距離化可能な位相ベクトル空間

関数解析および関連する数学の分野において、距離化可能（または擬距離化可能）な位相ベクトル空間（TVS）は、距離（または擬距離）によって位相が誘導されるTVSである。LM空間は、局所的に凸な距離化可能なTVS の列の帰納的極限である。

集合上の擬距離は、次の性質を満たす 写像です。${\displaystyle X}$${\displaystyle d:X\times X\rightarrow \mathbb {R} }$

1. ${\displaystyle d(x,x)=0{\text{ すべての }}x\in X に対して}$;
2. 対称性: ;${\displaystyle d(x,y)=d(y,x){\text{ すべての }}x,y\in X に対して}$
3. 劣加法性:${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z){\text{ すべての }}x,y,z\in X に対して。}$

疑似距離は、次の条件を満たす場合、距離と呼ばれます。

4. 識別不能なものの同一性：すべての場合、${\displaystyle x,y\in X,}$${\displaystyle d(x,y)=0}$${\displaystyle x=y.}$

超擬似計測

上の擬似距離は、次の条件を満たす場合、 超擬似距離または強擬似距離と呼ばれます。${\displaystyle d}$${\displaystyle X}$

5. 強い/超距離三角形不等式:${\displaystyle d(x,z)\leq \max\{d(x,y),d(y,z)\}{\text{ すべての }}x,y,z\in X に対して。}$

擬似空間

擬距離空間は、の位相が によって誘導される上の位相と同一であるような、上の集合と擬距離からなる対です。 が計量 (または超擬距離) である場合、擬距離空間を計量空間(または超擬距離 空間)と呼びます。${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle d}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle d.}$${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle d}$

が集合上の擬距離である場合、開球の集合： が上を範囲とし、が正の実数上を範囲とするとき、は、によって誘導される-位相または擬距離位相と呼ばれる、上の位相の基底を形成します。${\displaystyle d}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle B_{r}(z):=\{x\in X:d(x,z)<r\}}$$${\displaystyle z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle d}$${\displaystyle X}$${\displaystyle d.}$

慣例：が擬距離空間であり、が位相空間として扱われる場合、特に断りのない限り、 はによって誘導される位相を備えていると仮定する。${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle d.}$

擬似メトリゼーション可能な空間

位相空間が擬距離化可能（それぞれ距離化可能、超擬距離化可能）であるとは、 ^[1]によって誘導される位相に等しい擬距離（それぞれ距離、超擬距離）が存在する場合である。${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle d}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle d.}$

加法位相群は、加法群に群位相と呼ばれる位相が備わっており、その位相の下では加算と否定が連続演算子になります。

実ベクトル空間または複素ベクトル空間上の位相は、ベクトルの加算とスカラー乗算の演算が連続になる場合（つまり、位相ベクトル空間になる場合）、 ベクトル位相またはTVS 位相と呼ばれます。${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

すべての位相ベクトル空間(TVS)は加法可換位相群ですが、その上のすべての群位相がベクトル位相であるわけではありません。これは、ベクトル空間上の群位相は加算と否定を連続させますが、スカラー乗算を連続にできない場合があるためです。たとえば、任意の非自明なベクトル空間上の離散位相は、加算と否定を連続させますが、スカラー乗算を連続にしません。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

が加法群である場合、上の擬距離が以下の同値な条件のいずれかを満たすとき、 は変換不変または単に不変であるといいます。${\displaystyle X}$${\displaystyle d}$${\displaystyle X}$

1. 翻訳不変性:;${\displaystyle d(x+z,y+z)=d(x,y){\text{ for all }}x,y,z\in X}$
2. ${\displaystyle d(x,y)=d(x-y,0){\text{ for all }}x,y\in X.}$

が位相群である場合、（GはGroupを表す）上の値またはG半正規分布は、以下の性質を持つ実数値写像である： ^[2]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p:X\rightarrow \mathbb {R} }$

1. 非負:${\displaystyle p\geq 0.}$
2. 加法性不足: ;${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y){\text{ for all }}x,y\in X}$
3. ${\displaystyle p(0)=0..}$
4. 対称:${\displaystyle p(-x)=p(x){\text{ for all }}x\in X.}$

ここで、G-セミノルムが追加条件を満たす場合、それ をG-ノルムと呼ぶ:

5. 合計/正定値:ならば${\displaystyle p(x)=0}$${\displaystyle x=0.}$

がベクトル空間上の値である場合、次のようになります。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle |p(x)-p(y)|\leq p(x-y){\text{ for all }}x,y\in X.}$^[3]
• ${\displaystyle p(nx)\leq np(x)}$およびすべての正の整数に対して^[4]${\displaystyle {\frac {1}{n}}p(x)\leq p(x/n)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle n.}$
• この集合は^[3]の加法部分群である。${\displaystyle \{x\in X:p(x)=0\}}$${\displaystyle X.}$

