位相ベクトル格子

数学、特に関数解析と順序理論において、位相ベクトル格子は、部分順序を持ち、原点に立体集合からなる近傍基を持つベクトル格子となるハウスドルフ 位相ベクトル空間(TVS)です。^{[1]順序付きベクトル格子は、}スペクトル理論 で重要な応用があります。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$

がベクトル格子である場合、ベクトル格子演算とは次のマップを意味します。 ${\displaystyle X}$

1. 、、、およびによって定義される3つの写像${\displaystyle X}$${\displaystyle x\mapsto |x|}$${\displaystyle x\mapsto x^{+}}$${\displaystyle x\mapsto x^{-}}$
2. からへの 2 つの写像は、およびによって定義されます。${\displaystyle X\times X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (x,y)\mapsto \sup _{}\{x,y\}}$${\displaystyle (x,y)\mapsto \inf _{}\{x,y\}}$

が実数上のTVSかつベクトル格子である場合、が局所立体であるための必要十分条件は、(1)その正錐が正規錐であり、(2)ベクトル格子演算が連続的であることである。^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

がベクトル格子であり、正錐が正規錐であるフレシェ空間である順序付き位相ベクトル空間である場合、格子演算は連続である。^[1]${\displaystyle X}$

が位相ベクトル空間(TVS) で順序付きベクトル空間の場合、原点に立体集合からなる近傍基底を持つとき、は局所立体と呼ばれます。^[1] 位相ベクトル格子は、部分順序を持つハウスドルフTVSであり、局所立体であるベクトル格子になります。 ^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$

あらゆる位相ベクトル格子は閉じた正錐を持ち、したがって順序付けられた位相ベクトル空間 である。^{[1] が}正錐を持つ位相ベクトル格子のすべての有界部分集合の集合を表し 、任意の部分集合 に対してが の-飽和包であるとする。すると、位相ベクトル格子の正錐は厳密な -錐である。^[1]ここでが厳密な-錐とは、 がの基本部分族、つまり、あらゆる がの何らかの要素のサブセットとして含まれることを意味する。^[2]${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle S}$${\displaystyle [S]_{C}:=(S+C)\cap (S-C)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle S}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \left\{[B]_{C}:B\in {\mathcal {B}}\right\}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \left\{[B]_{C}:B\in {\mathcal {B}}\right\}}$

位相ベクトル格子が順序完備であれば、すべてのバンドは閉じている。^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

L ^p空間( )は、その標準順序付けの下でのバナッハ格子です。これらの空間は に対して順序完備です。 ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$${\displaystyle p<\infty }$

• バナッハ格子 – 格子の互換性のある構造を持つバナッハ空間
• 補完格子
• フレシェ格子 – 位相ベクトル格子
• 局所凸ベクトル格子
• ノルム格子
• 順序付きベクトル空間 – 半順序を持つベクトル空間
• 擬似補体
• リース空間 – 格子として順序付けられた半順序ベクトル空間

• ナリシ、ローレンス; ベッケンシュタイン、エドワード (2011)。位相ベクトル空間。純粋数学と応用数学 (第 2 版)。ボカラトン、フロリダ州: CRC プレス。ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (第 2 版). ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.