位相準同型

関数解析において、位相準同型または単に準同型（混乱がなければ）は、位相ベクトル空間（TVS）のカテゴリの準同型に類似したものです。この概念は関数解析において非常に重要であり、有名な開写像定理は、フレシェ空間間の連続線型写像が位相準同型であるための十分条件を与えます。

位相準同型写像、あるいは単に準同型写像（混乱がなければ）は、位相ベクトル空間（TVS）間の連続 線型写像 であり、の像に[ ^1]によって誘導される部分空間位相が与えられたときに誘導写像が開写像となるものである。 この概念は関数解析において非常に重要であり、有名な開写像定理は、フレシェ空間間の連続線型写像が位相準同型であるための十分条件を与える。 ${\displaystyle u:X\to Y}$${\displaystyle u:X\to \operatorname {Im} u}$${\displaystyle \operatorname {Im} u:=u(X),}$${\displaystyle u,}$${\displaystyle Y.}$

TVS埋め込みあるいは位相単射^[2]は、入射的な位相準同型である。同様に、TVS埋め込みは線形写像であり、位相埋め込みでもある。

がTVS 間の線型写像であると仮定し、 が次の標準線型写像の合成に分解できることに注目してください。 ${\displaystyle u:X\to Y}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle X~{\overset {\pi }{\rightarrow }}~X/\operatorname {ker} u~{\overset {u_{0}}{\rightarrow }}~\operatorname {Im} u~{ \overset {\operatorname {In} }{\rightarrow }}~Y}$

ここで は標準商写像であり、 は包含写像です。 ${\displaystyle \pi :X\to X/\operatorname {ker} u}$${\displaystyle \operatorname {In} :\operatorname {Im} u\to Y}$

以下は同等です:

1. ${\displaystyle u}$は位相準同型である
2. における原点の近傍基数はすべて^[1]における原点の近傍基数である。${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle u\left({\mathcal {U}}\right)}$${\displaystyle Y}$
3. 誘導写像はTVSの同型写像である^[1]${\displaystyle u_{0}:X/\operatorname {ker} u\to \operatorname {Im} u}$

さらに の値域が有限次元ハウスドルフ空間である場合、以下は同値です。 ${\displaystyle u}$

1. ${\displaystyle u}$は位相準同型である
2. ${\displaystyle u}$連続している^[1]
3. ${\displaystyle u}$原点において連続している^[1]
4. ${\displaystyle u^{-1}(0)}$^[1]で閉鎖されている${\displaystyle X}$

開写像定理はバナッハの準同型定理 としても知られ、完全距離化可能な TVS 間の連続線型演算子が位相準同型となるための十分条件を与えます。

TVS上のすべての連続線型関数は位相準同型である。 ^[1]

を体上の - 次元 TVSとし、を非ゼロとします。を で定義すると、が通常のユークリッド位相を持ち、 がハウスドルフである場合、 はTVS 同型です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle L:\mathbb {K} \to X}$${\displaystyle L(s):=sx.}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle L:\mathbb {K} \to X}$

• 準同型性 – 同じ型の2つの代数構造間の構造保存写像
• オープンマッピング – オープン（またはクローズ）サブセットをオープン（またはクローズ）サブセットに送信する関数Pages displaying short descriptions of redirect targets
• フレシェ空間の全射 – 全射性の特徴
• 位相ベクトル空間 – 近接性の概念を持つベクトル空間

• ブルバキ、ニコラス(1987) [1981]。位相ベクトル空間: 第 1 章から第 5 章まで。数学的要素。エグルストン、HG による翻訳。マダン、サウス・ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag。ISBN 3-540-13627-4. OCLC  17499190.
• ヤルコウ、ハンス (1981)。局所的に凸状の空間。シュトゥットガルト：BG・トイブナー。ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.
• ケーテ、ゴットフリート(1983) [1969]。位相ベクトル空間 I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 159. Garling、DJH ニューヨーク訳: Springer Science & Business Media。ISBN 978-3-642-64988-2. MR  0248498. OCLC  840293704.
• ケーテ、ゴットフリート(1979)。位相ベクトル空間 II． Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 237. ニューヨーク: Springer Science & Business Media。ISBN 978-0-387-90400-9. OCLC  180577972.
• ナリシ、ローレンス; ベッケンシュタイン、エドワード (2011)。位相ベクトル空間。純粋数学と応用数学 (第 2 版)。ボカラトン、フロリダ州: CRC プレス。ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• ロバートソン、アレックス P.; ロバートソン、ウェンディ J. (1980)。位相ベクトル空間。ケンブリッジ数学論文集。第 53 巻。ケンブリッジ、イギリス:ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (第 2 版). ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (第 2 版). ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• シェクター、エリック（1996）。分析とその基礎ハンドブック。サンディエゴ、カリフォルニア州：アカデミックプレス。ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• スワーツ、チャールズ (1992)。関数解析入門。ニューヨーク: M. デッカー。ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC  24909067.
• スワーツ、チャールズ (1992)。関数解析入門。ニューヨーク: M. デッカー。ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC  24909067.
• トレヴ、フランソワ(2006) [1967]。トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• ヴァルディビア、マヌエル (1982)。ナクビン、レオポルド (編)。局所凸空間の話題。第 67 巻。アムステルダム ニューヨーク、NY:エルゼビアサイエンス パブリッシング カンパニーISBN 978-0-08-087178-3. OCLC  316568534.
• Voigt, Jürgen (2020)。位相ベクトル空間のコース。コンパクトな数学教科書。Cham: バーゼル・ビルクハウザー。ISBN 978-3-030-32945-7. OCLC  1145563701.
• ウィランスキー、アルバート(2013)。位相ベクトル空間における最新の手法。ニューヨーク州ミネオラ: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.