を非自明な（すなわち）実数または複素数ベクトル空間とし、 をおよびによって定義される上の並進不変な自明な計量とすると、に誘導される 位相は離散位相であり、これは加算に関して可換位相群を形成するが、 は不連続であるがすべてのベクトル位相は連結であるため、上のベクトル位相を形成しない。問題となるのは、スカラー乗算が 上で連続ではないことである。${\displaystyle X}$${\displaystyle X\neq \{0\}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle X}$${\displaystyle d(x,x)=0}$${\displaystyle d(x,y)=1{\text{ for all }}x,y\in X}$${\displaystyle x\neq y.}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle d}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle (X,\tau ).}$

この例では、変換不変 (疑似) メトリックだけではベクトル トポロジーを保証するのに十分ではないことが示されており、これにより、パラノルムとFセミノルムを定義することになります。

ベクトル空間の部分集合の集合は加法的と呼ばれる^[5]。任意のベクトル空間に対して、${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle N\in {\mathcal {N}},}$${\displaystyle U\in {\mathcal {N}}}$${\displaystyle U+U\subseteq N.}$

したがって、上記の条件はすべて、位相がベクトル位相を形成するために必要な条件です。集合の加法シーケンスは、非負の連続実数値のサブ加法関数を定義するという特に優れた特性を持っています。これらの関数は、位相ベクトル空間の多くの基本的な特性を証明するために使用でき、また、近傍の可算基底を持つハウスドルフ TVS が距離化可能であることを示すために使用できます。次の定理は、可換加法位相群に対してより一般的に当てはまります。

が実数または複素数上のベクトル空間である場合、上のパラノルムは、以下のいずれかの追加条件を満たす上のG-半ノルム（上記で定義）であり、各条件は「内のすべてのシーケンスとすべての収束するスカラーシーケンスに対して」で始まる：^[6]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p:X\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$

1. 乗法の連続性：がスカラーであり、が成り立つような場合、${\displaystyle s}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle p\left(x_{i}-x\right)\to 0}$${\displaystyle s_{\bullet }\to s,}$${\displaystyle p\left(s_{i}x_{i}-sx\right)\to 0.}$
2. 両方の条件:
   • かつ がとなる場合、となる。${\displaystyle s_{\bullet }\to 0}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle p\left(x_{i}-x\right)\to 0}$${\displaystyle p\left(s_{i}x_{i}\right)\to 0}$
   • ならば、すべてのスカラーに対して${\displaystyle p\left(x_{\bullet }\right)\to 0}$${\displaystyle p\left(sx_{i}\right)\to 0}$${\displaystyle s.}$
3. 両方の条件:
   • もし、あるスカラーに対してであれば、${\displaystyle p\left(x_{\bullet }\right)\to 0}$${\displaystyle s_{\bullet }\to s}$${\displaystyle s}$${\displaystyle p\left(s_{i}x_{i}\right)\to 0}$
   • もしそうなら${\displaystyle s_{\bullet }\to 0}$${\displaystyle p\left(s_{i}x\right)\to 0{\text{ for all }}x\in X.}$
4. 別個の連続性：^[7]
   • あるスカラーに対して であれば、任意の に対して である。${\displaystyle s_{\bullet }\to s}$${\displaystyle s}$${\displaystyle p\left(sx_{i}-sx\right)\to 0}$${\displaystyle x\in X}$
   • がスカラーの場合、となります。${\displaystyle s}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle p\left(x_{i}-x\right)\to 0}$${\displaystyle p\left(sx_{i}-sx\right)\to 0}$

超正規分布は、さらに次の条件を満たす場合、 完全分布と呼ばれます。

• 合計/正定値：意味する${\displaystyle p(x)=0}$${\displaystyle x=0.}$

がベクトル空間上のパラノルムである場合、によって定義される写像は、上のベクトル位相を定義する、上の変換不変擬距離である^[8]${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle d:X\times X\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle d(x,y):=p(x-y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

がベクトル空間上の超正規分布である場合、次のようになります。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$

• この集合は^[8]のベクトル部分空間である。${\displaystyle \{x\in X:p(x)=0\}}$${\displaystyle X.}$
• ${\displaystyle p(x+n)=p(x){\text{ for all }}x,n\in X}$^[8]と${\displaystyle p(n)=0.}$
• パラノルムがとスカラーを満たす場合、は絶対同次性（すなわち等式が成立する）^[8]であり、したがって半ノルムである。${\displaystyle p}$${\displaystyle p(sx)\leq |s|p(x){\text{ for all }}x\in X}$${\displaystyle s,}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

