ミンコフスキー関数

数学、特に関数解析の分野では、ミンコフスキー関数（ヘルマン・ミンコフスキーにちなんで）またはゲージ関数とは、線形空間上の距離の概念を再現する関数である。

もし ${\textstyle K}$ 実ベクトル空間または複素ベクトル空間の部分集合である。 ${\textstyle X,}$ するとミンコフスキー関数またはゲージ ${\textstyle K}$ 関数として定義される ${\textstyle p_{K}:X\to [0,\infty ],}$ 拡張実数で定義される値 $p_{K}(x)=\inf\{r\in \mathbb {R} :r>0{\text{ かつ }}x\in rK\},\quad x\in X,$ ここで、空集合の下限は正の無限大として定義される。

セット ${\textstyle K}$ 吸収ディスクであるなどの特性を持つと想定されることが多い。 ${\textstyle X}$ 保証する ${\textstyle p_{K}}$ セミノーマルになる ${\textstyle X.}$ 実際、すべてのセミノルム ${\textstyle p}$ の上 ${\textstyle X}$ はミンコフスキー汎関数に等しい（つまり、 ${\textstyle p=p_{K}}$ ）任意のサブセット ${\textstyle K}$ の ${\textstyle X}$ 満足

$\{x\in X:p(x)<1\}\subseteq K\subseteq \{x\in X:p(x)\leq 1\}$

（これら３つの集合はすべて必然的に吸収される） ${\textstyle X}$ そして最初と最後もディスクである）。

したがって、すべてのセミノルム（純粋に代数的性質によって定義される関数）は、吸収ディスク（特定の幾何学的性質を持つ集合）と（一意ではないが）関連付けることができ、逆に、すべての吸収ディスクは、そのミンコフスキー汎関数（必然的にセミノルムとなる）と関連付けることができます。セミノルム、ミンコフスキー汎関数、および吸収ディスク間のこれらの関係は、ミンコフスキー汎関数が関数解析で研究され、使用される主な理由です。特に、これらの関係を通じて、ミンコフスキー汎関数は、サブセットの特定の幾何学的性質を「翻訳」することを可能にします。 ${\textstyle X}$ 関数の特定の代数的性質に ${\textstyle X.}$

ミンコフスキー関数は常に非負です（つまり、 ${\textstyle p_{K}\geq 0}$ ) この非負性の性質は、負の値を許容する劣線形関数や実線形汎関数などの他のクラスの関数とは対照的です。しかし、 ${\textstyle p_{K}}$ 任意の値に対して実数値ではない可能性がある ${\textstyle x\in X,}$ 価値 ${\textstyle p_{K}(x)}$ 実数であるのは、 ${\textstyle \{r>0:x\in rK\}}$ 空ではありません。したがって、 ${\textstyle K}$ 通常は、 ${\textstyle X,}$ 例えば） ${\textstyle p_{K}}$ 実数値です。

意味

させて ${\textstyle K}$ 実ベクトル空間または複素ベクトル空間の部分集合である。 ${\textstyle X.}$ ゲージを定義する ${\textstyle K}$ または、ミンコフスキー関数が関連付けられ、または誘導される ${\textstyle K}$ 機能として ${\textstyle p_{K}:X\to [0,\infty ],}$ 拡張実数で定義される値

$p_{K}(x):=\inf\{r>0:x\in rK\},$

（空集合の下限は ${\textstyle \,\infty }$ つまり、 ${\textstyle \inf \varnothing =\infty }$ ）。ここ、 ${\textstyle \{r>0:x\in rK\}}$ は略語です ${\textstyle \{r\in \mathbb {R} :r>0{\text{ かつ }}x\in rK\}.}$

いかなる場合でも ${\textstyle x\in X,}$ ${\textstyle p_{K}(x)\neq \infty }$ かつその場合に限り ${\textstyle \{r>0:x\in rK\}}$ 空ではありません。 ${\textstyle \mathbb {R} }$ 拡張して動作させることができます ${\textstyle \pm \infty ,}$ どこ ${\textstyle {\frac {r}{\pm \infty }}:=0}$ すべての非ゼロ実数に対して ${\textstyle -\infty <r<\infty .}$ 製品 ${\textstyle 0\cdot \infty }$ そして ${\textstyle 0\cdot -\infty }$ 定義されていないままです。

ゲージを実数値にするいくつかの条件

凸解析の分野では、写像 ${\textstyle p_{K}}$ 価値を引き受けて ${\textstyle \,\infty \,}$ 必ずしも問題ではない。しかし、関数解析では ${\textstyle p_{K}}$ はほぼ常に実数値である（つまり、決しての値を取ることはない） ${\textstyle \,\infty \,}$ これは、セットが ${\textstyle \{r>0:x\in rK\}}$ すべての ${\textstyle x\in X.}$

そのために ${\textstyle p_{K}}$ 実数値であるためには、 ${\textstyle X}$ 代数的内部またはコアに属する ${\textstyle K}$ で ${\textstyle X.}$ ^{[ 1 ]} もし ${\textstyle K}$ 夢中になっている ${\textstyle X,}$ ここで、これは次のことを意味することを思い出してください。 ${\textstyle 0\in K,}$ すると、原点は代数的内部に属する ${\textstyle K}$ で ${\textstyle X}$ そしてこうして ${\textstyle p_{K}}$ は実数値です。 ${\textstyle p_{K}}$ 実数値は以下に示すとおりです。

