle B_{0}=\varnothing ,B_{\leq 0}=\{0\},}$そして${\displaystyle B_{\infty }=B_{\leq \infty }=\mathbb {K} .}$ 分野のすべてのバランスのとれた部分集合${\displaystyle \mathbb {K} }$形式は${\displaystyle B_{\leq r}}$または${\displaystyle B_{r}}$一部の人にとって${\displaystyle 0\leq r\leq \infty .}$

バランスの取れたセット

サブセット${\displaystyle S}$の${\displaystyle X}$と呼ばれるバランスの取れたセット、または以下のいずれかの同等の条件を満たす場合はバランスが取れている

1. 意味：${\displaystyle as\in S}$すべての人々のために${\displaystyle s\in S}$そしてすべてのスカラー${\displaystyle a}$満足${\displaystyle |a|\leq 1.}$
2. ${\displaystyle aS\subseteq S}$すべてのスカラーに対して${\displaystyle a}$満足${\displaystyle |a|\leq 1.}$
3. ${\displaystyle B_{\leq 1}S\subseteq S}$（どこ${\displaystyle B_{\leq 1}:=\{a\in \mathbb {K}$ :|a|\leq 1\}} )
4. ${\displaystyle S=B_{\leq 1}S.}$^{[ 1 ]}
5. すべての${\displaystyle s\in S,}$${\displaystyle S\cap \mathbb {K} s=B_{\leq 1}(S\cap \mathbb {K} s).}$
   • $\displaystyle \mathbb {K} s=\operatorname {span} \{s\}}$は${\displaystyle 0}$（もし${\displaystyle s=0}$） または${\displaystyle 1}$（もし$s ≠ 0$）次元ベクトル部分空間${\displaystyle X.}$
   • もし${\displaystyle R:=S\cap \mathbb {K} s}$すると上記の等式は次のようになる${\displaystyle R=B_{\leq 1}R,}$これはまさに、セットがバランスが取れているという前の条件です。したがって、${\displaystyle S}$バランスが取れているのは、すべての${\displaystyle s\in S,}$${\displaystyle S\cap \mathbb {K} s}$（前述の定義条件のいずれかに従って）バランスの取れた集合である。
6. すべての1次元ベクトル部分空間について${\displaystyle Y}$の${\displaystyle \operatorname {span} S,}$${\displaystyle S\cap Y}$これは（この条件以外の定義条件によれば）バランスの取れた集合である。
7. すべての${\displaystyle s\in S,}$いくつか存在する${\displaystyle 0\leq r\leq \infty }$そのため${\displaystyle S\cap \mathbb {K} s=B_{r}s}$または${\displaystyle S\cap \mathbb {K} s=B_{\leq r}s.}$
8. ${\displaystyle S}$はバランスの取れた部分集合である${\displaystyle \operatorname {span} S}$（この定義条件以外の「バランスの取れた」という定義条件に基づくと）
   • したがって${\displaystyle S}$はバランスの取れた部分集合である${\displaystyle X}$それは、体上のあらゆる（あるいは、ある）ベクトル空間の均衡部分集合である場合に限る。${\displaystyle \mathbb {K} }$含まれる${\displaystyle S.}$したがって、その分野を仮定すると${\displaystyle \mathbb {K} }$文脈から明らかであり、これは「${\displaystyle S}$ベクトル空間について言及することなく「バランスが取れている」と述べている。^{[注1 ]}

もし${\displaystyle S}$が凸集合である場合、このリストは以下のように拡張できます。

9. ${\displaystyle aS\subseteq S}$すべてのスカラーに対して${\displaystyle a}$満足${\displaystyle |a|=1.}$^{[ 2 ]}

もし${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$すると、このリストは以下のように拡張される可能性があります。

10. ${\displaystyle S}$対称である（つまり${\displaystyle -S=S}$） そして${\displaystyle [0,1)S\subseteq S.}$

空集合はバランスの取れた集合である。任意の（実数または複素数の）ベクトル空間の任意のベクトル部分空間も同様である。特に、${\displaystyle \{0\}}$常にバランスの取れたセットである。