• がベクトル空間上の変換不変擬距離であり、ベクトル空間上のベクトル位相を誘導する（つまり、がTVSである）場合、写像は上の連続パラノルムを定義する。さらに、このパラノルムが で定義する位相は^[8]である。${\displaystyle d}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle p(x):=d(x-y,0)}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau .}$
• が上の超正規分布ならば、写像も超正規分布である^[8]${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle q(x):=p(x)/[1+p(x)].}$
• パラノルム（合計パラノルム）のすべての正のスカラー倍数は、再びそのようなパラノルム（合計パラノルム）です。
• あらゆる半規範は超規範である。^[8]
• パラノルム（総パラノルム）をベクトル部分空間に制限したものがパラノルム（総パラノルム）である。^[9]
• 2つの超正規分布の合計は超正規分布である。^[8]
• およびが上の超正規分布ならばも である。さらに、であり、これにより 上の超正規分布の集合は条件付き完全束になる。^[8]${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (p\wedge q)(x):=\inf _{}\{p(y)+q(z):x=y+z{\text{ with }}y,z\in X\}.}$${\displaystyle (p\wedge q)\leq p}$${\displaystyle (p\wedge q)\leq q.}$${\displaystyle X}$
• 次の実数値マップはそれぞれ 上の超正規分布である: ${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2}}$
  • ${\displaystyle (x,y)\mapsto |x|}$
  • ${\displaystyle (x,y)\mapsto |x|+|y|}$
• 実数値写像と[ ^8]は、${\displaystyle (x,y)\mapsto {\sqrt {\left|x^{2}-y^{2}\right|}}}$${\displaystyle (x,y)\mapsto \left|x^{2}-y^{2}\right|^{3/2}}$${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2}.}$
• がベクトル空間上のハメル基底である場合、 （有限個を除くすべてのスカラーが0である）をに送る実数値写像は、すべてのおよびスカラーに対してを満たすパラノルムである^[8]${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x=\sum _{i\in I}s_{i}x_{i}\in X}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle \sum _{i\in I}{\sqrt {\left|s_{i}\right|}}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle p(sx)={\sqrt {|s|}}p(x)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle s.}$
• 関数は 上のパラノルムであり、バランスが取れていないが、それでも 上の通常のノルムと同値である。関数は劣加法であることに注意する。^[10]${\displaystyle p(x):=|\sin(\pi x)|+\min\{2,|x|\}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle R.}$${\displaystyle x\mapsto |\sin(\pi x)|}$
• を複素ベクトル空間とし、をベクトル空間として考えると、上の任意の超正規分布は上の超正規分布でもある^[9]。${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$${\displaystyle X_{\mathbb {R} }.}$

が実数または複素数上のベクトル空間である場合、 （はフレシェを表す）上のF半正規分布は、次の4つの性質を持つ実数値写像である： ^[11]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$

1. 非負:${\displaystyle p\geq 0.}$
2. 劣加法：すべてに対して${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y)}$${\displaystyle x,y\in X}$
3. バランス：すべてのスカラーが満たす${\displaystyle p(ax)\leq p(x)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle a}$${\displaystyle |a|\leq 1;}$
   • この条件は、フォームの各セットまたは一部のセットがバランスの取れたセットであることを保証します。${\displaystyle \{z\in X:p(z)\leq r\}}$${\displaystyle \{z\in X:p(z)<r\}}$${\displaystyle r\geq 0}$
4. すべてのas${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p\left({\tfrac {1}{n}}x\right)\to 0}$${\displaystyle n\to \infty }$
   • この数列はゼロに収束する任意の正の数列に置き換えることができる。^[12]${\displaystyle \left({\tfrac {1}{n}}\right)_{n=1}^{\infty }}$

F半ノルムは、さらに以下を満たす場合、 Fノルムと呼ばれます。

5. 合計/正定値：意味する${\displaystyle p(x)=0}$${\displaystyle x=0.}$

F半正規分布は、次の条件を満たす場合、単調分布と呼ばれます。

6. 単調:ゼロでないすべての実数に対して、^[12]${\displaystyle p(rx)<p(sx)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle s}$${\displaystyle t}$${\displaystyle s<t.}$

F半ノルム空間（またはFノルム空間）^[12]は、ベクトル空間とF半ノルム（またはFノルム）からなる対である。${\displaystyle (X,p)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X.}$

とがF半正規化空間であるとき、写像は等長埋め込みと呼ばれる^[12]。${\displaystyle (X,p)}$${\displaystyle (Z,q)}$${\displaystyle f:X\to Z}$${\displaystyle q(f(x)-f(y))=p(x,y){\text{ for all }}x,y\in X.}$

あるF半正規化空間から別のF半正規化空間への等長埋め込みはすべて位相的埋め込みであるが、その逆は一般には成り立たない。^[12]

• F 半ノルム (それぞれFノルム、半ノルム)のすべての正のスカラー倍数は、再びF半ノルム (それぞれFノルム、半ノルム) です。
• 有限個のFセミノルム (またはFノルム)の合計はFセミノルム (またはFノルム) です。
• およびが上のF半ノルムであれば、それらの点ごとの最大値もである。同じことは、 ^[12]上のF半ノルムの任意の空でない有限族の最大値についても当てはまる。${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\mapsto \sup\{p(x),q(x)\}.}$${\displaystyle X.}$
• F -セミノルム（またはF -ノルム）のベクトル部分空間への制限はF -セミノルム（またはF -ノルム）である。^[9]
• 上の非負の実数値関数が半ノルムとなるのは、それが凸F半ノルムである場合、またはそれと同値で、凸平衡G半ノルムである場合に限ります。^[10] 特に、すべての半ノルムはF半ノルムです。${\displaystyle X}$
• 任意の に対して、によって定義される 上の写像は、ノルムではないFノルム です。${\displaystyle 0<p<1,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle [f\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)]^{p}=\left|x_{1}\right|^{p}+\cdots \left|x_{n}\right|^{p}}$$
• が線型写像であり、が上のF半正規写像であれば、が上のF半正規写像である^[12]。${\displaystyle L:X\to Y}$${\displaystyle q}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle q\circ L}$${\displaystyle X.}$
• を複素ベクトル空間とし、をベクトル空間として考えると、上の任意のF半正規形は上のF半正規形でもある^[9]。${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$${\displaystyle X_{\mathbb {R} }.}$