刺激的な事例

例１

ノルムベクトル空間を考える ${\textstyle (X,\|\,\cdot \,\|),}$ 標準と共に ${\textstyle \|\,\cdot \,\|}$ そして ${\textstyle U:=\{x\in X:\|x\|\leq 1\}}$ 単位球となる ${\textstyle X.}$ そして、すべての ${\textstyle x\in X,}$ ${\textstyle \|x\|=p_{U}(x).}$ したがってミンコフスキー関数 ${\textstyle p_{U}}$ それはただの普通です ${\textstyle X.}$

例２

させて ${\textstyle X}$ 位相を持たないベクトル空間で、基礎となるスカラー場を持つ。 ${\textstyle \mathbb {K} .}$ させて ${\textstyle f:X\to \mathbb {K} }$ 上の任意の線形関数とする ${\textstyle X}$ （必ずしも連続的ではない）。固定 ${\textstyle a>0.}$ させて ${\textstyle K}$ セットである $K:=\{x\in X:|f(x)|\leq a\}$ そして ${\textstyle p_{K}}$ ミンコフスキー関数は ${\textstyle K.}$ それから $p_{K}(x)={\frac {1}{a}}|f(x)|\quad {\text{すべての}}x\in Xについて$ 機能 ${\textstyle p_{K}}$ 以下の特性を持つ。

これは劣加法性です。 ${\textstyle p_{K}(x+y)\leq p_{K}(x)+p_{K}(y).}$
それは完全に均質です。 ${\textstyle p_{K}(sx)=|s|p_{K}(x)}$ すべてのスカラーに対して $s.$
これは非負です。 ${\textstyle p_{K}\geq 0.}$

したがって、 ${\textstyle p_{K}}$ はセミノルムです ${\textstyle X,}$ 誘導位相を持つ。これは、「nice」集合によって定義されるミンコフスキー汎関数の特徴である。半ノルムと、そのような集合によって与えられるミンコフスキー汎関数との間には、1対1の対応関係が存在する。「nice」が具体的に何を意味するのかについては、以下の節で説明する。

規範に対するより強い要求とは対照的に、 ${\textstyle p_{K}(x)=0}$ 意味する必要はない ${\textstyle x=0.}$ 上記の例では、ゼロ以外の値を取ることができます。 ${\textstyle x}$ 核から ${\textstyle f.}$ したがって、結果として得られるトポロジーはハウスドルフである必要はない。

ゲージを保証する一般的な条件はセミノルムである

保証するために ${\textstyle p_{K}(0)=0,}$ 今後は、 ${\textstyle 0\in K.}$

そのために ${\textstyle p_{K}}$ セミノルムであるためには、 ${\textstyle K}$ 円盤状（つまり凸型でバランスが取れている）で、 ${\textstyle X,}$ これは、 ${\textstyle K.}$

定理^{[ 2 ]} —もし ${\textstyle K}$ ベクトル空間における吸収円盤である ${\textstyle X}$ するとミンコフスキー関数は ${\textstyle K,}$ これは地図です ${\textstyle p_{K}:X\to [0,\infty )}$ 定義される $p_{K}(x):=\inf\{r>0:x\in rK\},$ はセミノルムです ${\textstyle X.}$ さらに、 $p_{K}(x)={\frac {1}{\sup\{r>0:rx\in K\}}}.$

より一般的に言えば、 ${\textstyle K}$ は凸であり、原点は代数的内部に属する。 ${\textstyle K,}$ それから ${\textstyle p_{K}}$ は、上の非負劣線形汎関数である。 ${\textstyle X,}$ これは特に、それが劣加法的かつ正の同次性を持つことを意味する。 ${\textstyle K}$ 夢中になっている ${\textstyle X}$ それから ${\textstyle p_{[0,1]K}}$ 正の同次性を持つ、つまり ${\textstyle p_{[0,1]K}(sx)=sp_{[0,1]K}(x)}$ すべての現実のために ${\textstyle s\geq 0,}$ どこ ${\textstyle [0,1]K=\{tk:t\in [0,1],k\in K\}.}$ ^{[ 3 ]} もし ${\textstyle q}$ は、上の非負の実数値関数である。 ${\textstyle X}$ それは正の同次であり、その集合は ${\textstyle U:=\{x\in X:q(x)<1\}}$ そして ${\textstyle D:=\{x\in X:q(x)\leq 1\}}$ 満足する ${\textstyle [0,1]U=U}$ そして ${\textstyle [0,1]D=D;}$ さらに ${\textstyle q}$ 完全に均質であれば両方とも ${\textstyle U}$ そして ${\textstyle D}$ バランスが取れている。^{[ 3 ]}