原点を含まない空でない集合はバランスが取れておらず、さらに、そのような集合のバランスの取れたコアは空集合と等しくなります。

ノルム付きベクトル空間と位相ベクトル空間

ノルムベクトル空間において原点を中心とする開球と閉球はバランスのとれた集合である。${\displaystyle p}$はベクトル空間上の半ノルム（またはノルム）である。${\displaystyle X}$すると任意の定数に対して${\displaystyle c>0,}$セット${\displaystyle \{x\in X:p(x)\leq c\}}$バランスが取れている。

もし${\displaystyle S\subseteq X}$は任意の部分集合であり、${\displaystyle B_{1}:=\{a\in \mathbb {K}$ :|a|<1\}} の場合${\displaystyle B_{1}S}$はバランスの取れたセットです。特に、${\displaystyle U\subseteq X}$は位相ベクトル空間における原点の任意のバランスのとれた近傍である。${\displaystyle X}$それから$${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}U~\subseteq ~B_{1}U~=~\bigcup _{0<|a|<1}aU~\subseteq ~U.}$$

バランスの取れたセット${\displaystyle \mathbb {R} }$そして${\displaystyle \mathbb {C} }$

させて${\displaystyle \mathbb {K} }$実数体とする${\displaystyle \mathbb {R} }$または複素数${\displaystyle \mathbb {C} ,}$させて${\displaystyle |\cdot |}$絶対値を表す${\displaystyle \mathbb {K} ,}$そして${\displaystyle X:=\mathbb {K} }$はベクトル空間を表す${\displaystyle \mathbb {K} .}$例えば、${\displaystyle \mathbb {K}$ :=\mathbb {C} } は複素数体である。${\displaystyle X=\mathbb {K} =\mathbb {C} }$は 1 次元の複素ベクトル空間であるが、${\displaystyle \mathbb {K}$ :=\mathbb {R} } ならば${\displaystyle X=\mathbb {K} =\mathbb {R} }$これは1次元の実ベクトル空間です。

バランスの取れた部分集合${\displaystyle X=\mathbb {K} }$正確には以下のとおりです。^{[ 3 ]}

1. ${\displaystyle \varnothing }$
2. ${\displaystyle X}$
3. ${\displaystyle \{0\}}$
4. ${\displaystyle \{x\in X:|x|<r\}}$本当の${\displaystyle r>0}$
5. ${\displaystyle \{x\in X:|x|\leq r\}}$本当の${\displaystyle r>0.}$

したがって、あらゆるスカラー値の集合の均衡コアと均衡ハルは、上記のいずれかの集合と等しくなります。

バランスの取れたセットは${\displaystyle \mathbb {C} }$それ自体、空集合、および原点を中心とする開円盤と閉円盤。逆に、2 次元ユークリッド空間には、より多くのバランスのとれた集合があります。原点を中点とする任意の線分で十分です。結果として、${\displaystyle \mathbb {C} }$そして${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$スカラー乗算に関しては、全く異なる。

バランスの取れたセット${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

全体を通して、${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$（それで${\displaystyle X}$はベクトル空間である${\displaystyle \mathbb {R} }$）そして${\displaystyle B_{\leq 1}}$閉じた単位球は${\displaystyle X}$原点を中心とする。

もし${\displaystyle x_{0}\in X=\mathbb {R} ^{2}}$はゼロではなく、${\displaystyle L:=\mathbb {R} x_{0},}$それからセット${\displaystyle R:=B_{\leq 1}\cup L}$は、原点の閉じた対称でバランスの取れた近傍である。${\displaystyle X.}$より一般的に言えば、${\displaystyle C}$は、の任意の閉部分集合である。${\displaystyle X}$そのため${\displaystyle (0,1)C\subseteq C,}$それから${\displaystyle S:=B_{\leq 1}\cup C\cup (-C)}$は、原点の閉じた対称でバランスの取れた近傍である。${\displaystyle X.}$この例は次のように一般化できます。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$任意の整数に対して${\displaystyle n\geq 1.}$