あらゆるF-半ノルムは超ノルムであり、あらゆる超ノルムは何らかのF-半ノルムと同値である。^[7]ベクトル空間上の あらゆるF-半ノルムは上の値である。特に、そしてすべての${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle p(x)=0,}$${\displaystyle p(x)=p(-x)}$${\displaystyle x\in X.}$

がベクトル空間上のF半ノルムの空でない集合であり、任意の有限部分集合および任意の ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {L}}}$${\displaystyle r>0,}$$${\displaystyle U_{{\mathcal {F}},r}:=\bigcap _{p\in {\mathcal {F}}}\{x\in X:p(x)<r\}.}$$

集合は、上のフィルタ基底を形成し、これはまた、上のベクトル位相の原点における近傍基底を形成し、 [ ¹² ]で表される。 それぞれは、 ^[12]のバランスのとれた吸収部分集合である。 これらの集合は、^{[12]を満たす。}${\displaystyle \left\{U_{{\mathcal {F}},r}~:~r>0,{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {L}},{\mathcal {F}}{\text{ finite }}\right\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau _{\mathcal {L}}.}$${\displaystyle U_{{\mathcal {F}},r}}$${\displaystyle X.}$ $${\displaystyle U_{{\mathcal {F}},r/2}+U_{{\mathcal {F}},r/2}\subseteq U_{{\mathcal {F}},r}.}$$

• ${\displaystyle \tau _{\mathcal {L}}}$それぞれを連続させる最も粗いベクトル位相である。^[12]${\displaystyle X}$${\displaystyle p\in {\mathcal {L}}}$
• ${\displaystyle \tau _{\mathcal {L}}}$がハウスドルフであることと、任意の非ゼロに対して^[12]を満たすものが存在することと同値である。${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle p\in {\mathcal {L}}}$${\displaystyle p(x)>0.}$
• が上の連続F半ノルム全体の集合である場合、 ^[12]${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \left(X,\tau _{\mathcal {L}}\right)}$${\displaystyle \tau _{\mathcal {L}}=\tau _{\mathcal {F}}.}$
• がの空でない有限部分集合のすべての点ごとの極大値の集合である場合、はF半ノルムの有向族であり、^[12]${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \tau _{\mathcal {L}}=\tau _{\mathcal {F}}.}$

がベクトル空間上の非負劣加法関数の族であるとする。${\displaystyle p_{\bullet }=\left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle X.}$

のフレシェ結合^[8]は実数値写像として定義される。 ${\displaystyle p_{\bullet }}$$${\displaystyle p(x):=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {p_{i}(x)}{2^{i}\left[1+p_{i}(x)\right]}}.}$$

が上の半ノルムの増加列であり、がのフレシェ結合であるとすると 、は上のF半ノルムであり、半ノルムの族と同じ局所凸位相を誘導する。^[13]${\displaystyle p_{\bullet }=\left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p_{\bullet }.}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p_{\bullet }}$

は増加しているので、原点の開近傍の基底は、すべての正の整数にわたる範囲とすべての正の実数にわたる範囲 としての形式のすべての集合で構成されます。${\displaystyle p_{\bullet }=\left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle \left\{x\in X~:~p_{i}(x)<r\right\}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle r>0}$

このF半正規分布によって誘導される擬似距離上の変換 不変量は ${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$$${\displaystyle d(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}{\frac {p_{i}(x-y)}{1+p_{i}(x-y)}}.}$$

この計量は、1906年にフレシェが点演算を伴う実数列と複素数列の空間に関する論文で発見した。 ^[14]

それぞれが超規範であれば も超規範であり、さらに は超規範の族と同じ位相を誘導します。^[8] これは 上の次の超規範についても当てはまります。 ${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p_{\bullet }}$${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle q(x):=\inf _{}\left\{\sum _{i=1}^{n}p_{i}(x)+{\frac {1}{n}}~:~n>0{\text{ is an integer }}\right\}.}$^[8]
• ${\displaystyle r(x):=\sum _{n=1}^{\infty }\min \left\{{\frac {1}{2^{n}}},p_{n}(x)\right\}.}$^[8]

フレシェ結合は、境界付き再計数化関数の使用によって一般化できます。

あ有界再計数化関数^[15]は、有界な範囲を持ち、劣加法的（つまり、 すべての に対して）であり、 を満たす場合のみである連続非負非減少写像である${\displaystyle R:[0,\infty )\to [0,\infty )}$${\displaystyle R(s+t)\leq R(s)+R(t)}$${\displaystyle s,t\geq 0}$${\displaystyle R(s)=0}$${\displaystyle s=0.}$