吸収ディスクのゲージ

おそらくセットに課せられる最も一般的な要件 ${\textstyle K}$ 保証するために ${\textstyle p_{K}}$ セミノルムとは ${\textstyle K}$ 吸収ディスクとなる ${\textstyle X.}$ これらの仮定が一般的であることから、ミンコフスキー汎関数の特性は ${\textstyle p_{K}}$ いつ ${\textstyle K}$ 吸収ディスクについては、これから調査します。上記の結果はすべて、 ${\textstyle K,}$ これらは、この特殊なケースに適用できる。

定理—と仮定する ${\textstyle K}$ は吸収部分集合である ${\textstyle X.}$ 以下のことが示されています。

もし ${\textstyle K}$ 凸である場合 ${\textstyle p_{K}}$ 劣加法性を持つ。
もし ${\textstyle K}$ バランスが取れている ${\textstyle p_{K}}$ は完全に均質である。つまり、 ${\textstyle p_{K}(sx)=|s|p_{K}(x)}$ すべてのスカラーに対して ${\textstyle s.}$

代数的性質

させて ${\textstyle X}$ を実数または複素ベクトル空間とし、 ${\textstyle K}$ 吸収ディスクとなる ${\textstyle X.}$

${\textstyle p_{K}}$ はセミノルムです ${\textstyle X.}$
${\textstyle p_{K}}$ は規範である ${\textstyle X}$ かつその場合に限り ${\textstyle K}$ 非自明なベクトル部分空間を含まない。^{[ 4 ]}
${\textstyle p_{sK}={\frac {1}{|s|}}p_{K}}$ 任意のスカラーに対して ${\textstyle s\neq 0.}$ ^{[ 4 ]}
もし ${\textstyle J}$ 吸収ディスクは ${\textstyle X}$ そして ${\textstyle J\subseteq K}$ それから ${\textstyle p_{K}\leq p_{J}.}$
もし ${\textstyle K}$ を満たす集合である ${\textstyle \{x\in X:p(x)<1\}\;\subseteq \;K\;\subseteq \;\{x\in X:p(x)\leq 1\}}$ それから ${\textstyle K}$ 夢中になっている ${\textstyle X}$ そして ${\textstyle p=p_{K},}$ どこ ${\textstyle p_{K}}$ ミンコフスキー関数は ${\textstyle K;}$ つまり、それは ${\textstyle K.}$ ^{[ 5 ]}
特に、 ${\textstyle K}$ 上記のとおりで、 ${\textstyle q}$ セミノルムは ${\textstyle X,}$ それから ${\textstyle q=p}$ かつその場合に限り ${\textstyle \{x\in X:q(x)<1\}\;\subseteq \;K\;\subseteq \;\{x\in X:q(x)\leq 1\}.}$ ^{[ 5 ]}
もし ${\textstyle x\in X}$ 満たす ${\textstyle p_{K}(x)<1}$ それから ${\textstyle x\in K.}$

位相的性質

と仮定する ${\textstyle X}$ は（実数または複素数の）位相ベクトル空間（必ずしもハウスドルフ空間または局所凸空間である必要はない）であり、 ${\textstyle K}$ 吸収ディスクとなる ${\textstyle X.}$ それから

$\operatorname {Int} _{X}K\;\subseteq \;\{x\in X:p_{K}(x)<1\}\;\subseteq \;K\;\subseteq \;\{x\in X:p_{K}(x)\leq 1\}\;\subseteq \;\operatorname {Cl} _{X}K,$

どこ ${\textstyle \operatorname {Int} _{X}K}$ 位相的内部であり、 ${\textstyle \operatorname {Cl} _{X}K}$ は位相閉包である ${\textstyle K}$ で ${\textstyle X.}$ ^{[ 6 ]} 重要なことに、 ${\textstyle p_{K}}$ 連続的であったことも、 ${\textstyle K}$ 位相幾何学的な性質は何も持っていなかった。

さらに、ミンコフスキー関数 ${\textstyle p_{K}}$ 連続であるのは、 ${\textstyle K}$ は、 ${\textstyle X.}$ ^{[ 6 ]} もし ${\textstyle p_{K}}$ 連続である場合^{[ 6 ]} $\operatorname {Int} _{X}K=\{x\in X:p_{K}(x)<1\}\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {Cl} _{X}K=\{x\in X:p_{K}(x)\leq 1\}.$

セットに関する最低限の要件

このセクションでは、任意の部分集合のゲージの最も一般的なケースについて調査します。 ${\textstyle K}$ の ${\textstyle X.}$ より一般的な特殊なケースでは ${\textstyle K}$ 吸収ディスクであると仮定される ${\textstyle X}$ 上記で説明したとおりです。