させて${\displaystyle B\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$点間の線分の和集合とする${\displaystyle (-1,0)}$そして${\displaystyle (1,0)}$そして線分と${\displaystyle (0,-1)}$そして${\displaystyle (0,1).}$それから${\displaystyle B}$バランスが取れているが凸ではない。${\displaystyle B}$夢中になる（${\displaystyle \operatorname {span} B=\mathbb {R} ^{2}}$（ベクトル空間全体）

すべての${\displaystyle 0\leq t\leq \pi ,}$させて${\displaystyle r_{t}}$を任意の正の実数とし、${\displaystyle B^{t}}$（開いた線分または閉じた線分）${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2}}$点と点の間${\displaystyle (\cos t,\sin t)}$そして${\displaystyle -(\cos t,\sin t).}$次にセット${\displaystyle B=\bigcup _{0\leq t<\pi }r_{t}B^{t}}$はバランスのとれた吸収集合ではあるが、必ずしも凸集合ではない。

閉集合のバランスのとれた包は必ずしも閉じている必要はありません。例えば、次のグラフを考えてみましょう。${\displaystyle xy=1}$で${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}.}$

次の例は、凸集合のバランスのとれた包が凸集合にならない場合があることを示しています（ただし、バランスのとれた集合の凸包は常にバランスがとれています）。例として、凸部分集合を次のようにします。${\displaystyle S:=[-1,1]\times \{1\},}$これは、水平な閉じた線分で、${\displaystyle x-}$軸${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2}.}$バランスの取れた船体${\displaystyle \operatorname {bal} S}$は、砂時計型をした非凸部分集合であり、2つの閉じた塗りつぶされた二等辺三角形の和集合に等しい。${\displaystyle T_{1}}$そして${\displaystyle T_{2},}$どこ${\displaystyle T_{2}=-T_{1}}$そして${\displaystyle T_{1}}$は、頂点が原点と端点である塗りつぶされた三角形です。${\displaystyle S}$（言い換えれば、${\displaystyle T_{1}}$は凸包である${\displaystyle S\cup \{(0,0)\}}$その間${\displaystyle T_{2}}$は凸包である${\displaystyle (-S)\cup \{(0,0)\}}$)

バランスのとれた集合の性質

バランスの取れた集合は、原点を含む場合に限り空集合ではない。定義により、集合が絶対凸であるのは、凸かつバランスが取れている場合に限る。すべてのバランスの取れた集合は星形（0 において）であり、対称集合である。${\displaystyle B}$はバランスの取れた部分集合である${\displaystyle X}$それから：

• 任意のスカラーに対して${\displaystyle c}$そして${\displaystyle d,}$もし${\displaystyle |c|\leq |d|}$それから${\displaystyle cB\subseteq dB}$そして${\displaystyle cB=|c|B.}$したがって、${\displaystyle c}$そして${\displaystyle d}$スカラーはありますか？${\displaystyle (cB)\cap (dB)=\min _{}\{|c|,|d|\}B.}$
• ${\displaystyle B}$夢中になっている${\displaystyle X}$すべての${\displaystyle x\in X,}$存在する${\displaystyle r>0}$そのため${\displaystyle x\in rB.}$^{[ 2 ]}
• 任意の1次元ベクトル部分空間に対して${\displaystyle Y}$の${\displaystyle X,}$セット${\displaystyle B\cap Y}$凸型でバランスが取れている。${\displaystyle B}$空ではなく、${\displaystyle Y}$は の 1 次元ベクトル部分空間である${\displaystyle \operatorname {span} B}$それから${\displaystyle B\cap Y}$どちらか${\displaystyle \{0\}}$そうでなければ、それは吸収されます${\displaystyle Y.}$
• いかなる場合でも${\displaystyle x\in X,}$もし${\displaystyle B\cap \operatorname {span} x}$複数の点を含む場合、それは凸でバランスの取れた近傍である。${\displaystyle 0}$1次元ベクトル空間において${\displaystyle \operatorname {span} x}$この空間にハウスドルフ・ユークリッド位相が与えられている場合、そして集合${\displaystyle B\cap \mathbb {R} x}$は実ベクトル空間の凸平衡部分集合である。${\displaystyle \mathbb {R} x}$起源を含むもの。