有界再計量化関数の例としては、およびが挙げられる[ ^15]。が上の擬距離（それぞれ計量）であり、が有界再計量化関数である 場合、は上の有界擬距離（それぞれ有界計量）であり、これは^[15]と一様に同値である。${\displaystyle \arctan t,}$ ${\displaystyle \tanh t,}$ ${\displaystyle t\mapsto \min\{t,1\},}$${\displaystyle t\mapsto {\frac {t}{1+t}}.}$${\displaystyle d}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R\circ d}$${\displaystyle X}$${\displaystyle d.}$

がベクトル空間上の非負のF半ノルムの族であり、が有界再計数化関数であり、和が有限である正の実数列であると する。すると、[16]と一様同値な 有界F半ノルムが定義される。これは、 ^{[16] の}任意の ネットに対して、すべての^{[16]に対して が}Fノルムである場合、および^[16]上の個々の点が${\displaystyle p_{\bullet }=\left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle R}$${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$$${\displaystyle p(x):=\sum _{i=1}^{\infty }r_{i}R\left(p_{i}(x)\right)}$$${\displaystyle p_{\bullet }.}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p\left(x_{\bullet }\right)\to 0}$${\displaystyle p_{i}\left(x_{\bullet }\right)\to 0}$${\displaystyle i.}$ ${\displaystyle p}$${\displaystyle p_{\bullet }}$${\displaystyle X.}$

擬距離（または計量）がベクトル空間上の半ノルム（またはノルム）によって誘導されるのは、が並進不変かつ絶対同次である場合のみであり、これはすべてのスカラーおよびすべてのに対して となることを意味し、その場合、 によって定義される関数は半ノルム（またはノルム）であり、 によって誘導される擬距離（または計量）は${\displaystyle d}$${\displaystyle X}$${\displaystyle d}$${\displaystyle s}$${\displaystyle x,y\in X,}$${\displaystyle p(x):=d(x,0)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle d.}$

が位相ベクトル空間（TVS）である場合（特にベクトル位相であると仮定されていることに注意）、以下は同値である：^[11]${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \tau }$

1. ${\displaystyle X}$は擬距離化可能である（つまり、ベクトル位相は上の擬距離によって誘導される）。${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$
2. ${\displaystyle X}$原点に可算な近傍基数を持ちます。
3. 上の位相は、上の変換不変擬距離によって誘導される。${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$
4. 上の位相はF半ノルムによって誘導されます。${\displaystyle X}$
5. 上のトポロジーはパラノルムによって誘導されます。${\displaystyle X}$

がTVS の 場合、以下は同等です。${\displaystyle (X,\tau )}$

1. ${\displaystyle X}$メートル法化可能です。
2. ${\displaystyle X}$ハウスドルフかつ擬似距離化可能である。
3. ${\displaystyle X}$ハウスドルフであり、原点に可算近傍基数を持つ。^{[11] [12]}
4. 上の位相は^[11]上の変換不変計量によって誘導される。${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$
5. 上の位相はFノルムによって誘導される。^{[11] [12]}${\displaystyle X}$
6. 上の位相は単調なFノルムによって誘導される。^[12]${\displaystyle X}$
7. 上のトポロジーは全超正規分布によって誘導されます。${\displaystyle X}$

がTVSの場合、以下は同値である: ^[13]${\displaystyle (X,\tau )}$

1. ${\displaystyle X}$局所的に凸かつ擬似距離化可能である。
2. ${\displaystyle X}$原点に凸集合からなる可算近傍基数を持ちます。
3. の位相は、（連続的な）半ノルムの可算な族によって誘導されます。${\displaystyle X}$
4. の位相は、（連続的な）半ノルムの可算な増加列によって誘導される（増加とは、すべての${\displaystyle X}$${\displaystyle \left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle p_{i}\geq p_{i+1}.}$
5. の位相は、次の形式の F半ノルムによって誘導される。 ここで、(連続)半ノルムは^[18]${\displaystyle X}$$${\displaystyle p(x)=\sum _{n=1}^{\infty }2^{-n}\operatorname {arctan} p_{n}(x)}$$${\displaystyle \left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle X.}$

を位相ベクトル空間のベクトル部分空間とする${\displaystyle M}$${\displaystyle (X,\tau ).}$

• が擬似メートル法可能なTVSであるならば、 ^[11]${\displaystyle X}$${\displaystyle X/M.}$
• が完全な擬似距離化可能なTVSであり、がの閉じたベクトル部分空間である場合、は完全である。^[11]${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X/M}$
• が距離化可能なTVSであり、がの閉ベクトル部分空間である場合、距離化可能である。^[11]${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X/M}$
• が上のF -半ノルムである場合、によって定義される 写像は上のF -半ノルムで あり、上の通常の商位相を誘導する^[11]。 さらにが上のF -ノルムであり、がの閉ベクトル部分空間である場合、は上のF -ノルムである^[11]。${\displaystyle p}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle P:X/M\to \mathbb {R} }$$${\displaystyle P(x+M):=\inf _{}\{p(x+m):m\in M\}}$$${\displaystyle X/M}$${\displaystyle X/M.}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$${\displaystyle X.}$