不動産

このセクションのすべての結果は、次の場合に適用できます。 ${\textstyle K}$ 吸収ディスクです。

全体を通して、 ${\textstyle K}$ は、 ${\textstyle X.}$

要約—仮に ${\textstyle K}$ 実ベクトル空間または複素ベクトル空間の部分集合である。 ${\textstyle X.}$

厳密な正の同次性： ${\textstyle p_{K}(rx)=rp_{K}(x)}$ ${\textstyle p_{K}(rx)=rp_{K}(x)}$ すべての人々のために ${\textstyle x\in X}$ ${\textstyle x\in X}$ そしてすべてのポジティブな現実 ${\textstyle r>0.}$ ${\textstyle r>0.}$
- 正/非負の同質性： ${\textstyle p_{K}}$ ${\textstyle p_{K}}$ 非負同次であるのは、 ${\textstyle p_{K}}$ ${\textstyle p_{K}}$ 実数値です。
  - 地図 ${\textstyle p}$ 非負同次である^{[ 7 ]} ${\textstyle p(rx)=rp(x)}$ すべての人々のために ${\textstyle x\in X}$ およびすべての非負の実数 ${\textstyle r\geq 0.}$ 以来 ${\textstyle 0\cdot \infty }$ 定義されていないため、無限大を値として取るマップは非負同次ではありません。
実数値： ${\textstyle (0,\infty )K}$ ${\textstyle (0,\infty )K}$ は、 ${\textstyle p_{K}}$ ${\textstyle p_{K}}$ 実数です。 ${\textstyle p_{K}}$ ${\textstyle p_{K}}$ が実数値であるのは、 ${\textstyle (0,\infty )K=X,}$ ${\textstyle (0,\infty )K=X,}$ その場合 ${\textstyle 0\in K.}$ ${\textstyle 0\in K.}$
- 価値 ${\textstyle 0}$ : ${\textstyle p_{K}(0)\neq \infty }$ かつその場合に限り ${\textstyle 0\in K}$ かつその場合に限り ${\textstyle p_{K}(0)=0.}$
- ヌルスペース: もし ${\textstyle x\in X}$ それから ${\textstyle p_{K}(x)=0}$ かつその場合に限り ${\textstyle (0,\infty )x\subseteq (0,1)K}$ 正の実数の発散列が存在する場合に限る ${\textstyle t_{1},t_{2},t_{3},\cdots \to \infty }$ そのため ${\textstyle t_{n}x\in K}$ すべての人々のために ${\textstyle n.}$ さらに、ゼロ集合は ${\textstyle p_{K}}$ は ${\textstyle \ker p_{K}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{y\in X:p_{K}(y)=0\right\}={\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}(0,e)K.}$
定数との比較: もし ${\textstyle 0\leq r\leq \infty }$ ${\textstyle 0\leq r\leq \infty }$ すると、どんな ${\textstyle x\in X,}$ ${\textstyle x\in X,}$ ${\textstyle p_{K}(x)<r}$ ${\textstyle p_{K}(x)<r}$ かつその場合に限り ${\textstyle x\in (0,r)K;}$ ${\textstyle x\in (0,r)K;}$ これは次のように言い換えることができます。 ${\textstyle 0\leq r\leq \infty }$ ${\textstyle 0\leq r\leq \infty }$ それから ${\textstyle p_{K}^{-1}([0,r))=(0,r)K.}$ ${\textstyle p_{K}^{-1}([0,r))=(0,r)K.}$
- したがって、 ${\textstyle 0\leq R<\infty }$ 本当なら ${\textstyle p_{K}^{-1}([0,R])={\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}(0,R+e)K,}$ ここで右辺の集合は ${\textstyle {\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}[(0,R+e)K]}$ そしてその部分集合ではない ${\textstyle \left[{\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}(0,R+e)\right]K=(0,R]K.}$ もし ${\textstyle R>0}$ これらの集合が等しいのは、 ${\textstyle K}$ 含む ${\textstyle \left\{y\in X:p_{K}(y)=1\right\}.}$
- 特に、 ${\textstyle x\in RK}$ または ${\textstyle x\in (0,R]K}$ それから ${\textstyle p_{K}(x)\leq R,}$ しかし重要なのは、その逆は必ずしも真ではないということだ。
ゲージ比較：任意のサブセットについて ${\textstyle L\subseteq X,}$ ${\textstyle L\subseteq X,}$ ${\textstyle p_{K}\leq p_{L}}$ ${\textstyle p_{K}\leq p_{L}}$ かつその場合に限り ${\textstyle (0,1)L\subseteq (0,1)K;}$ ${\textstyle (0,1)L\subseteq (0,1)K;}$ したがって ${\textstyle p_{L}=p_{K}}$ ${\textstyle p_{L}=p_{K}}$ かつその場合に限り ${\textstyle (0,1)L=(0,1)K.}$ ${\textstyle (0,1)L=(0,1)K.}$
- 課題 ${\textstyle L\mapsto p_{L}}$ 順序が逆転しているという意味で、 ${\textstyle K\subseteq L}$ それから ${\textstyle p_{L}\leq p_{K}.}$ ^{[ 8 ]}
