絶対凸集合

数学において、実ベクトル空間または複素ベクトル空間の部分集合C は、凸かつバランスが取れている場合（「バランスが取れている」の代わりに「円で囲まれている」という用語を使う人もいる）、絶対凸または円盤状であると言われ、その場合は円盤と呼ばれます。集合の円盤状包または絶対凸包とは、その集合を含むすべての円盤の共通部分のことです。

サブセット${\displaystyle S}$実ベクトル空間または複素ベクトル空間の${\displaystyle X}$と呼ばれるディスクであり、ディスク化された、完全に凸であり、以下のいずれかの同等条件が満たされる場合、凸型バランス型とみなされる。

1. ${\displaystyle S}$は凸集合かつバランスの取れた集合である。
2. 任意のスカラーに対して${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b,}$もし${\displaystyle |a|+|b|\leq 1}$それから${\displaystyle aS+bS\subseteq S.}$
3. すべてのスカラーに対して${\displaystyle a,b,}$そして${\displaystyle c,}$もし${\displaystyle |a|+|b|\leq |c|,}$それから${\displaystyle aS+bS\subseteq cS.}$
4. 任意のスカラーに対して${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$そして${\displaystyle c,}$もし${\displaystyle |a_{1}|+\cdots +|a_{n}|\leq |c|}$それから${\displaystyle a_{1}S+\cdots +a_{n}S\subseteq cS.}$
5. 任意のスカラーに対して${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n},}$もし${\displaystyle |a_{1}|+\cdots +|a_{n}|\leq 1}$それから${\displaystyle a_{1}S+\cdots +a_{n}S\subseteq S.}$

の最小凸（またはバランスのとれた）部分集合${\displaystyle X}$与えられた集合を含む領域は、その集合の凸包（または平衡包）と呼ばれ、で表されます。${\displaystyle \operatorname {co} S}$（それぞれ、${\displaystyle \operatorname {bal} S}$)

同様に、円盤状の船体、絶対凸包、そして集合の凸型平衡包${\displaystyle S}$は、 を含む最小のディスク（部分集合の包含に関して）として定義されます。${\displaystyle S.}$^{[ 1 ]} 円盤状の船体${\displaystyle S}$は、${\displaystyle \operatorname {disk} S}$または${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$そしてそれは以下の各集合と等しい。

1. ${\displaystyle \operatorname {co} (\operatorname {bal} S),}$これは、バランスドハルの凸包です。${\displaystyle S}$; したがって、${\displaystyle \operatorname {cobal} S=\operatorname {co} (\operatorname {bal} S).}$
   • 一般的に、${\displaystyle \operatorname {cobal} S\neq \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)}$有限次元ベクトル空間においても可能である。
2. すべてのディスクの交差部分${\displaystyle S.}$
3. $\displaystyle \left\{a_{1}s_{1}+\cdots a_{n}s_{n}~:~n\in \mathbb {N} ,\,s_{1},\ldots ,s_{n}\in S,\,{\text{ かつ }}a_{1},\ldots ,a_{n}{\text{ は }}|a_{1}|+\cdots +|a_{n}|\leq 1\right\} を満たすスカラーである。}$

任意の数の絶対凸集合の共通部分は、やはり絶対凸集合となる。しかし、絶対凸集合の和集合は、必ずしも絶対凸集合である必要はない。

もし${\displaystyle D}$ディスクは${\displaystyle X,}$それから${\displaystyle D}$夢中になっている${\displaystyle X}$かつその場合に限り${\displaystyle \operatorname {span} D=X.}$^{[ 2 ]}

もし${\displaystyle S}$ベクトル空間における吸収円盤である${\displaystyle X}$すると吸収円盤が存在する${\displaystyle E}$で${\displaystyle X}$そのため${\displaystyle E+E\subseteq S.}$^{[ 3 ]} もし${\displaystyle D}$ディスクであり、${\displaystyle r}$そして${\displaystyle s}$スカラーの場合${\displaystyle sD=|s|D}$そして${\displaystyle (rD)\cap (sD)=(\min _{}\{|r|,|s|\})D.}$

局所凸位相ベクトル空間における有界集合の絶対凸包は、やはり有界である。

もし${\displaystyle D}$TVS の境界付きディスク${\displaystyle X}$そしてもし${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$はシーケンスです${\displaystyle D,}$次に部分和$\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$コーシーであり、すべての${\displaystyle n,}$${\displaystyle s_{n}:=\sum _{i=1}^{n}2^{-i}x_{i}.}$^{[ 4 ]}特に、加えて${\displaystyle D}$は、​${\displaystyle X,}$そしてこのシリーズ$s_{\bullet }}$収束する${\displaystyle X}$ある時点で${\displaystyle D.}$

