ボルノロジー空間

数学、特に関数解析において、ボルノロジー空間は、ある意味で、集合や線型写像の有界性の問題を解決するのに必要な最小限の構造を備えた空間の一種であり、位相空間が連続性の問題を解決するのに必要な最小限の構造を備えているのと同様である。ボルノロジー空間は、ボルノロジー空間から任意の局所凸空間への線型写像が連続であるためには、それが有界線型作用素である必要があるという性質によって区別される。

ボルノロジー空間は、ジョージ・マッキーによって初めて研究されました。^{[引用が必要]}この名前は、フランス語で「境界のある」を意味するbornéにちなんで、ブルバキによって造られました。 ^{[引用が必要]}

集合上の集合論は、以下の条件をすべて満たす集合 のサブセットの集合です。${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$つまり、; をカバーします。${\displaystyle X;}$${\displaystyle X=\cup {\mathcal {B}}}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$は包含関係において安定である。つまり、かつであれば、${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle A\subseteq B,}$${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$
3. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$は有限和の下で安定である。つまり、 のとき、${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle B_{1}\cup \cdots \cup B_{n}\in {\mathcal {B}}}$

集合の要素は、が理解されていれば-有界集合または単に有界集合と呼ばれる。^[1] このペアは有界構造または境界集合と呼ばれる。^[1]${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$

ボルノロジーの基本または基本システムは、の各要素が の何らかの要素のサブセットであるようなのサブセットです。を含む最小のボルノロジーのサブセットのコレクションが与えられた場合、それは^[2]によって生成されるボルノロジーと呼ばれます。${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}.}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}.}$

と が有界集合である場合、それらの上の積有界集合は、 およびの形式の集合すべての集合を基底とする有界集合である。 ^[2] のサブセットが積有界集合で有界となるのは、とへの標準射影によるその像が両方とも有界となる場合である。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$${\displaystyle (Y,{\mathcal {C}})}$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle B\times C,}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}.}$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

と が集合論的集合である場合、関数 が の-有界部分集合を の -有界部分集合に写像する場合、その関数は局所有界写像または有界写像(これらの集合論に関して)であるという。つまり、 ^[2]の場合である。 さらに が全単射であり、も有界である場合、 は集合論的同型写像と呼ばれる。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$${\displaystyle (Y,{\mathcal {C}})}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle Y;}$${\displaystyle f({\mathcal {B}})\subseteq {\mathcal {C}}.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle f}$

が を持つ体上のベクトル空間であるとします。上の ボルノロジーは、ベクトルの加算、スカラー乗算、および平衡包の形成に対して安定である場合(つまり、2 つの有界集合の和が有界である場合など)、 上のベクトル ボルノロジーと呼ばれます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathbb {K} }.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

が位相ベクトル空間(TVS)であり、が上のボルノロジーである場合、以下は同値です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X,}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ベクトルボルノロジーです。
2. 有界集合の有限和と平衡包は有界である。^[2]${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
3. によって定義されるスカラー乗算写像とによって定義される加算写像は、それらの定義域が積分分布に従う場合（すなわち、有界部分集合を有界部分集合に写像する場合）には両方とも有界である。^[2]${\displaystyle \mathbb {K} \times X\to X}$${\displaystyle (s,x)\mapsto sx}$${\displaystyle X\times X\to X}$${\displaystyle (x,y)\mapsto x+y,}$

ベクトルの分布は、凸包の形成下で安定している場合（つまり、有界集合の凸包が有界である場合） 、凸ベクトル分布と呼ばれます 。また、ベクトル分布は、の唯一の有界ベクトル部分空間が0次元自明空間である場合、分離と呼ばれます。${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \{0\}.}$

通常、は実数または複素数のいずれかであり、が凸集合からなる基数を持つ場合、上のベクトル ボルノロジーは凸ベクトル ボルノロジーと呼ばれます。 ${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

のサブセットは、すべての境界付きセットを吸収する場合、bornivorousおよびbornivoreと呼ばれます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$

ベクトル生成論では、すべての境界付きバランス集合を吸収する場合に は生死を伴います。また、凸ベクトル生成論では、すべての境界付きディスクを吸収する場合に は生死を伴います。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

同じベクトル空間上の2つのTVS位相が同じ有界部分集合を持つのは、それらが同じ生まれつきの動物を持つ場合に限られます。^[3]

