連続線形演算子

仮に${\displaystyle F:X\to Y}$は、2つの位相ベクトル空間（TVS）間の線形演算子です。以下は同等です。

1. ${\displaystyle F}$連続的である。
2. ${\displaystyle F}$ある時点で連続している${\displaystyle x\in X.}$
3. ${\displaystyle F}$原点で連続である${\displaystyle X.}$

もし${\displaystyle Y}$が局所的に凸である場合、このリストは以下を含むように拡張される可能性があります。

4. 全ての連続セミノルムに対して${\displaystyle q}$の上${\displaystyle Y,}$連続半ノルムが存在する${\displaystyle p}$の上${\displaystyle X}$そのため${\displaystyle q\circ F\leq p.}$^{[ 1 ]}

もし${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$両方ともハウスドルフ局所凸空間である場合、このリストは以下のように拡張できます。

5. ${\displaystyle F}$は弱連続であり、その転置行列は${\displaystyle {}^{t}F:Y^{\prime }\to X^{\prime }}$等連続部分集合をマッピングする${\displaystyle Y^{\prime }}$等連続部分集合へ${\displaystyle X^{\prime }.}$

もし${\displaystyle X}$がシーケンシャル空間（擬距離化可能空間など）である場合、このリストは以下のように拡張できます。

6. ${\displaystyle F}$その定義域のどこかの点（あるいは同等に、すべての点）で連続している。

もし${\displaystyle X}$が擬似距離化可能または距離化可能（ノルム空間やバナッハ空間など）である場合、このリストに以下を追加できます。

7. ${\displaystyle F}$は有界線形演算子です（つまり、有界部分集合を写像します）${\displaystyle X}$有界部分集合へ${\displaystyle Y}$) ^{[ 2 ]}

もし${\displaystyle Y}$が半ノルム空間（ノルム空間など）である場合、このリストは以下のように拡張できます。

8. ${\displaystyle F}$0 のある近傍を、${\displaystyle Y.}$^{[ 3 ]}

もし${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$はどちらもノルム空間またはセミノルム空間であり、両方のセミノルムはで表されます。${\displaystyle \|\cdot \|}$）その場合、このリストには以下が含まれる可能性があります。

9. すべての${\displaystyle r>0}$いくつか存在する${\displaystyle \delta >0}$そのため$${\displaystyle {\text{ for all }}x,y\in X,{\text{ if }}\|x-y\|<\delta {\text{ then }}\|Fx-Fy\|<r.}$$

もし${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$ハウスドルフ局所凸空間で${\displaystyle Y}$有限次元の場合、このリストは以下のように拡張される可能性があります。

10. グラフ${\displaystyle F}$閉鎖中${\displaystyle X\times Y.}$^{[ 4 ]}

線形写像は、その定義域のすべての点で局所的に有界である場合に限り、「（ある点の）近傍で有界」であり、その場合、必然的に連続である^{[ 2 ]} （定義域がノルム空間でなくても）、したがって有界でもある（連続線形作用素は常に有界線形作用素であるため）。^{[ 6 ]}

任意の線形写像について、近傍で有界であれば連続であり、^{[ 2 ] [ 7 ]}連続であれば有界である。^{[ 6 ]}逆の命題は一般には真ではないが、線形写像の定義域がノルム空間 である場合は両方とも真である。以下に例と詳細を示す。

以下の議論をまとめると、ノルム空間（またはセミノルム空間）上の線形写像の場合、連続であること、有界であること、近傍で有界であることはすべて同値です。定義域または値域がノルム化可能（またはセミノルム化可能）な線形写像は、近傍で有界である場合に限り連続です。また、局所凸空間で値をとる有界線形作用素は、定義域が（擬似）距離化可能^{[ 2 ]}またはボルノロジー^{[ 6 ]}である場合に連続になります。