• あらゆる半ノルム空間は 擬距離化可能であり、すべての場合において、 によって与えられる標準擬距離が存在する^[19]。${\displaystyle (X,p)}$${\displaystyle d(x,y):=p(x-y)}$${\displaystyle x,y\in X.}$
• が擬距離TVSで、変換不変擬距離を持つ場合、はパラノルムを定義します。^[20] しかし、がベクトル空間上の変換不変擬距離である場合（擬距離TVSであるという追加条件なし）、はF半ノルム^[21]でもパラノルムでなくてもよい。${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle d,}$${\displaystyle p(x):=d(x,0)}$${\displaystyle d}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle d}$
• TVSが原点の有界近傍を持つ場合、それは擬似距離化可能である。その逆は一般には偽である。^[14]
• ハウスドルフTVSが原点の有界近傍を持つ場合、それは距離化可能である。^[14]
• がDF 空間またはLM 空間のいずれかであるとします。 が連続空間である場合、それは距離化可能か、そうでなければモンテルDF 空間のいずれかです。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

がハウスドルフ局所凸TVSである場合、強位相で、が距離化可能であることと、の有界部分集合の可算集合が存在し、その有界部分集合のすべてがの何らかの元に含まれることとが同値である^[22]。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \left(X,b\left(X,X^{\prime }\right)\right),}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

距離化可能な局所凸空間（フレシェ空間^[23]など）の強い双対空間は DF 空間です。^[24] DF 空間の強い双対はフレシェ空間です。^[25]反射フレシェ空間 の強い双対はボルノロジー空間です。^[24]距離化可能な局所凸空間の 強い双対（つまり、強い双対空間の強い双対空間）はフレシェ空間 です。 ^[26]が距離化可能な局所凸空間である 場合、その強い双対が次の性質のうち 1 つを持つ場合、およびそれがこれらの性質のすべてを持つ場合に限ります。(1)ボルノロジー、(2)インフラバレル、(3)バレル。^[26]${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$

位相ベクトル空間が半ノルム可能であることと、原点の凸境界近傍を持つこととは同値である。さらに、TVS がノルム可能であることと、ハウスドルフかつ半ノルム可能であることとは同値である。^[14]有限次元ベクトル空間 上の距離化可能なすべての TVS は、ノルム可能な局所凸 完全 TVSであり、ユークリッド空間とTVS 同型である。したがって、距離化可能な TVS でノルム可能でないものはすべて無限次元でなければならない。

が計量可能な局所凸TVSであり、それが有界集合の可算な基本系を持つ場合、は規範可能である。^[27]${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

がハウスドルフ局所凸空間である場合、以下は同値です。 ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$は規範可能である。
2. ${\displaystyle X}$原点の（フォン・ノイマン）有界近傍を持つ。
3. の強双対空間 は正規化可能である。^[28]${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$${\displaystyle X}$

そして、この局所凸空間も距離化可能である場合、次のものをこのリストに追加することができます。 ${\displaystyle X}$

4. の強双対空間は距離化可能である。^[28]${\displaystyle X}$
5. の強双対空間はフレシェ・ウリゾーン局所凸空間である。^[23]${\displaystyle X}$

特に、距離化可能な局所凸空間（フレシェ空間など）がノルム可能でない場合、その強双対空間はフレシェ-ウリゾーン空間ではなく、その結果、この完全なハウスドルフ局所凸空間も距離化可能でもノルム可能でもありません。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$

このことのもう一つの結果は、 が反射的局所凸TVS でその強双対が距離化可能である場合、 は必然的に反射的フレシェ空間であり、はDF 空間であり、 と は両方とも必然的に完備なハウスドルフ超ボルノロジーの区別されたウェブ空間であり、さらに、がノルム可能であることと、 がノルム可能であることと、がフレシェ–ウリゾーンである場合と、が距離化可能であることとに限ります。特に、そのような空間はバナッハ空間であるか、そうでなければフレシェ–ウリゾーン空間でさえありません。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

が擬距離空間で であると仮定する。 集合が計量的に有界または-有界であるとは、すべての に対してとなる実数が存在する場合である。そのような最小のものを の直径または-直径と呼ぶ。 [ ^14]が擬距離化可能な TVS で有界である 場合、それは計量的に有界である。その逆は一般には偽であるが、局所的に凸距離化可能な TVSでは真である。 ^[14]${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle B\subseteq X.}$${\displaystyle B}$${\displaystyle d}$${\displaystyle R>0}$${\displaystyle d(x,y)\leq R}$${\displaystyle x,y\in B}$${\displaystyle R}$${\displaystyle d}$${\displaystyle B.}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$

