特定の点のトポロジー

数学において、特点位相（または包含点位相）とは、位相空間の特点を含む集合が開集合となる位相である。形式的には、X を任意の空でない集合とし、p ∈ Xとする。集合

${\displaystyle T=\{S\subseteq X\mid p\in S\}\cup \{\emptyset \}}$

Xの部分集合は、X上の特定の点位相です。個別に名前が付けられたさまざまなケースがあります。

• X に2 つの点がある場合、 X上の特定の点位相はシェルピンスキー空間です。
• X が有限（少なくとも 3 つの点を持つ）である場合、 X上の位相は有限特点位相と呼ばれます。
• X が可算無限である場合、 X上の位相は可算な特点位相と呼ばれます。
• Xが非可算な場合、 X上の位相は非可算な特点位相と呼ばれます。

特殊点位相の一般化は閉じた拡張位相である。X \ { p }が離散位相を持つ場合、閉じた拡張位相は特殊点位相と同じになる。

このトポロジーは、興味深い例と反例を提供するために使用されます。

閉じた集合の内部は空である

空でない開集合が与えられると、すべての はAの極限点です。したがって、以外の任意の開集合の閉包はです。以外の閉集合はp を含まないため、以外の任意の閉集合の内部はです。${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle x\neq p}$${\displaystyle \emptyset}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \emptyset}$

パスとローカル接続だがアーク接続ではない

任意のx ,  y ∈ Xに対して、関数 f : [0, 1] → X は次のように与えられる。

${\displaystyle f(t)={\begin{cases}x&t=0\\p&t\in (0,1)\\y&t=1\end{cases}}}$

はパスです。しかし、p は開いているため、 [0,1] からの連続的な注入によるpの逆像は[0,1] の開いた単一の点になり、これは矛盾です。

分散点、セットの例

p はXの分散点です。つまり、X \ { p } は完全に分離されています。

ハイパーコネクテッドだがウルトラコネクテッドではない

空でないすべての開集合にはp が含まれるため、X は超連結です。しかし、aとb がXに含まれ、p、a、bが 3 つの異なる点である場合、 { a } と { b } は互いに素な閉集合であるため、Xは超連結ではありません。X がシェルピンスキー空間である場合、そのようなaとb は存在せず、Xは実際には超連結であることに注意してください。

有限の場合のみコンパクト。可算の場合のみリンデレーフ。

X が有限であればコンパクトです。一方、Xが無限であればコンパクトではありません。これは、すべての開集合の族が有限の部分被覆を持たない開被覆を形成するためです。${\displaystyle \{p,x\}\;(x\in X)}$

同様の理由で、Xが可算であれば、それはリンデレーフ空間であり、Xが不可算であれば、それはリンデレーフ空間ではありません。

コンパクトの閉鎖はコンパクトではない

集合 { p } はコンパクトです。しかし、その閉包(コンパクト集合の閉包) は空間X全体であり、Xが無限大の場合、これはコンパクトではありません。同様の理由で、Xが非可算の場合、コンパクト集合の閉包がリンデレーフ空間ではない例があります。

擬コンパクトだが弱可算コンパクトではない

まず、互いに素な空でない開集合は存在しません (すべての開集合にはp が含まれるため)。したがって、実数直線へのすべての連続関数は定数でなければならず、したがって有界であるため、X は擬似コンパクト空間であることが証明されます。 pを含まない任意の集合には極限点がないため、X が無限大であれば弱可算コンパクトではありません。

局所的にはコンパクトだが、局所的には相対的にコンパクトではない。

の場合、集合はxのコンパクト近傍です。ただし、この近傍の閉包はX全体であるため、Xが無限大の場合、xには閉じたコンパクト近傍はなく、X は局所的に相対的にコンパクトではありません。${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \{x,p\}}$

セットの累積ポイント

pが含まれていない場合、Y には蓄積点がありません ( Y はX内で閉じており、部分空間トポロジー内で離散的であるため)。${\displaystyle Y\subseteq X}$

にp が含まれる場合、 （ の最小近傍）がYと交わるので、すべての点はYの集積点になります。 Y にはω-集積点はありません。 pはX内で孤立しているため、どの集合の集積点にもならないことに注意してください。${\displaystyle Y\subseteq X}$${\displaystyle x\neq p}$${\displaystyle \{x,p\}}$${\displaystyle x}$

蓄積ポイントはセットとしてではなく、シーケンスとして

pも含む相異なる要素のシーケンスを取ります。基になるセットには、集積点として任意の yが含まれます。ただし、シーケンス自体にはシーケンスとしての集積点はありません。これは、任意の y の近傍に相異なる y を無限に含めることができないためです。${\displaystyle (a_{n})_{n}}$${\displaystyle \{a_{n}\}}$${\displaystyle x\neq p}$${\displaystyle \{y,p\}}$${\displaystyle a_{n}}$

₀秒

XはT ₀です（各xに対して{ x ,  p } が開いているため）が、高次の分離公理は満たしません（すべての空でない開集合にはp が含まれていなければならないため）。

定期的ではない

空でないすべての開集合にはp が含まれるため、 pを含まない閉集合( X \ { p }など) は{ p } から近傍によって分離できず、したがってX は正則ではありません。完全な正則性は正則性を意味するため、X は完全に正則ではありません。

普通じゃない

空でない開集合にはすべてp が含まれるため、空でない閉集合は近傍によって互いに分離することができず、したがってX は正規ではありません。例外:シェルピンスキー位相は正規であり、非自明な分離集合を含まないため、完全に正規ですらあります。

分離可能性

{ p } は稠密なので、X は分離可能な空間です。しかし、Xが非可算な場合、X \ { p } は分離可能ではありません。これは、分離可能な空間の部分空間が分離可能でない例です。

可算性（第一だが第二ではない）

Xが不可算名詞の場合、 Xは第 1 可算名詞ですが、第 2 可算名詞ではありません。

アレクサンドロフ離散

この位相はアレクサンドロフ位相である。点の最小近傍は${\displaystyle x}$${\displaystyle \{x,p\}.}$

比較可能（同じ集合上の同相位相だが比較できない）

とします。 およびとします。つまり、t _{q は}、 qが区別された点であるX上の特定の点位相です。このとき、 ( X , t _p ) と ( X , t _q ) は同じ集合上の同相比較不可能な位相です。${\displaystyle p,q\in X}$${\displaystyle p\neq q}$${\displaystyle t_{p}=\{S\subseteq X\mid p\in S\}}$${\displaystyle t_{q}=\{S\subseteq X\mid q\in S\}}$

空でない稠密な部分集合は存在しない

S をXの空でない部分集合とする。Sにp が含まれる場合、pはS内で孤立している（ p はXの孤立点であるため）。Sにp が含まれない場合、 S内の任意のx はS内で孤立している。

第一カテゴリーではない

p を含む任意の集合はXにおいて稠密です。したがって、X はどこにも稠密でない部分集合の和集合ではありません。

部分空間

特定の点の位相が与えられた集合の、その特定の点を含まない部分空間はすべて、離散位相を持ちます。

• アレクサンドロフ位相幾何学
• 除外ポイントトポロジ
• 有限位相空間
• トポロジのリスト
• 一点コンパクト化
• 重複区間トポロジー

• スティーン、リン・アーサー;シーバッハ、J.アーサー・ジュニア(1995) [1978]、位相幾何学における反例( 1978年版のドーバー再版)、ベルリン、ニューヨーク:シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-486-68735-3、MR  0507446