線形演算子（書籍）

線形作用素は、ネルソン・ダンフォードとジェイコブ・T・シュワルツによって書かれた、線形作用素の理論に関する全3巻の教科書である。全3巻は、(I)一般理論、(II)スペクトル理論、ヒルベルト空間における自己随伴作用素、(III)スペクトル作用素である。第1巻は1958年、第2巻は1963年、第3巻は1971年に出版された。全3巻は1988年にワイリー社によって再版された。ダンフォードとシュワルツとして正式に引用されている^[1]この教科書は、線形作用素に関する「決定的な著作」と呼ばれている^[2]^。

この研究は、イェール大学におけるダンフォードの線型作用素の大学院課程の問題に対する解答集として始まった。^[3]^{: 30}^[1]天才シュワルツは、1948年、18歳でイェール大学で学士号を取得した。1949年に彼は大学院の研究を始め、彼の課程を受講した。ダンフォードはシュワルツの知性を認め、二人は長きにわたる共同研究を開始し、ダンフォードはシュワルツの博士論文「線型楕円微分作用素」の指導教官を務めた。^[1]^[3]^{: 30}二人の共同研究の成果の1つが、ダンフォード-シュワルツの定理である。^[4]^{: 4}この研究はもともと関数解析の短い入門書となる予定であったが（最初の資料は第1巻の第2章、第4章、第7章および第10章の一部として出版された）、資料が膨れ上がった。^[3]^{: 32}この研究は海軍研究局から資金提供を受け、当時は原子力潜水艦のすべてに1冊ずつあるというジョークが流行った。 ^[3]^{: 30} ウィリアム・G・ベイドとロバート・G・バートルが研究助手として雇われた。 ^[5]ダンフォードは最終巻を書き終えて間もなく退職した。^[3]^{: 30}しかしシュワルツは数学の他のさまざまな分野で同様に画期的な本を執筆し続けた。^[1]^[a]

この本は出版されると絶賛され、1981年にアメリカ数学会からルロイ・P・スティール賞を受賞した。^[2]^{: 2}この賞の表彰状で、委員会は「2,592ページに及ぶこの記念碑的な著作は、数学における同種の著作の中で最も包括的なものに違いない...一世代の分析家がこの本から訓練を受けた」と述べた。^[6]ピーター・ラックスは、この本には「線形関数解析に関する既知のすべてと、まだ知られていない多くのことが含まれている」と述べた。^[4]^{: 6}ベーラ・シュ・ナジは第1巻のレビューで「著者らは、その記念碑的な完全性、明確な構成、魅力的な説明によって特に際立った、非常に重要で価値のある著作を生み出した」と書いた。^[4]^{: 6}演習のチェックに関わったジャン・カルロ・ロータは、「テキストの妥協のない抽象性と演習の具体的な例の信じられないほどの多様性との間の対比は、数学的解析を学ぶすべての学生にとって非常に有益である」と書いている。^[3]^{: 33}

この本の各章の最後には「注釈と考察」という章があり、そのテーマの歴史的背景や関連する話題についての非公式な議論が述べられている。この本には1000以上の演習問題が掲載されており、その範囲は広く、難しいものも多い。^[4]^{: 5}特に難しい演習問題は、ダンフォードが若きロバート・ラングランズに課すまで解けなかった。^[3]^{: 37}^[b]

注記

^シュワルツの精力的な活動を少し紹介すると、 線形演算子の第2巻と第3巻の出版の間の3年間に、シュワルツはW*-代数（1967年）、リー代数（1968年）、非線形関数解析（1969年）に関する本を出版しました。^[1]
^ 第 2 巻にはラングランズへの謝辞が記されており、「R. ラングランズは [第 1 巻の] 演習 III.9.20 が誤りであることを示し、その結果、アレクサンドロフ(III.5.13) の結果を大幅に改善しました」と記されている。^[7]^{: vi}ロータは、この問題に注意を促されたとき、誰もそれが本に載った経緯を思い出せず、ダンフォードもシュワルツも解けなかったと回想している。ダンフォードは、ラングランズがダンフォードの講義を受けたときに、たまたまこの問題を彼に割り当てた。^[3]^{: 37}ラングランズの回想によれば、「彼らの演習集の 1 つは修正する必要があったが、ダンフォードを説得するのにかなりの努力が必要で、彼が私の説明に耳を傾け、おそらく私の反例を検討するようになるまでにはしばらく時間がかかった」という。^[8]^{: 12}