「連続」とは「近傍で境界が定められている」ことを意味することを保証する

TVSは、近傍もまた有界集合である場合に局所的に有界であると言われます。^{[ 8 ]}例えば、原点を中心とする単位球は原点の有界近傍であるため、すべてのノルム空間またはセミノルム空間は局所的に有界なTVSです。${\displaystyle B}$が (局所的に有界な) TVS の原点の有界近傍である場合、任意の連続線形写像によるその像は有界集合になります (したがって、この写像はこの近傍上で有界です)${\displaystyle B}$したがって、局所的に有界な TVS から他の任意の TVS への線形写像は、近傍で有界である場合に限り連続である。さらに、この性質を持つ任意の TVS は局所的に有界な TVS でなければならない。具体的には、${\displaystyle X}$は、定義域が である任意の連続線形写像 (任意の TVS への) が TVS であるような TVS である。${\displaystyle X}$必然的に近傍に制限されるならば、${\displaystyle X}$ローカルに有界な TVS でなければならない (恒等関数が${\displaystyle X\to X}$（常に連続的な線形写像である）。

TVSから局所的に有界なTVSへの任意の線形写像（任意の線形汎関数など）は、近傍で有界である場合に限り連続である。^{[ 8 ]} 逆に、${\displaystyle Y}$は、任意の TVS からの連続線形写像で、その値域が${\displaystyle Y}$は必然的に近傍に境界がある、${\displaystyle Y}$局所的に有界な TVS でなければならない。^{[ 8 ]} 特に、任意の TVS 上の線形汎関数は、近傍で有界である場合に限り連続である。^{[ 8 ]}

したがって、線形写像の定義域または値域がノルム可能または半ノルム可能である場合、連続性は近傍上で有界であることと同等になります。

「有界」が「連続」を意味することを保証する

連続線形作用素は常に有界線形作用素である。^{[ 6 ]} しかし重要なのは、任意の位相ベクトル空間間の線形作用素の最も一般的な設定では、線形作用素が有界であっても連続でない可能性があるということである。

定義域が擬距離化可能な線形写像（任意のノルム空間など）は、連続である場合に限り有界である。 ^{[ 2 ]}ボルノロジー空間から局所凸空間への 線形写像についても同様である。^{[ 6 ]}

「有界」とは「近傍上で有界」を意味することを保証する

一般に、線形写像またはその定義域もしくは値域に関する追加情報がない場合、写像が「有界」であることは、「近傍で有界」であることと同義ではありません。${\displaystyle F:X\to Y}$はノルム空間からの有界線形作用素である。${\displaystyle X}$TVSにいくつか入れて${\displaystyle F:X\to Y}$は必然的に連続である。これは、任意の開球が${\displaystyle B}$原点を中心として${\displaystyle X}$は有界部分集合である（つまり、${\displaystyle F(B)}$は有界である${\displaystyle F}$は有界線形写像であり、原点の近傍は${\displaystyle X,}$となることによって${\displaystyle F}$したがって、この近傍で制限される${\displaystyle B}$起源のものであり、（前述のように）継続性を保証する。

させて${\displaystyle X}$体上の位相ベクトル空間（TVS）である${\displaystyle \mathbb {F} }$（${\displaystyle X}$ハウスドルフ空間や局所凸空間である必要はない）${\displaystyle f:X\to \mathbb {F} }$線形汎関数である${\displaystyle X.}$ 以下は同等です: ^{[ 1 ]}