- セットのため ${\textstyle L:=(0,1)K}$ 満たす ${\textstyle (0,1)L=(0,1)K,}$ 置換すると ${\textstyle K}$ と ${\textstyle p_{K}^{-1}([0,1))=(0,1)K}$ 結果として得られるミンコフスキー汎関数は変化しません。 ${\textstyle L:=(0,1]K}$ そして ${\textstyle L:=p_{K}^{-1}([0,1]).}$
- もし ${\textstyle D~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{y\in X:p_{K}(y)=1{\text{ or }}p_{K}(y)=0\right\}}$ それから ${\textstyle p_{D}=p_{K}}$ そして ${\textstyle D}$ 特に素晴らしい特性として、 ${\textstyle r>0}$ 本当なら ${\textstyle x\in rD}$ かつその場合に限り ${\textstyle p_{D}(x)=r}$ または ${\textstyle p_{D}(x)=0.}$ ^{[注1 ]}さらに、 ${\textstyle r>0}$ 本当なら ${\textstyle p_{D}(x)\leq r}$ かつその場合に限り ${\textstyle x\in (0,r]D.}$
劣加法性／三角不等式： ${\textstyle p_{K}}$ 劣加法であるのは、 ${\textstyle (0,1)K}$ 凸である。 ${\textstyle K}$ が凸であれば、両方とも凸である。 ${\textstyle (0,1)K}$ そして ${\textstyle (0,1]K}$ さらに、 ${\textstyle p_{K}}$ 劣加法性を持つ。
セットのスケーリング: もし ${\textstyle s\neq 0}$ スカラーの場合 ${\textstyle p_{sK}(y)=p_{K}\left({\tfrac {1}{s}}y\right)}$ すべての人々のために ${\textstyle y\in X.}$ したがって、 ${\textstyle 0<r<\infty }$ 本当なら ${\textstyle p_{rK}(y)=p_{K}\left({\tfrac {1}{r}}y\right)={\tfrac {1}{r}}p_{K}(y).}$
対称: ${\textstyle p_{K}}$ 対称である（つまり、 ${\textstyle p_{K}(-y)=p_{K}(y)}$ すべての人々のために ${\textstyle y\in X}$ ) の場合に限り ${\textstyle (0,1)K}$ は対称集合です（つまり、 ${\textstyle (0,1)K=-(0,1)K}$ これは、 ${\textstyle p_{K}=p_{-K}.}$
絶対的な均質性： ${\textstyle p_{K}(ux)=p_{K}(x)}$ ${\textstyle p_{K}(ux)=p_{K}(x)}$ すべての人々のために ${\textstyle x\in X}$ ${\textstyle x\in X}$ およびすべての単位長さスカラー ${\textstyle u}$ ${\textstyle u}$ ^{[注2 ]}の場合に限り ${\textstyle (0,1)uK\subseteq (0,1)K}$ ${\textstyle (0,1)uK\subseteq (0,1)K}$ すべての単位長さスカラーに対して ${\textstyle u,}$ ${\textstyle u,}$ その場合 ${\textstyle p_{K}(sx)=|s|p_{K}(x)}$ ${\textstyle p_{K}(sx)=|s|p_{K}(x)}$ すべての人々のために ${\textstyle x\in X}$ ${\textstyle x\in X}$ およびすべての非ゼロスカラー ${\textstyle s\neq 0.}$ ${\textstyle s\neq 0.}$ さらに ${\textstyle p_{K}}$ ${\textstyle p_{K}}$ も実数値である場合、これはすべてのスカラーに対して成り立つ。 ${\textstyle s}$ ${\textstyle s}$ （つまり、 ${\textstyle p_{K}}$ ${\textstyle p_{K}}$ 完全に均質である^{[注3 ]}）。
- ${\textstyle (0,1)uK\subseteq (0,1)K}$ すべての単位長さに対して ${\textstyle u}$ かつその場合に限り ${\textstyle (0,1)uK=(0,1)K}$ すべての単位長さに対して ${\textstyle u.}$
- ${\textstyle sK\subseteq K}$ すべての単位スカラーに対して ${\textstyle s}$ かつその場合に限り ${\textstyle sK=K}$ すべての単位スカラーに対して ${\textstyle s;}$ もしそうなら ${\textstyle (0,1)K=(0,1)sK}$ すべての単位スカラーに対して ${\textstyle s.}$
- 任意のバランスのとれた集合のミンコフスキー関数はバランスのとれた関数である。^{[ 8 ]}
吸収性：もし ${\textstyle K}$ ${\textstyle K}$ 凸型またはバランス型で、 ${\textstyle (0,\infty )K=X}$ ${\textstyle (0,\infty )K=X}$ それから ${\textstyle K}$ ${\textstyle K}$ 夢中になっている ${\textstyle X.}$ ${\textstyle X.}$
- セットの場合 ${\textstyle A}$ 夢中になっている ${\textstyle X}$ そして ${\textstyle A\subseteq K}$ それから ${\textstyle K}$ 夢中になっている ${\textstyle X.}$
- もし ${\textstyle K}$ 凸であり、 ${\textstyle 0\in K}$ それから ${\textstyle [0,1]K=K,}$ その場合 ${\textstyle (0,1)K\subseteq K.}$
ベクトル部分空間への制限：もし ${\textstyle S}$ はベクトル部分空間である ${\textstyle X}$ そしてもし ${\textstyle p_{K\cap S}:S\to [0,\infty ]}$ はミンコフスキー汎関数を表す。 ${\textstyle K\cap S}$ の上 ${\textstyle S,}$ それから ${\textstyle p_{K}{\big \vert }_{S}=p_{K\cap S},}$ どこ ${\textstyle p_{K}{\big \vert }_{S}}$ 制限を示す ${\textstyle p_{K}}$ に ${\textstyle S.}$

