劣線形関数

線形代数において、ベクトル空間上の劣線形関数（関数解析でよく使われるように関数とも呼ばれる）は、準セミノルムとも呼ばれ、セミノルムの性質の一部を持つ実数値関数である。セミノルムとは異なり、劣線形関数は非負の数値である必要はなく、絶対的に同次である必要もない。セミノルム自体は、よりよく知られているノルムの概念の抽象化であり、セミノルムは、非ゼロベクトルを非ゼロ値に写像する必要がないことを除いて、ノルムのすべての定義特性を持つ。

関数解析では、バナッハ関数という名称が使われることがありますが、これはハーン・バナッハの定理の一般形を適用する際に最もよく使われることを反映しています。劣線形関数の概念は、シュテファン・バナッハがハーン・バナッハの定理を証明した際に導入されました。^{[ 1 ]}

コンピュータ科学には、後述するように「劣線形関数」と呼ばれる別の概念も存在します。

させて${\displaystyle X}$体上のベクトル空間である${\displaystyle \mathbb {K} ,}$どこ${\displaystyle \mathbb {K} }$実際の数値${\displaystyle \mathbb {R} }$または複素数${\displaystyle \mathbb {C} .}$ 関数${\displaystyle p\colon X\to \mathbb {R} }$ と呼ばれる次の2つの性質を持つ場合、劣線形である: ^{[ 1 ]}

1. 正の同次性、^{[ 2 ]}すなわち${\displaystyle p(rx)=rp(x)}$すべての${\displaystyle r\geq 0}$そして ${\displaystyle x\in X}$。
2. 劣加法性、^{[ 2 ]}すなわち${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y)}$のために${\displaystyle x,y\in X.}$

関数${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$と呼ばれるポジティブ^{[ 3 ]}または非負の場合${\displaystyle p(x)\geq 0}$すべての人々のために${\displaystyle x\in X,}$一部の著者^{[ 4 ]}は定義しているがポジティブとは、${\displaystyle p(x)\neq 0}$いつでも${\displaystyle x\neq 0;}$これらの定義は同等ではありません。対称関数${\displaystyle p(-x)=p(x)}$すべての人々のために${\displaystyle x\in X.}$ すべての劣加法対称関数は必然的に非負である。^{[証明 1 ]} 実ベクトル空間上の劣線形関数は、それが半ノルムである場合に限り対称である。実ベクトル空間または複素ベクトル空間上の劣線形関数は、それがバランス関数である場合、または同等に、以下の場合に限り半ノルムである。${\displaystyle p(ux)\leq p(x)}$単位長さのスカラーごとに${\displaystyle u}$そして${\displaystyle x\in X.}$

上のすべての劣線形関数の集合${\displaystyle X,}$で示される${\displaystyle X^{\#},}$宣言することで部分的に順序付けできます${\displaystyle p\leq q}$かつその場合に限り${\displaystyle p(x)\leq q(x)}$すべての人々のために${\displaystyle x\in X.}$ 劣線形関数は、それが最小要素である場合に最小であると呼ばれます。${\displaystyle X^{\#}}$この順序の下で。劣線形関数は、それが実線形汎関数である場合に限り最小である。^{[ 1 ]}

すべてのノルム、セミノルム、および実線形汎関数は劣線形関数です。${\displaystyle \mathbb {R} }$これは、正でも半ノルムでもない劣線形関数（実際には線形汎関数です）の例です。この写像の否定についても同様です。${\displaystyle x\mapsto -x.}$^{[ 5 ]} より一般的には、任意の実数に対して${\displaystyle a\leq b,}$地図

${\displaystyle S_{a,b}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\quad x\mapsto {\begin{cases}ax,&{\text{if }}x\leq 0,\\bx,&{\text{if }}x\geq 0\end{cases}}}$

は、上の劣線形関数である。${\displaystyle \mathbb {R} }$さらに、すべての劣線形関数${\displaystyle p\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$この形式である場合、具体的には、${\displaystyle a=-p(-1)}$そして${\displaystyle b=p(1)}$それから${\displaystyle a\leq b}$そして${\displaystyle p=S_{a,b}.}$