参考文献

^ abcde O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2009 年 4 月)、「Jacob T Schwartz」、MacTutor 数学史アーカイブ、セントアンドリュース大学
^ ab デイビス、マーティン、ショーンバーグ、エドモンド、編 (2013)。線形演算子から計算生物学へ：ジェイコブ・T・シュワルツを偲んでのエッセイ。シュプリンガー。
^ abcdefgh ロータ、ジャンカルロ（1997）。Indiscrete Thoughts。Birkhauser。
^ abcd デイビス、マーティン; ショーンバーグ、エドモンド (2011). ジェイコブ・セオドア・シュワルツ: 伝記的回想録(PDF)。米国科学アカデミー。2022年8月2日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。
^ Dales, HG (2013). 「ウィリアム・ジョージ・ベイド 1924–2012」.ロンドン数学会報. 45 : 875–888 . doi :10.1112/blms/bdt037.
^ 「ネルソン ・ダンフォード、1906-1986」（PDF）。アメリカ数学会誌。34 （2）：287。1987年2月。
^ Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. (1988).線形演算子. 第2巻. Wiley-Interscience.
^ ラングランズ、ロバート P. (2009)。ブリティッシュコロンビア大学の Farzin Barekat 氏へのインタビュー(PDF) 。2024 年6 月 13 日に取得。

[6] ^シュワルツの精力的な活動を少し紹介すると、 線形演算子の第2巻と第3巻の出版の間の3年間に、シュワルツはW*-代数（1967年）、リー代数（1968年）、非線形関数解析（1969年）に関する本を出版しました。^[1]

[10] 第 2 巻にはラングランズへの謝辞が記されており、「R. ラングランズは [第 1 巻の] 演習 III.9.20 が誤りであることを示し、その結果、アレクサンドロフ(III.5.13) の結果を大幅に改善しました」と記されている。^[7]^{: vi}ロータは、この問題に注意を促されたとき、誰もそれが本に載った経緯を思い出せず、ダンフォードもシュワルツも解けなかったと回想している。ダンフォードは、ラングランズがダンフォードの講義を受けたときに、たまたまこの問題を彼に割り当てた。^[3]^{: 37}ラングランズの回想によれば、「彼らの演習集の 1 つは修正する必要があったが、ダンフォードを説得するのにかなりの努力が必要で、彼が私の説明に耳を傾け、おそらく私の反例を検討するようになるまでにはしばらく時間がかかった」という。^[8]^{: 12}

[MacTutor-1] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2009 年 4 月)、「Jacob T Schwartz」、MacTutor 数学史アーカイブ、セントアンドリュース大学

[DavisSchonberg-2] デイビス、マーティン、ショーンバーグ、エドモンド、編 (2013)。線形演算子から計算生物学へ：ジェイコブ・T・シュワルツを偲んでのエッセイ。シュプリンガー。

[Rota-3] ロータ、ジャンカルロ（1997）。Indiscrete Thoughts。Birkhauser。

[memoir-4] デイビス、マーティン; ショーンバーグ、エドモンド (2011). ジェイコブ・セオドア・シュワルツ: 伝記的回想録(PDF)。米国科学アカデミー。2022年8月2日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。

[5] Dales, HG (2013). 「ウィリアム・ジョージ・ベイド 1924–2012」.ロンドン数学会報. 45 : 875–888 . doi :10.1112/blms/bdt037.

[DunfordObit-7] ^ 「ネルソン ・ダンフォード、1906-1986」（PDF）。アメリカ数学会誌。34 （2）：287。1987年2月。

[8] Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. (1988).線形演算子. 第2巻. Wiley-Interscience.

[9] ラングランズ、ロバート P. (2009)。ブリティッシュコロンビア大学の Farzin Barekat 氏へのインタビュー(PDF) 。2024 年6 月 13 日に取得。