1. ${\displaystyle f}$連続的である。
2. ${\displaystyle f}$は一様に連続である${\displaystyle X.}$
3. ${\displaystyle f}$ある時点で連続している${\displaystyle X.}$
4. ${\displaystyle f}$原点において連続である。
   • 定義により、${\displaystyle f}$原点で連続であるとは、すべての開球（または閉球）に対して${\displaystyle B_{r}}$半径${\displaystyle r>0}$中心は${\displaystyle 0}$終域において${\displaystyle \mathbb {F} ,}$近隣地域が存在する${\displaystyle U}$起源の${\displaystyle X}$そのため${\displaystyle f(U)\subseteq B_{r}.}$
   • もし${\displaystyle B_{r}}$閉じた球である場合、条件${\displaystyle f(U)\subseteq B_{r}}$成り立つのは、${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq r.}$
     • 重要なのは${\displaystyle B_{r}}$この最高特性では閉じた球である。${\displaystyle B_{r}}$代わりにオープンボールの場合、${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|<r}$は十分条件ではあるが、必要条件ではない。${\displaystyle f(U)\subseteq B_{r}}$真実である（例えば、${\displaystyle f=\operatorname {Id} }$同一性マップは${\displaystyle X=\mathbb {F} }$そして${\displaystyle U=B_{r}}$）一方、非厳密不等式${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq r}$は、必要条件ではあるが十分条件ではない。${\displaystyle f(U)\subseteq B_{r}}$真実である（例えば、${\displaystyle X=\mathbb {R} ,f=\operatorname {Id} ,}$そして閉鎖された地域${\displaystyle U=[-r,r]}$) これは、例えば極集合など、線形汎関数を含む多くの定義が、閉じた近傍（開いた近傍ではなく）と非厳密な定義を含む理由の 1 つです。${\displaystyle \,\leq \,}$（厳密ではなく）${\displaystyle \,<\,}$不平等。
5. ${\displaystyle f}$ある地点の近傍に境界が定められている。言い換えれば、${\displaystyle f}$は、その定義域の ある点で局所的に境界が定められている。
   • 具体的に言うと、これはある近傍が存在することを意味する。${\displaystyle U}$ある時点で${\displaystyle x\in X}$そのため${\displaystyle f(U)}$は、​${\displaystyle \mathbb {F}$ ;} ^{[ 2 ]}つまり、${\textstyle \displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|<\infty .}$この近隣地域の最高位${\displaystyle U}$に等しい${\displaystyle 0}$かつその場合に限り${\displaystyle f=0.}$
   • 重要な点として、線形汎関数が「近傍で有界である」ことは、一般に「有界な線形汎関数」であることと同値ではありません。なぜなら（上述のように）、線形写像は有界であっても連続ではない場合があるからです。しかし、定義域がノルム空間または半ノルム空間である場合、連続性と有界性は同値です。つまり、ノルム空間上の線形汎関数にとって、「有界である」ことは「近傍で有界である」ことと同値です。
6. ${\displaystyle f}$原点の近傍で境界が定められている。言い換えれば、${\displaystyle f}$は原点において局所的に有界である。
   • 平等${\displaystyle \sup _{x\in sU}|f(x)|=|s|\sup _{u\in U}|f(u)|}$すべてのスカラーに対して成り立つ${\displaystyle s}$そして、${\displaystyle s\neq 0}$それから${\displaystyle sU}$原点の近傍になります。したがって、特に、${\textstyle R:=\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|}$が正の実数である場合、すべての正の実数に対して${\displaystyle r>0,}$セット${\displaystyle N_{r}:={\tfrac {r}{R}}U}$起源の近隣であり、${\displaystyle \displaystyle \sup _{n\in N_{r}}|f(n)|=r.}$使用${\displaystyle r:=1}$次の命題を証明する${\displaystyle R\neq 0.}$
7. 近隣地域が存在する${\displaystyle U}$原点の${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1}$
   • この不等式は、以下の場合に限り成り立つ。${\displaystyle \sup _{x\in rU}|f(x)|\leq r}$すべての実数に対して${\displaystyle r>0,}$これは、正のスカラー倍数であることを示しています。${\displaystyle \{rU:r>0\}}$この単一の近隣地域${\displaystyle U}$これは、上記の（4）で与えられた原点における連続性の定義を満たす。
   • 集合の定義により${\displaystyle U^{\circ },}$これは（絶対）極性と呼ばれ、${\displaystyle U,}$不平等${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1}$成り立つのは、${\displaystyle f\in U^{\circ }.}$極集合、そしてこの特定の不等式もまた、双対性理論において重要な役割を果たす。
8. ${\displaystyle f}$は、その定義域のすべての点で局所的に有界である。
9. 核${\displaystyle f}$閉鎖中${\displaystyle X.}$^{[ 2 ]}
10. どちらか${\displaystyle f=0}$あるいは核${\displaystyle f}$密度が高くない${\displaystyle X.}$^{[ 2 ]}
11. 連続半ノルムが存在する${\displaystyle p}$の上${\displaystyle X}$そのため${\displaystyle |f|\leq p.}$
    • 特に、${\displaystyle f}$連続であるのは、半ノルムが${\displaystyle p:=|f|}$連続的である。
12. グラフ${\displaystyle f}$閉鎖されています。^{[ 9 ]}
13. ${\displaystyle \operatorname {Re} f}$は連続であり、${\displaystyle \operatorname {Re} f}$の実数部を表す${\displaystyle f.}$

もし${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$複素ベクトル空間である場合、このリストは以下のように拡張できます。