局所凸距離化可能な位相ベクトル空間のすべての貪食部分集合は原点の近傍である。^[4]

TVSにおける数列は、に発散する正の実数列が存在し、^[5]においてに収束する場合、にマッキー収束するという。${\displaystyle x_{\bullet }=(x_{i})_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle r_{\bullet }=(r_{i})_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle \infty}$${\displaystyle (r_{i}x_{i})_{i=1}^{\infty}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle X.}$

離散値体上の少なくともすべての位相ベクトル空間は、 有界（またはフォンノイマン有界）な部分集合を定義することによって、上のボルノロジーを与える。これは、零点を含むすべての開集合に対して、有界な が存在する場合に限る。が局所凸位相ベクトル空間である 場合、が有界であること、および、その場合に限る。上のすべての連続半ノルムが有界である。${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B\subseteq X}$${\displaystyle U\subseteq X}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle B\subseteq rU.}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B.}$

位相ベクトル空間のすべての有界部分集合の集合は、ボルノロジーまたはフォン・ノイマン・ボルノロジーと呼ばれる。${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

が局所凸位相ベクトル空間である場合、の吸収円板がbornivorous (resp. infrabornivorous) であるための必要十分条件は、そのミンコフスキー関数が局所的に有界 (resp. infrabounded) である。^[4]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$

がベクトル空間上の凸ベクトル位相であるとき、の凸均衡部分集合のうちで位相が均衡であるものすべての集合は、上の局所凸位相の原点における近傍基底を形成し、これを によって誘導される位相と呼ぶ。^[4]${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\mathcal {B}}(0)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

がTVSである場合、それに関連付けられた分布空間は、フォン・ノイマン分布によって誘導される局所凸位相を備えたベクトル空間である^[4]。${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,\tau ).}$

準ボルノロジー空間は1968年にS.イヤヘンによって導入されました。^[6]

連続双対を持つ位相ベクトル空間（TVS）は、以下の同値な条件のいずれかが成立する場合、 準ボルノロジー空間^[6]と呼ばれます。${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X^{\prime}}$

1. から別のTVSへのすべての有界線型演算子は連続である。^[6]${\displaystyle X}$
2. から完全な距離化可能なTVSへのすべての有界線型作用素は連続である。^{[6] [7]}${\displaystyle X}$
3. 食虫植物の紐の結び目はすべて起源の近傍である。^[6]

すべての擬似距離化可能な TVSは準ボルノロジーである。^[6]すべてのボルノロジー集合が原点の近傍である TVSは準ボルノロジー空間である。 ^[8]が準ボルノロジー TVS である 場合、その上の最も細かい局所凸位相はよりも粗く、局所凸ボルノロジー空間に なる。${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle X}$

関数解析において、局所凸位相ベクトル空間は、その位相がその分布から自然な方法で復元できる場合、分布空間です。

すべての局所凸準ボルノロジー空間はボルノロジーであるが、準ボルノロジーではないボルノロジー空間も存在する。 ^[6]

連続双対を持つ位相ベクトル空間(TVS)は、局所的に凸であり、次の同値な条件のいずれかが成り立つ場合、 ボルノロジー空間と呼ばれます。${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X^{\prime}}$

1. あらゆる凸状、バランスのとれた、そして貪食的な集合はゼロの近傍である。^[4]${\displaystyle X}$
2. から局所凸TVSへのすべての有界線型演算子は連続である。^[4]${\displaystyle X}$
   • 線型写像が有界であるのは、領域内で収束する任意の列を共域の有界な部分集合に写す場合のみであることを思い出してください。^[4]特に、原点で連続する任意の線型写像は有界です。${\displaystyle 0}$
3. 半ノルム空間へのすべての有界線型作用素は連続である。^[4]${\displaystyle X}$
4. からバナッハ空間へのすべての有界線型作用素は連続である。^[4]${\displaystyle X}$