例

もし ${\textstyle {\mathcal {L}}}$ $\textstyle {\mathcal {L}}}$ は、空でない部分集合の集合である。 ${\textstyle X}$ ${\textstyle X}$ それから ${\textstyle p_{\cup {\mathcal {L}}}(x)=\inf \left\{p_{L}(x):L\in {\mathcal {L}}\right\}}$ ${\textstyle p_{\cup {\mathcal {L}}}(x)=\inf \left\{p_{L}(x):L\in {\mathcal {L}}\right\}}$ すべての人々のために ${\textstyle x\in X,}$ ${\textstyle x\in X,}$ どこ ${\textstyle \cup {\mathcal {L}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\textstyle \bigcup \limits _{L\in {\mathcal {L}}}}L.}$ ${\textstyle \cup {\mathcal {L}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\textstyle \bigcup \limits _{L\in {\mathcal {L}}}L.}$
- したがって ${\textstyle p_{K\cup L}(x)=\min \left\{p_{K}(x),p_{L}(x)\right\}}$ すべての人々のために ${\textstyle x\in X.}$
もし ${\textstyle {\mathcal {L}}}$ は、空でない部分集合の集合である。 ${\textstyle X}$ そして ${\textstyle I\subseteq X}$ 満たす

$\left\{x\in X:p_{L}(x)<1{\text{ for all }}L\in {\mathcal {L}}\right\}\quad \subseteq \quad I\quad \subseteq \quad \left\{x\in X:p_{L}(x)\leq 1{\text{ for all }}L\in {\mathcal {L}}\right\}$ それから ${\textstyle p_{I}(x)=\sup \left\{p_{L}(x):L\in {\mathcal {L}}\right\}}$ すべての人々のために ${\textstyle x\in X.}$

以下の例は、 ${\textstyle (0,R]K\;\subseteq \;{\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}(0,R+e)K}$ 適切かもしれない。

例：もし ${\textstyle R=0}$ そして ${\textstyle K=X}$ それから ${\textstyle (0,R]K=(0,0]X=\varnothing X=\varnothing }$ しかし ${\textstyle {\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}(0,e)K={\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}X=X,}$ これは、 ${\textstyle (0,R]K}$ 真部分集合である ${\textstyle {\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}(0,R+e)K}$ いつ ${\textstyle R=0.}$ ${\textstyle \blacksquare }$

次の例は、次のような場合に包含が適切であることを示しています。 ${\textstyle R=1;}$ この例は、あらゆる現実に一般化できる。 ${\textstyle R>0.}$ と仮定すると ${\textstyle [0,1]K\subseteq K,}$ 次の例は、どのように起こるかを示しています。 ${\textstyle x\in X}$ 満たす ${\textstyle p_{K}(x)=1}$ しかし ${\textstyle x\not \in (0,1]K.}$

例： ${\textstyle x\in X}$ ゼロ以外とし、 ${\textstyle K=[0,1)x}$ となることによって ${\textstyle [0,1]K=K}$ そして ${\textstyle x\not \in K.}$ から ${\textstyle x\not \in (0,1)K=K}$ したがって、 ${\textstyle p_{K}(x)\geq 1.}$ それ ${\textstyle p_{K}(x)\leq 1}$ すべての ${\textstyle e>0,}$ ${\textstyle (0,1+e)K=[0,1+e)([0,1)x)=[0,1+e)x,}$ 含まれる ${\textstyle x.}$ したがって ${\textstyle p_{K}(x)=1}$ そして ${\textstyle x\in {\textstyle \bigcap \limits _{e>0}}(0,1+e)K.}$ しかし、 ${\textstyle (0,1]K=(0,1]([0,1)x)=[0,1)x=K}$ となることによって ${\textstyle x\not \in (0,1]K,}$ ご希望に応じて。 ${\textstyle \blacksquare }$

ミンコフスキー汎関数は正の同次性によって特徴づけられる。

次の定理は、ミンコフスキー汎関数がまさにこれらの関数であることを示しています。 ${\textstyle f:X\to [0,\infty ]}$ それらは、一般的に見られるある種の純粋に代数的な性質を持っている。

定理—と ${\textstyle f:X\to [0,\infty ]}$ は任意の関数とする。以下の記述は同等である。

厳密な正の同次性： ${\textstyle \;f(tx)=tf(x)}$ ${\textstyle \;f(tx)=tf(x)}$ すべての人々のために ${\textstyle x\in X}$ ${\textstyle x\in X}$ そしてすべてのポジティブな現実 ${\textstyle t>0.}$ $t>0。$
- この記述は以下と同等です。 ${\textstyle f(tx)\leq tf(x)}$ すべての人々のために ${\textstyle x\in X}$ そしてすべてのポジティブな現実 ${\textstyle t>0.}$
${\textstyle f}$ ミンコフスキー関数である。つまり、部分集合が存在する。 ${\textstyle S\subseteq X}$ そのため ${\textstyle f=p_{S}.}$
${\textstyle f=p_{K}}$ どこ ${\textstyle K:=\{x\in X:f(x)\leq 1\}.}$
${\textstyle f=p_{V}\,}$ どこ ${\textstyle V\,:=\{x\in X:f(x)<1\}.}$