• 任意の距離化可能な局所凸TVSは、準バレル空間、^[30] ボルノロジー空間、およびマッキー空間です。
• すべての完全な擬距離化可能なTVSは樽型空間であり、ベール空間である（したがって非希薄である）。^{[31]しかし、}完全で はない距離化可能なベール空間も存在する。^[31]
• が距離化可能な局所凸空間である場合、 の強双対がボルノロジー的であることと、それがバレル化されていることとは同値であり、 がインフラバレル化されていることとは同値である。^[26]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
• が完全な擬似距離化可能なTVSであり、がの閉じたベクトル部分空間である場合、は完全である。^[11]${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X/M}$
• 局所凸距離化可能なTVSの強い双対はウェブ空間である。^[32]
• と が完全な距離化可能 TVS（すなわちF 空間）であり、 がよりも粗い場合、 です。^[33]これらの距離化可能 TVS のいずれかが完全でない場合、これはもはや真であるとは保証されません。^[34]言い換えると、と が両方ともF 空間だが位相が異なる場合、とのどちらも他方を部分集合として含みません。このことの特定の帰結として、たとえば がバナッハ空間であり が、ノルム誘導位相が の位相よりも細かい（または粗い）他のノルム付き空間である場合（すなわち、 の場合、または何らかの定数 に対して の場合）、 がバナッハ空間である（すなわち完全でもある）唯一の方法は、これら 2 つのノルムと が同等である場合です。同等でない場合、 はバナッハ空間にはなり得ません。別の結果として、がバナッハ空間で がフレシェ空間である場合、写像が連続となるのはフレシェ空間がTVSである場合のみです(ここで、バナッハ空間はTVS として考えられており、これはそのノルムが「忘れられる」が、その位相が記憶されること を意味します)。${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle (X,\nu )}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau =\nu }$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle (X,\nu )}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle (X,p)}$${\displaystyle (X,q)}$${\displaystyle (X,p)}$${\displaystyle p\leq Cq}$${\displaystyle q\leq Cp}$${\displaystyle C>0}$${\displaystyle (X,q)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle (X,q)}$${\displaystyle (X,p)}$${\displaystyle (X,\nu )}$${\displaystyle p:(X,\nu )\to \mathbb {R} }$${\displaystyle (X,\nu )}$ ${\displaystyle (X,p)}$${\displaystyle (X,p)}$
• 距離化可能な局所凸空間がノルム可能であるための必要十分条件は、その強双対空間がフレシェ-ウリゾーン局所凸空間である場合である。[ ^23]
• 完全な距離化可能なTVSの積はベール空間である。^[31]
• 計量化可能なTVSの積が計量化可能であるのは、これらのTVSの全てが最大でも可算個数以下である場合に限ります^[35]${\displaystyle 0.}$
• 擬似距離化可能な TVS の積は、これらの TVS の多くとも可算個数が自明なトポロジーを持つ場合にのみ、擬似距離化可能です。
• すべての完全な擬距離化可能なTVSは樽型空間であり、ベール空間である（したがって非希薄空間である）。^[31]
• 完全な距離化可能なTVSの次元は有限か無限かのいずれかである。^[35]

すべての位相ベクトル空間（およびより一般的には位相群）には、その位相によって誘導される標準的な一様構造があり、これにより、完全性と一様連続性の概念を適用できます。 が距離化可能な TVS で、が の位相を定義する計量である場合、 がTVS として完全（つまり、その一様性に対して）であるが、計量が完全計量ではない可能性があります（ に対してもそのような計量は存在します）。したがって、が擬距離によって位相が誘導される TVS である場合、（TVS としての）の完全性の概念と擬距離空間の完全性の概念は常に同等であるとは限りません。次の定理は、これらが同等である場合の条件を示します。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle d}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle d}$${\displaystyle X=\mathbb {R} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle d,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,d)}$

が完全な擬距離化可能なTVSの閉じたベクトル部分空間である場合、商空間は完全である。[40] が距離化可能なTVSの完全なベクトル部分空間であり、商空間が完全である^場合、も 完全である。 ^[40]が完全でない 場合は、ベクトル部分空間は完全ではないが、${\displaystyle M}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X/M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X/M}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M:=X,}$${\displaystyle X.}$

ベール可分位相群は、それ が宇宙的である場合に限り、計量化可能である。^[23]

• を可分な局所凸距離化可能な位相ベクトル空間とし、をその完備化とする。がの有界部分集合であれば、次の有界部分集合が存在する。^[41]${\displaystyle M}$${\displaystyle C}$${\displaystyle S}$${\displaystyle C}$${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S\subseteq \operatorname {cl} _{C}R.}$
• 局所凸距離化可能なTVSの全ての完全に有界な部分集合は、収束するあるシーケンスの閉じた凸バランス包に含まれる。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle 0.}$
• 擬似卵巣分裂可能なTVSでは、すべての食肉動物は起源の近隣である。^[42]
• がベクトル空間上の変換不変計量である場合、すべての正の整数に対して^[43]${\displaystyle d}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle d(nx,0)\leq nd(x,0)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle n.}$
• が距離化可能なTVSにおいてヌル列（つまり原点に収束する列）である場合、に発散する正の実数列が存在し、^[43]${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle \left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to 0.}$
• 完全な距離空間の部分集合は、それが完全な場合のみ閉じています。空間が完全でない場合、その閉じた部分集合は完全ではありません。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
• が距離化可能な局所凸TVSである場合、 の任意の有界部分集合に対して、の有界円板が存在し、と補助ノルム空間の両方が^[44]に同じ部分空間位相を誘導する。${\displaystyle X}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B\subseteq X_{D},}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{D}}$${\displaystyle B.}$