もし${\displaystyle p}$そして${\displaystyle q}$実ベクトル空間上の劣線形関数である${\displaystyle X}$地図も同様です${\displaystyle x\mapsto \max\{p(x),q(x)\}.}$より一般的に言えば、${\displaystyle {\mathcal {P}}}$は、実ベクトル空間上の空でない劣線形汎関数の集合である。${\displaystyle X}$そしてもし全ての人にとって${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle q(x)=\sup\{p(x)\,;\,p\in {\mathcal {P}}\},}$それから${\displaystyle q}$は、上の劣線形汎関数である。${\displaystyle X.}$^{[ 5 ]}

関数${\displaystyle p\colon X\to \mathbb {R} }$これは劣加法的で凸であり、${\displaystyle p(0)\leq 0}$また、正の均質性も有する（後者の条件）${\displaystyle p(0)\leq 0}$例として必要である${\displaystyle p(x)={\sqrt {x^{2}+1}}}$の上${\displaystyle X=\mathbb {R} }$（表示します）。${\displaystyle p}$が正に均質である場合、それが凸であるのはそれが劣加法である場合に限る。したがって、${\displaystyle p(0)\leq 0}$劣加法性、凸性、正の同次性のうち、任意の2つの性質が成り立つと、3つ目の性質も成り立つ。

すべての劣線形関数は凸関数である。${\displaystyle 0\leq t\leq 1,}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}p(tx+(1-t)y)&\leq p(tx)+p((1-t)y)&&\quad {\text{ subadditivity}}\\&=tp(x)+(1-t)p(y)&&\quad {\text{ nonnegative homogeneity}}\\\end{alignedat}}}$$

もし${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ベクトル空間上の劣線形関数${\displaystyle X}$次に^{[証明 2 ] [ 3 ]}$${\displaystyle p(0)~=~0~\leq ~p(x)+p(-x),}$$ すべての${\displaystyle x\in X,}$これは、少なくとも1つが${\displaystyle p(x)}$そして${\displaystyle p(-x)}$は非負でなければならない。つまり、すべての${\displaystyle x\in X,}$^{[ 3 ]}$${\displaystyle 0~\leq ~\max\{p(x),p(-x)\}.}$$ さらに、${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$が実ベクトル空間上の劣線形関数である場合、写像${\displaystyle q:X\to \mathbb {R} }$定義される${\displaystyle q(x)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\max\{p(x),p(-x)\}}$はセミノルムである。^{[ 3 ]}

劣加法性${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$すべてのベクトルに対して保証する${\displaystyle x,y\in X,}$^{[ 1 ] [証明3 ]}$${\displaystyle p(x)-p(y)~\leq ~p(x-y),}$$$${\displaystyle -p(x)~\leq ~p(-x),}$$ だからもし${\displaystyle p}$が対称である場合、逆三角不等式はすべてのベクトルに対して成り立つ。${\displaystyle x,y\in X,}$$${\displaystyle |p(x)-p(y)|~\leq ~p(x-y).}$$

定義する${\displaystyle \ker p~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~p^{-1}(0),}$すると劣加法性により、すべての${\displaystyle x\in X,}$価値${\displaystyle p}$撮影現場で${\displaystyle x+(\ker p\cap -\ker p)=\{x+k:p(k)=0=p(-k)\}}$は定数で、${\displaystyle p(x).}$^{[証明4 ]} 特に、${\displaystyle \ker p=p^{-1}(0)}$はベクトル部分空間である${\displaystyle X}$それから${\displaystyle -\ker p=\ker p}$そして課題${\displaystyle x+\ker p\mapsto p(x),}$これは、${\displaystyle {\hat {p}},}$は商空間上の明確に定義された実数値劣線形関数である。${\displaystyle X\,/\,\ker p}$満たす${\displaystyle {\hat {p}}^{-1}(0)=\ker p.}$もし${\displaystyle p}$それはセミノルムです${\displaystyle {\hat {p}}}$これは商空間における通常の標準ノルムです${\displaystyle X\,/\,\ker p.}$