さらに、もし ${\textstyle f}$ 価値を決して獲得しない ${\textstyle \,\infty \,}$ （製品が ${\textstyle 0\cdot f(x)}$ （常に明確に定義されている）場合、このリストは以下を含むように拡張できます。

正／非負の同質性： ${\textstyle f(tx)=tf(x)}$ すべての人々のために ${\textstyle x\in X}$ およびすべての非負の実数 ${\textstyle t\geq 0}$ 。

この定理は、特定のクラスの特性を特徴付けるために拡張できます。 ${\textstyle [-\infty ,\infty ]}$ ミンコフスキー汎関数を用いて、 -値写像（例えば、実数値劣線形関数）を記述します。例えば、すべての実同次関数がどのように記述されるかを記述するために使用できます。 ${\textstyle f:X\to \mathbb {R} }$ （線形汎関数など）は、特定の性質を持つ一意のミンコフスキー汎関数を用いて記述することができる。

星集合上のミンコフスキー汎関数の特性評価

命題^{[ 9 ]} —とする ${\textstyle f:X\to [0,\infty ]}$ 任意の関数であり、 ${\textstyle K\subseteq X}$ は任意の部分集合とする。以下の記述は同値である。

${\textstyle f}$ （厳密に）正の同次性を持つ、 ${\textstyle f(0)=0,}$ そして
$\{x\in X:f(x)<1\}\;\subseteq \;K\;\subseteq \;\{x\in X:f(x)\leq 1\}.$
${\textstyle f}$ ${\textstyle f}$ ミンコフスキー関数は ${\textstyle K}$ ${\textstyle K}$ （つまり、 ${\textstyle f=p_{K}}$ ${\textstyle f=p_{K}}$ ) ${\textstyle K}$ ${\textstyle K}$ 起源を含み、 ${\textstyle K}$ ${\textstyle K}$ 原点は星形をしている。
- セット ${\textstyle K}$ 原点で星形になるのは、 ${\textstyle tk\in K}$ いつでも ${\textstyle k\in K}$ そして ${\textstyle 0\leq t\leq 1.}$ 原点で星形をしている集合は、星型集合と呼ばれることがある。^{[ 10 ]}

半ノルムであるミンコフスキー汎関数の特徴付け

上記の記述から直ちに導かれる次の定理では、 ${\textstyle K}$ 吸収するとは想定されていない ${\textstyle X}$ そして代わりに、次のように推論される。 ${\textstyle (0,1)K}$ 吸収しているとき ${\textstyle p_{K}}$ は半ノルムである。また、 ${\textstyle K}$ バランスが取れている（これは、 ${\textstyle K}$ （しばしば必要とされる）の代わりに、より弱い条件として ${\textstyle (0,1)sK\subseteq (0,1)K}$ すべてのスカラーに対して ${\textstyle s}$ 満足 ${\textstyle |s|=1.}$ 共通の要件は ${\textstyle K}$ 凸であることも、単に次のことを要求するだけまで弱められる。 ${\textstyle (0,1)K}$ 凸型である。

定理—と ${\textstyle K}$ 実ベクトル空間または複素ベクトル空間の部分集合である。 ${\textstyle X.}$ それから ${\textstyle p_{K}}$ はセミノルムです ${\textstyle X}$ 以下のすべての条件が満たされる場合に限り、

${\textstyle (0,\infty )K=X}$ （または同等に、 ${\textstyle p_{K}}$ （実数値です）。
${\textstyle (0,1)K}$ ${\textstyle (0,1)K}$ 凸である（または同等に、 ${\textstyle p_{K}}$ ${\textstyle p_{K}}$ 劣加法性である）。
- それで十分です（ただし、必須ではありません） ${\textstyle K}$ 凸型である。
${\textstyle (0,1)uK\subseteq (0,1)K}$ ${\textstyle (0,1)uK\subseteq (0,1)K}$ すべての単位スカラーに対して ${\textstyle u.}$ ${\textstyle u.}$
- この条件は、以下の場合に満たされます。 ${\textstyle K}$ バランスが取れている、またはより一般的には ${\textstyle uK\subseteq K}$ すべての単位スカラーに対して ${\textstyle u.}$

その場合 ${\textstyle 0\in K}$ そして両方とも ${\textstyle (0,1)K=\{x\in X:p(x)<1\}}$ そして ${\textstyle \bigcap _{e>0}(0,1+e)K=\left\{x\in X:p_{K}(x)\leq 1\right\}}$ 凸でバランスが取れていて吸収的な部分集合になります ${\textstyle X.}$

逆に、 ${\textstyle f}$ はセミノルムです ${\textstyle X}$ それからセット ${\textstyle V:=\{x\in X:f(x)<1\}}$ 上記の３つの条件（したがって結論も）をすべて満たし、さらに ${\textstyle f=p_{V};}$ さらに、 ${\textstyle V}$ 必然的に凸で、バランスが取れていて、吸収性があり、 ${\textstyle (0,1)V=V=[0,1]V.}$

系—もし ${\textstyle K}$ 実ベクトル空間または複素ベクトル空間の凸でバランスのとれた吸収部分集合である。 ${\textstyle X,}$ それから ${\textstyle p_{K}}$ はセミノルムです ${\textstyle X.}$