一般化シリーズ

この記事の一般化級数のセクションで説明したように、TVS からのベクトルの任意の-インデックス付き族に対して、その和を有限部分和のネットの極限として定義することができます。ここで、定義域はによって導かれます。 たとえば、一般化級数が収束するのは、 が通常の意味で無条件に収束する場合のみです(実数の場合、絶対収束に相当します)。一般化級数が距離化可能な TVS で収束する場合、その集合は必然的に可算です(つまり、有限または可算無限)。^{[証明 1]} 言い換えると、最大で可算個以外はすべてゼロになるため、この一般化級数は実際には最大で可算個の非ゼロ項の和になります。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle \left(r_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$${\displaystyle F\in \operatorname {FiniteSubsets} (I)\mapsto \textstyle \sum \limits _{i\in F}r_{i}}$${\displaystyle \operatorname {FiniteSubsets} (I)}$${\displaystyle \,\subseteq .\,}$${\displaystyle I=\mathbb {N} }$${\displaystyle X=\mathbb {R} ,}$${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in \mathbb {N} }r_{i}}$${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }r_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$${\displaystyle \left\{i\in I:r_{i}\neq 0\right\}}$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}~=~\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I}{r_{i}\neq 0}}r_{i}}$

が擬似距離化可能なTVSであり、の有界部分集合を の有界部分集合に写す場合、は連続である。^[14] 不連続線型関数は任意の無限次元擬似距離化可能なTVS上に存在する。[ ^{46]したがって、擬似距離化可能なTVSが有限次元であるための必要十分条件は、その連続双対空間が}代数的双対空間 に等しい場合である。^[46]${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle A}$

がTVS 間の線型写像であり、距離化可能である場合、以下は同値です。 ${\displaystyle F:X\to Y}$${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle F}$連続している。
2. ${\displaystyle F}$は（局所的に）有界な写像である（つまり、（フォン・ノイマン）の有界な部分集合をの有界な部分集合に写像する）^{[12] 。}${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$
3. ${\displaystyle F}$連続的である; ^[12]
4. におけるすべてのヌルシーケンスの像は有界集合^[12]であり、定義によりヌルシーケンスは原点に収束するシーケンスである。${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$
5. ${\displaystyle F}$ヌルシーケンスをヌルシーケンスにマッピングします。

オープンマップとほぼオープンマップ

定理：が完全な擬似測距可能TVSであり、がハウスドルフTVSであり、が閉じていてほぼ開いた線型射影である場合、は開写像である。^[47]${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle T}$

定理： が局所凸空間から樽型空間への射影線型作用素である場合（例えば、すべての完全な擬似距離化可能な空間は樽型である）、 はほぼ開いている。^[47]${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$${\displaystyle T}$

定理：TVSからベール空間への射影線型作用素であれば、ほぼ開いている。^[47]${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$${\displaystyle T}$

定理:は完全な擬距離化可能なTVSからハウスドルフTVSへの連続線型作用素であるとする。の像がにおいて非-maagerであれば、は全射開写像であり、は完全な距離化可能な空間である。^[47]${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle T}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle Y}$

TVS のベクトル部分空間は、上の任意の連続線型関数が上の連続線型関数に拡張できるとき拡張特性を持つ。 ^[22]のすべてのベクトル部分空間が拡張特性を持つとき、 TVS はハーン-バナッハ拡張特性( HBEP )を持つと言う。^[22]${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

ハーン・バナッハの定理は、すべてのハウスドルフ局所凸空間が HBEP を持つことを保証します。完全距離化可能な TVS の場合、逆が成り立ちます。

ベクトル空間が無数次元を持ち、それに最微細ベクトル位相を与えると、これは局所凸でも距離化可能でもないHBEPを持つTVSとなる。^[22]${\displaystyle X}$

• 非対称規範 – 規範の概念の一般化
• 完全な計量空間 – 計量幾何学
• 完全な位相ベクトル空間 - 互いに徐々に近づく点が常に一点に収束するTVS
• 計量の同値性 – 数学では、同じ基底集合上の2つの計量は、結果として得られる計量空間が特定の特性を共有する場合、同値であると言われる。Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• F空間 – 完全な並進不変計量を持つ位相ベクトル空間
• フレシェ空間 – 局所凸位相ベクトル空間であり、完全な計量空間でもある
• 一般化された計量 – 計量幾何学
• K空間（機能解析）
• 局所凸位相ベクトル空間 – 凸開集合によって定義される位相を持つベクトル空間
• 距離空間 – 距離の概念を持つ数学的空間
• 擬似距離空間 – 数学における距離空間の一般化
• 規範と測定基準の関係 – 距離の概念を持つ数学的空間Pages displaying short descriptions of redirect targets
• セミノルム – 数学関数
• 部分線形関数 – 線形代数における関数の種類
• 均一空間 – 均一な性質の概念を持つ位相空間
• ウルシェスク定理 – 閉グラフ、開写像、一様有界性定理の一般化

証明

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