追加${\displaystyle bc}$仮説の両側に対して${\textstyle p(x)+ac\,<\,\inf _{}p(x+aK)}$（どこ${\displaystyle p(x+aK)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{p(x+ak):k\in K\}}$）そしてそれを結論と組み合わせると $${\displaystyle p(x)+ac+bc~<~\inf _{}p(x+aK)+bc~\leq ~p(x+a\mathbf {z} )+bc~<~\inf _{}p(x+a\mathbf {z} +bK)}$$ これにより、例えば以下のような多くの不等式が得られます。 $${\displaystyle p(x)+ac+bc~<~p(x+a\mathbf {z} )+bc~<~p(x+a\mathbf {z} +b\mathbf {z} )}$$ 厳密な不等式の片側の式${\displaystyle \,<\,}$シンボルを置き換えることで、他のものから取得できます${\displaystyle c}$と${\displaystyle \mathbf {z} }$（またはその逆）閉じ括弧を隣接する項の右（または左）に移動します（他のすべての記号は固定され、変更されません）。

この概念は、同次かつ劣加法的な演算子にも拡張できる。ただし、条件を意味のあるものにするためには、終域が例えば順序付きベクトル空間である必要がある。

コンピュータサイエンスでは、関数${\displaystyle f:\mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {R} }$は劣線形と呼ばれる。${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{n}}=0,}$または${\displaystyle f(n)\in o(n)}$漸近表記では（小さな点に注意）${\displaystyle o}$正式には、${\displaystyle f(n)\in o(n)}$任意の与えられた${\displaystyle c>0,}$存在する${\displaystyle N}$そのため${\displaystyle f(n)<cn}$のために${\displaystyle n\geq N.}$^{[ 8 ]} つまり、${\displaystyle f}$線形関数よりも成長が遅い。この2つの意味を混同してはならない。バナッハ汎関数は凸関数であるが、劣線形成長関数についてはほぼ正反対である。すべての関数は${\displaystyle f(n)\in o(n)}$は、劣線形成長の凹関数によって上限が定められる。^{[ 9 ]}

• 非対称規範– 規範概念の一般化 
• 補助的な基準空間
• ハーン・バナッハの定理– 有界線形汎関数の拡張に関する定理リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• 線形関数– ベクトル空間からスカラー場への線形写像リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• ミンコフスキー関数– 集合から構成される関数 
• ノルム（数学）– ベクトル空間における長さ 
• セミノルム– 数学関数 
• 超加法性– 関数の性質 

証明

• クブルスリー、カルロス・S. (2011). 『作用素論の基礎』（第2 版）. ボストン：ビルクハウザー. ISBN 978-0-8176-4998-2. OCLC 710154895 . 
• ルディン、ウォルター（ 1991）。関数解析。国際純粋応用数学シリーズ。第 8巻（第2 版）。ニューヨーク州ニューヨーク：マグロウヒル科学・工学・数学。ISBN 978-0-07-054236-5OCLC 21163277。​ 
• ナリチ、ローレンス；ベッケンシュタイン、エドワード（2011）。位相ベクトル空間。純粋および応用数学（第2 版）。フロリダ州ボカラトン：CRC Press。ISBN 978-1584888666OCLC 144216834。​ 
• シェーファー、ヘルムート・H. ; ウォルフ、マンフレッド・P. (1999).位相ベクトル空間. GTM . 第 8巻（第2 版）. ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0OCLC 840278135​​ 
• シェクター、エリック（1996）。解析学とその基礎ハンドブック。サンディエゴ、カリフォルニア州：アカデミック・プレス。ISBN 978-0-12-622760-4OCLC 175294365​​ 
• トレヴ、フランソワ(2006) [1967]。トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1OCLC 853623322。​