正の劣線形関数とミンコフスキー汎関数

実数値の劣加法関数は、 ${\textstyle f:X\to \mathbb {R} }$ 任意の位相ベクトル空間上 ${\textstyle X}$ が原点で連続であるのは、一様連続である場合に限る。ただし、さらに ${\textstyle f}$ 非負の場合、 ${\textstyle f}$ 連続であるのは、 ${\textstyle V:=\{x\in X:f(x)<1\}}$ は、 ${\textstyle X.}$ ^{[ 11 ]} もし ${\textstyle f:X\to \mathbb {R} }$ は劣加法性であり、 ${\textstyle f(0)=0,}$ それから ${\textstyle f}$ は、その絶対値が ${\textstyle |f|:X\to [0,\infty )}$ 連続的である。

非負劣線形関数は非負同次関数である ${\textstyle f:X\to [0,\infty )}$ これは三角不等式を満たす。以下の結果から、このような関数に対して次のことが直ちに導かれる。 ${\textstyle f,}$ もし ${\textstyle V:=\{x\in X:f(x)<1\}}$ それから ${\textstyle f=p_{V}.}$ 与えられた ${\textstyle K\subseteq X,}$ ミンコフスキー関数 ${\textstyle p_{K}}$ は、実数値かつ劣加法である場合に限り劣線形関数であり、それは次の場合に限り起こります。 ${\textstyle (0,\infty )K=X}$ そして ${\textstyle (0,1)K}$ 凸型である。

開凸集合と正の連続劣線形関数との対応関係

定理^{[ 11 ]} —次のように仮定する ${\textstyle X}$ は実数または複素数上の位相ベクトル空間（必ずしも局所凸またはハウスドルフ空間ではない）である。このとき、の空でない開凸部分集合は ${\textstyle X}$ は、まさに次の形式の集合です。 ${\textstyle z+\{x\in X:p(x)<1\}=\{x\in X:p(x-z)<1\}}$ 一部の人にとって ${\textstyle z\in X}$ そして、ある正の連続劣線形関数 ${\textstyle p}$ の上 ${\textstyle X.}$

注記

↑一般的には、 ${\textstyle x\in rD}$ かつその場合に限り ${\textstyle p_{D}(x)=r}$ （例えば、 ${\textstyle p_{K}}$ は規範または準規範です。正しい記述は次のとおりです。 ${\textstyle 0<r<\infty }$ それから ${\textstyle x\in rD}$ かつその場合に限り ${\textstyle p_{D}(x)=r}$ または ${\textstyle p_{D}(x)=0.}$
↑ ${\textstyle u}$ 単位長さを持つということは、 ${\textstyle |u|=1.}$
↑地図 ${\textstyle p_{K}}$ は、以下の条件を満たす場合に完全に均質であると呼ばれます。 ${\textstyle |s|p_{K}(x)}$ 明確に定義されており、 ${\textstyle p_{K}(sx)=|s|p_{K}(x)}$ すべての人々のために ${\textstyle x\in X}$ そしてすべてのスカラー ${\textstyle s}$ （ゼロ以外のスカラー値だけでなく）

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さらに読む

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[9] 一般的には、 ${\textstyle x\in rD}$ かつその場合に限り ${\textstyle p_{D}(x)=r}$ （例えば、 ${\textstyle p_{K}}$ は規範または準規範です。正しい記述は次のとおりです。 ${\textstyle 0<r<\infty }$ それから ${\textstyle x\in rD}$ かつその場合に限り ${\textstyle p_{D}(x)=r}$ または ${\textstyle p_{D}(x)=0.}$

[10] ${\textstyle u}$ 単位長さを持つということは、 ${\textstyle |u|=1.}$

[11] 地図 ${\textstyle p_{K}}$ は、以下の条件を満たす場合に完全に均質であると呼ばれます。 ${\textstyle |s|p_{K}(x)}$ 明確に定義されており、 ${\textstyle p_{K}(sx)=|s|p_{K}(x)}$ すべての人々のために ${\textstyle x\in X}$ そしてすべてのスカラー ${\textstyle s}$ （ゼロ以外のスカラー値だけでなく）

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011109-1] Narici & Beckenstein 2011、p. 109。

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011119-2] Narici & Beckenstein 2011、p. 119。

[FOOTNOTEJarchow1981104–108-3] 1 2 Jarchow 1981、pp. 104–108。

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011115–154-4] 1 2 Narici & Beckenstein 2011、pp. 115–154。

[FOOTNOTESchaefer199940-5] 1 2シェーファー 1999、p. 40。

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011119-120-6] 1 2 3 Narici & Beckenstein 2011、p. 119-120。

[FOOTNOTEKubrusly2011200-7] クブルスリー 2011、p. 200。

[FOOTNOTESchechter1996316-8] 1 2シェクター 1996、p. 316。

[FOOTNOTESchechter1996313–317-12] シェクター、1996 年、313 ～ 317 ページ。

[FOOTNOTESchechter1996303-13] シェクター 1996、p. 303。

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011192–193-14] 1 2 Narici & Beckenstein 2011、pp. 192–193。

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