がハウスドルフ局所凸空間である場合、このリストに以下を追加することができる: ^[7]${\displaystyle X}$

5. 上のフォン・ノイマン・ボルノロジーによって誘導される局所凸位相は、の与えられた位相と同じです。${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau ,}$ ${\displaystyle X}$
6. 上のすべての有界半ノルムは連続である。^[4]${\displaystyle X}$
7. 上の任意のハウスドルフ局所凸位相ベクトル空間位相で、同じ（フォン・ノイマン）ボルノロジーを持つものは、必然的に${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \tau .}$
8. ${\displaystyle X}$はノルム空間の帰納的極限である。^[4]
9. ${\displaystyle X}$はノルム空間の帰納的極限であり、 は閉有界円板上で変化する（または は有界円板上で変化する）。^[4]${\displaystyle X_{D}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$
10. ${\displaystyle X}$はMackey位相を持ち、上のすべての有界線形関数は連続である。^[4]${\displaystyle \tau (X,X^{\prime })}$${\displaystyle X}$
11. ${\displaystyle X}$次の両方の特性を持ちます。
    • ${\displaystyle X}$は凸順次またはC順次であり、これは のすべての凸順次開部分集合が開集合であることを意味する。${\displaystyle X}$
    • ${\displaystyle X}$は順次ボルノロジーまたはS-ボルノロジーであり、これは のすべての凸かつボルノイボラスな部分集合が順次開いていることを意味します。${\displaystyle X}$
    ここで、の 部分集合は、に収束するすべてのシーケンスが最終的に に属する場合、順次開いていると呼ばれます。${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle A.}$

局所凸ボルノロジー空間から局所凸 TVS へのすべての連続線型作用素は連続である。^[4]ここで、線型作用素が連続であるためには、原点で連続している必要があることを思い出す必要がある。したがって、ボルノロジー空間から局所凸空間への線型写像の場合、連続性は原点での連続性と同値である。より一般的には、次のことも成り立つ。

• 局所凸ボルノロジー空間から局所凸空間への線型写像で、 のヌル列を の有界部分集合に写像するものは、必ず連続する。${\displaystyle F:X\to Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

マッキー・ウラム定理の帰結として、「あらゆる実用的な目的において、ボルノロジー空間の積はボルノロジー的である。」^[9]

次の位相ベクトル空間はすべて分布的である:

• 任意の局所凸擬似距離化可能なTVSはボルノロジーである。^{[4] [10]}
  • したがって、すべてのノルム空間とフレシェ空間は生まれ論的です。
• ボルノロジー空間の任意の厳密な帰納的極限、特に任意の厳密なLF空間はボルノロジーである。
  • これは、距離化できない成因的空間が存在することを示しています。
• 局所凸ボルノロジー空間の可算積はボルノロジー的である。^{[11] [10]}
• ハウスドルフ局所凸ボルノロジー空間の商はボルノロジー的である。^[10]
• ハウスドルフ局所凸ボルンロジカル空間の直和と帰納的極限はボルンロジカルである。^[10]
• フレシェ・ モンテル空間には、成因論的な強い双対性がある。
• あらゆる反射的 フレシェ空間の強い双対は誕生論的である。^[12]
• 距離化可能な局所凸空間の強双対が可分であれば、それは分布論的である。^[12]
• ハウスドルフ局所凸ボルンロジカル空間のベクトル部分空間は有限余次元を持ち、ボルンロジカルである。^{[4] [10]}${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
• ベクトル空間上の最も微細な局所凸位相はボルノロジーである。[ 4 ^]

反例

強双対がボルノロジーではないボルノロジーLB空間が存在する。^[13]

局所凸ボルノロジー空間の閉じたベクトル部分空間は、必ずしもボルノロジー的ではない。 ^{[4] [14]} 局所凸ボルノロジー空間の、完備（したがって順次完備）だが、樽型でもボルノロジーでもない閉ベクトル部分空間が存在する。^[4]

ボルノロジー空間は樽型である必要はなく、樽型空間はボルノロジーである必要はない。^[4]すべての局所凸超ボルノロジー空間は樽型であるため、^[4]ボルノロジー空間は必ずしも超ボルノロジーではないということになる。