バランス型船体とバランス型コアの特性

あらゆるコレクションに${\displaystyle {\mathcal {S}}}$サブセットの${\displaystyle X,}$$${\displaystyle \operatorname {bal} \left(\bigcup _{S\in {\mathcal {S}}}S\right)=\bigcup _{S\in {\mathcal {S}}}\operatorname {bal} S\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {balcore} \left(\bigcap _{S\in {\mathcal {S}}}S\right)=\bigcap _{S\in {\mathcal {S}}}\operatorname {balcore} S.}$$

任意の位相ベクトル空間において、原点の任意の開近傍のバランスのとれた包絡線は再び開である。${\displaystyle X}$ハウスドルフ位相ベクトル空間であり、${\displaystyle K}$はコンパクトサブセットである${\displaystyle X}$そしてバランスの取れた船体は${\displaystyle K}$コンパクトです。^{[ 8 ]}

集合が閉集合（それぞれ、凸集合、吸収集合、原点の近傍）である場合、そのバランスのとれたコアについても同じことが言える。

任意の部分集合に対して${\displaystyle S\subseteq X}$および任意のスカラー${\displaystyle c,}$${\displaystyle \operatorname {bal} (c\,S)=c\operatorname {bal} S=|c|\operatorname {bal} S.}$

任意のスカラーに対して${\displaystyle c\neq 0,}$${\displaystyle \operatorname {balcore} (c\,S)=c\operatorname {balcore} S=|c|\operatorname {balcore} S.}$この等式は以下で成り立つ。${\displaystyle c=0}$かつその場合に限り${\displaystyle S\subseteq \{0\}.}$したがって、${\displaystyle 0\in S}$または${\displaystyle S=\varnothing }$それから$${\displaystyle \operatorname {balcore} (c\,S)=c\operatorname {balcore} S=|c|\operatorname {balcore} S}$$すべてのスカラーに対して${\displaystyle c.}$

関数${\displaystyle p:X\to [0,\infty )}$実ベクトル空間または複素ベクトル空間上のは、以下のいずれかの同等条件を満たす場合、バランスの取れた関数である: ^{[ 9 ]}

1. ${\displaystyle p(ax)\leq p(x)}$いつでも${\displaystyle a}$は、${\displaystyle |a|\leq 1}$そして${\displaystyle x\in X.}$
2. ${\displaystyle p(ax)\leq p(bx)}$いつでも${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$スカラーは${\displaystyle |a|\leq |b|}$そして${\displaystyle x\in X.}$
3. ${\displaystyle \{x\in X:p(x)\leq t\}}$は、すべての非負の実数に対してバランスのとれた集合である。${\displaystyle t\geq 0.}$

もし${\displaystyle p}$バランスの取れた関数であるならば${\displaystyle p(ax)=p(|a|x)}$すべてのスカラーに対して${\displaystyle a}$およびベクトル${\displaystyle x\in X;}$ 特に、${\displaystyle p(ux)=p(x)}$単位長さのスカラーごとに${\displaystyle u}$（満足のいく${\displaystyle |u|=1}$）そしてすべての${\displaystyle x\in X.}$^{[ 9 ]} 使用${\displaystyle u:=-1}$これは、すべてのバランスのとれた関数が対称関数であることを示している。

実数値関数${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$は、バランスのとれた劣線形関数である場合に限り、セミノルムである。

• 完全に凸な集合– 凸かつバランスの取れた集合 
• 吸収集合– どんな点にも「膨らませる」ことができる集合 
• 有界集合（位相ベクトル空間）－有界性の一般化 
• 凸集合– 幾何学において、すべての直線との交点が単一の線分となる集合 
• スター領域– ユークリッド空間における点集合の性質 
• 対称集合– 群の部分集合の性質（数学） 
• 位相ベクトル空間– 近接性の概念を持つベクトル空間 

証明