14. 想像上の部分${\displaystyle \operatorname {Im} f}$の${\displaystyle f}$連続的である。

ドメインが${\displaystyle X}$が連続した空間である場合、このリストは以下を含むように拡張できます。

15. ${\displaystyle f}$その定義域のどこかの点（あるいは同等に、すべての点）で連続している。 ^{[ 2 ]}

ドメインが${\displaystyle X}$が距離化可能または擬似距離化可能（例えば、フレシェ空間またはノルム空間）である場合、このリストは以下のように拡張できます。

16. ${\displaystyle f}$は有界線形演算子です（つまり、定義域の有界部分集合を値域の有界部分集合に写像します）。^{[ 2 ]}

ドメインが${\displaystyle X}$はボルノロジー空間（例えば、擬似距離化可能なTVS）であり、${\displaystyle Y}$が局所的に凸である場合、このリストは以下を含むように拡張される可能性があります。

17. ${\displaystyle f}$は有界線形作用素である。^{[ 2 ]}
18. ${\displaystyle f}$その定義域のどこかの点（あるいは同等に、すべての点）で連続している。 ^{[ 10 ]}
19. ${\displaystyle f}$原点において連続である。

さらに${\displaystyle X}$は実数上のベクトル空間である（特に、${\displaystyle f}$（実数値である）の場合、このリストは以下のように拡張できます。

20. 連続半ノルムが存在する${\displaystyle p}$の上${\displaystyle X}$そのため${\displaystyle f\leq p.}$^{[ 1 ]}
21. 本当の${\displaystyle r,}$半空間${\displaystyle \{x\in X:f(x)\leq r\}}$閉店しました。
22. 実際の${\displaystyle r,}$半空間${\displaystyle \{x\in X:f(x)\leq r\}}$閉鎖されています。^{[ 11 ]}

もし${\displaystyle X}$複雑な場合は、次の 3 つすべて${\displaystyle f,}$${\displaystyle \operatorname {Re} f,}$そして${\displaystyle \operatorname {Im} f}$は連続（それぞれ有界）であるか、そうでなければ3つすべてが不連続（それぞれ非有界）である。

もし${\displaystyle X}$は複雑なノルム空間であり、${\displaystyle f}$は線形汎関数である${\displaystyle X,}$それから${\displaystyle \|f\|=\|\operatorname {Re} f\|}$^{[ 14 ]}（特に、一方の辺が無限であるのは、他方の辺が無限である場合に限る）。

TVS上のすべての非自明な連続線形汎関数${\displaystyle X}$はオープンマップです。^{[ 1 ]} もし${\displaystyle f}$は実ベクトル空間上の線形汎関数である。${\displaystyle X}$そしてもし${\displaystyle p}$はセミノルムです${\displaystyle X,}$それから${\displaystyle |f|\leq p}$かつその場合に限り${\displaystyle f\leq p.}$^{[ 1 ]}

もし${\displaystyle f:X\to \mathbb {F} }$は線形関数であり、${\displaystyle U\subseteq X}$が空でない部分集合である場合、集合を定義することによって $${\displaystyle f(U):=\{f(u):u\in U\}\quad {\text{ and }}\quad |f(U)|:=\{|f(u)|:u\in U\},}$$ 至高${\displaystyle \,\sup _{u\in U}|f(u)|\,}$より簡潔に書くと次​​のようになる${\displaystyle \,\sup |f(U)|\,}$なぜなら $${\displaystyle \sup |f(U)|~=~\sup\{|f(u)|:u\in U\}~=~\sup _{u\in U}|f(u)|.}$$ もし${\displaystyle s}$スカラーの場合 $${\displaystyle \sup |f(sU)|~=~|s|\sup |f(U)|}$$ だからもし${\displaystyle r>0}$は実数であり、${\displaystyle B_{\leq r}:=\{c\in \mathbb {F}$ :|c|\leq r\}} は半​​径 r の閉球です${\displaystyle r}$原点を中心とした場合、以下の式は同等である。

1. ${\textstyle f(U)\subseteq B_{\leq 1}}$
2. ${\textstyle \sup |f(U)|\leq 1}$
3. ${\textstyle \sup |f(rU)|\leq r}$
4. ${\textstyle f(rU)\subseteq B_{\leq r}.}$