• 局所凸ボルノロジー空間の強双対空間は完全である。^[4]
• あらゆる局所凸ボルノロジー空間は、インフラバレル化されている。^[4]
• ハウスドルフ逐次完全なボルノロジーTVSはすべて超ボルノロジーである。^[4]
  • したがって、すべての完全なハウスドルフボルノロジー空間は超ボルノロジーである。
  • 特に、あらゆるフレシェ空間は超ボルノロジー的である。^[4]
• 局所凸超ボルノロジー空間の有限積は超ボルノロジーである。^[4]
• あらゆるハウスドルフ空間は準バレル型である。^[15]
• 連続双対を持つボルノロジー空間が与えられた場合、の位相はマッキー位相と一致する。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau (X,X^{\prime }).}$
  • 特に、ボルノロジー空間はマッキー空間です。
• すべての準完全な（つまり、すべての閉じた有界な部分集合が完全な）ボルノロジー空間は樽型である。しかし、樽型ではないボルノロジー空間も存在する。
• あらゆるボルノロジー空間はノルム空間（および空間が準完全でもある場合はバナッハ空間）の帰納的極限である。
• が連続双対を持つ距離化可能な局所凸空間であると します。このとき、以下は同値です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime }.}$
  1. ${\displaystyle \beta (X^{\prime },X)}$生まれつきのものです。
  2. ${\displaystyle \beta (X^{\prime },X)}$準バレル型です。
  3. ${\displaystyle \beta (X^{\prime },X)}$樽詰めされています。
  4. ${\displaystyle X}$格別な空間です。
• が局所凸空間間の線型写像であり、が分布論的である場合、以下は同値です。 ${\displaystyle L:X\to Y}$${\displaystyle X}$
  1. ${\displaystyle L:X\to Y}$連続的です。
  2. ${\displaystyle L:X\to Y}$連続的である。^[4]
  3. 境界が設定されているすべての集合は、境界が設定されます。${\displaystyle B\subseteq X}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle L(B)}$
  4. がヌルシーケンスである場合、はヌルシーケンスである。${\displaystyle x_{\bullet }=(x_{i})_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle L\circ x_{\bullet }=(L(x_{i}))_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle Y.}$
  5. がMackey収束零列である場合、はの有界部分集合である。${\displaystyle x_{\bullet }=(x_{i})_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle L\circ x_{\bullet }=(L(x_{i}))_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle Y.}$
• とが局所凸TVSであり、連続線型写像の空間がの有界部分集合上の一様収束の位相を備えていると仮定する。がボルノロジー空間であり、が完備であれば、は完備TVSである。^[4]${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$
  • 特に、局所凸ボルノロジー空間の強い双対は完全である。^[4]しかし、ボルノロジーである必要はない。

サブセット

• 局所凸ボルノロジー空間では、すべての凸ボルノロジー集合はの近傍である（は円板である必要はない）。 ^[4]${\displaystyle B}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle B}$
• 局所凸距離化可能な位相ベクトル空間のすべての貪食部分集合は原点の近傍である。^[4]
• ボルノロジー空間の閉じたベクトル部分空間はボルノロジーである必要はない。^[4]

位相ベクトル空間内のディスクがすべてのバナッハディスクを吸収する場合、そのディスクはインフラボーンイボラスと呼ばれます。 ${\displaystyle X}$

が局所的に凸でハウスドルフである場合、ディスクがすべてのコンパクト ディスクを吸収する場合に限り、ディスクはインフラボーン食性です。 ${\displaystyle X}$

局所凸空間は、次の同値な条件のいずれかが成り立つ場合、 超凸空間と呼ばれます。

1. すべての亜生食性ディスクは起源の近隣です。
2. ${\displaystyle X}$は、すべてのコンパクトディスクにわたって変化する空間の誘導限界である。${\displaystyle X_{D}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle X.}$
3. 各バナッハ円板上で有界となる 上の半ノルムは必然的に連続である。${\displaystyle X}$
4. あらゆる局所凸空間とあらゆる線型写像に対して、 が各バナッハ円板上で有界である場合、は連続です。${\displaystyle Y}$${\displaystyle u:X\to Y,}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u}$
5. あらゆるバナッハ空間とあらゆる線型写像に対して、 が各バナッハ円板上で有界である場合、は連続です。${\displaystyle Y}$${\displaystyle u:X\to Y,}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u}$

超ボルノロジー空間の有限積は超ボルノロジーである。超ボルノロジー空間の帰納的極限は超ボルノロジーである。

• ボルノロジー – 有界性の数学的一般化
• 貪食集合 – 任意の有界部分集合を吸収できる集合
• 有界集合（位相ベクトル空間）  – 有界性の一般化
• 局所凸位相ベクトル空間 – 凸開集合によって定義される位相を持つベクトル空間
• 線型写像の空間
• 位相ベクトル空間 – 近接性の概念を持つベクトル空間
• ベクター ボルノロジー

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