凸型バランスハル${\displaystyle S}$凸包の両方を含む${\displaystyle S}$そしてバランスの取れた船体${\displaystyle S.}$さらに、凸包のバランスのとれた包を含み、${\displaystyle S;}$したがって $${\displaystyle \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)~\subseteq ~\operatorname {cobal} S~=~\operatorname {co} (\operatorname {bal} S),}$$ 以下の例は、この包含が厳密である可能性があることを示しています。ただし、任意の部分集合については${\displaystyle S,T\subseteq X,}$もし${\displaystyle S\subseteq T}$それから${\displaystyle \operatorname {cobal} S\subseteq \operatorname {cobal} T}$ これは、${\displaystyle \operatorname {cobal} (\operatorname {co} S)=\operatorname {cobal} S=\operatorname {cobal} (\operatorname {bal} S).}$

固定された実数が与えられた場合${\displaystyle 0<p\leq 1,}$1${\displaystyle p}$-凸集合は任意の部分集合である${\displaystyle C}$ベクトル空間の${\displaystyle X}$その特性により${\displaystyle rc+sd\in C}$いつでも${\displaystyle c,d\in C}$そして${\displaystyle r,s\geq 0}$非負のスカラーは以下を満たす$\displaystyle r^{p}+s^{p}=1.}$ それは絶対に${\displaystyle p}$-凸集合または${\displaystyle p}$-ディスクの場合${\displaystyle rc+sd\in C}$いつでも${\displaystyle c,d\in C}$そして${\displaystyle r,s}$スカラーは${\displaystyle |r|^{p}+|s|^{p}\leq 1.}$^{[ 5 ]}

A${\displaystyle p}$-セミノルム^{[ 6 ]}は任意の非負関数である${\displaystyle q:X\to \mathbb {R} }$以下の条件を満たすもの：

1. 劣加法性／三角不等式：${\displaystyle q(x+y)\leq q(x)+q(y)}$すべての人々のために${\displaystyle x,y\in X.}$
2. 絶対的な均一性${\displaystyle p}$:${\displaystyle q(sx)=|s|^{p}q(x)}$すべての人々のために${\displaystyle x\in X}$そしてすべてのスカラー${\displaystyle s.}$

これはセミノルムの定義を一般化するものであり、写像がセミノルムであるのは、それが${\displaystyle 1}$-セミノーム（使用）${\displaystyle p:=1}$)存在する${\displaystyle p}$セミノルムではないセミノルム。たとえば、${\displaystyle 0<p<1}$それから地図${\displaystyle q(f)=\int _{\mathbb {R} }|f(t)|^{p}dt}$Lp空間を定義するために使用される${\displaystyle L_{p}(\mathbb {R} )}$は${\displaystyle p}$-セミノルムだがセミノルムではない。^{[ 6 ]}

与えられた${\displaystyle 0<p\leq 1,}$位相ベクトル空間とは${\displaystyle p}$-セミノーマブル（つまり、そのトポロジーは何らかの${\displaystyle p}$-セミノルム)有界である場合に限り${\displaystyle p}$原点の凸近傍。^{[ 5 ]}

• 吸収集合– どんな点にも「膨らませる」ことができる集合 
• 補助的な基準空間
• バランスのとれた集合– 関数分析における構成要素 
• 有界集合（位相ベクトル空間）－有界性の一般化 
• 凸集合– 幾何学において、すべての直線との交点が単一の線分となる集合 
• スター領域– ユークリッド空間における点集合の性質 
• 対称集合– 群の部分集合の性質（数学） 
• ベクトル（幾何学的）– 長さと方向を持つ幾何学的オブジェクト。物理学におけるベクトルのリダイレクト先の簡単な説明を表示するページ。 
• ベクトル場– ユークリッド空間の部分集合内の各点にベクトルを割り当てること 

• Robertson, AP; WJ Robertson (1964).位相ベクトル空間. Cambridge Tracts in Mathematics. Vol.  53. Cambridge University Press . pp. 4–6 . 
• ナリチ、ローレンス；ベッケンシュタイン、エドワード（2011）。位相ベクトル空間。純粋および応用数学（第2 版）。フロリダ州ボカラトン：CRC Press。ISBN 978-1584888666OCLC 144216834。​ 
• シェーファー、ヘルムート・H. ; ウォルフ、マンフレッド・P. (1999).位相ベクトル空間. GTM . 第 8巻（第2 版）. ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0OCLC 840278135​​ 
• トレヴ、フランソワ(2006) [1967]。トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1OCLC 853623322。​