テスト関数と分布の空間

数学解析において、テスト関数と分布の空間は、分布の定義と応用に用いられる位相ベクトル空間（TVS）である。テスト関数は通常、空でない開集合上の無限回微分可能な複素数値関数（または場合によっては実数値関数）である。 $\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ コンパクトなサポートを持つもの。すべてのテスト関数の空間は、⁠で表されます。 $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ ⁠ は、正準LFトポロジーと呼ばれる特定のトポロジーを備えており、 $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ 完全ハウスドルフ局所凸 TVSへ。 $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ は、上の分布の空間と呼ばれます。 $U$ そして、で表されます。 $\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U):=\left(C_{\text{c}}^{\infty }(U)\right)_{b}^{\prime },}$ 「 $b$ 添え字は、 $C_{\text{c}}^{\infty }(U),$ で示される $\left(C_{\text{c}}^{\infty }(U)\right)^{\prime },$ 強力な双対位相を備えている。

テスト関数の空間には他にも選択肢があり、それによって分布の異なる空間が生まれる。 $U=\mathbb {R} ^{n}$ すると、テスト関数としてシュワルツ関数^{[注1 ]}を使用すると、ある部分空間が生じる。 ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ その要素は緩増加分布と呼ばれる。これらは、フーリエ変換を「標準関数」から緩増加分布に拡張できるため重要である。緩増加分布の集合は、分布空間のベクトル部分空間を形成する。 ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ したがって、これは分布空間の一例であり、他にも多くの分布空間が存在する。

また、のサブセットではない他の主要なテスト関数クラスも存在する。 $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ ⁠、例えば解析的テスト関数の空間など、非常に異なるクラスの分布を生成します。このような分布の理論は、空でないコンパクトな台を持つ解析関数が存在しないため、以前の理論とは異なる性質を持っています。^{[注2 ]}解析的テスト関数の使用は、佐藤のハイパー関数の理論につながります。

表記法

この記事では、以下の表記法を使用します。

$n$ は固定された正の整数であり、 $U$ は、ユークリッド空間の固定された空でない開部分集合である。 $\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$
$\mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \}$ は自然数を表します。
$k$ は非負の整数または $\infty .$
もし $f$ 関数である場合 $\operatorname {Dom} (f)$ は、そのドメインと支援 $f,$ で示される $\operatorname {supp} (f),$ は、集合の閉包として定義される。 $\{x\in \operatorname {Dom} (f):f(x)\neq 0\}$ で $\operatorname {Dom} (f).$
2つの関数について $f,g:U\to \mathbb {C}$ 、次の表記法は標準的なペアリングを定義します。 ${\displaystyle \langle f,g\rangle$
サイズのマルチインデックス $n$ は要素です $\mathbb {N} ^{n}$ （とすれば $n$ は固定されています。マルチインデックスのサイズが省略された場合、サイズは固定されているとみなされます。 $n$ )マルチインデックスの長さ $\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n}$ は次のように定義される。 $\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}$ そして、 $|\alpha |.$ 多重添え字は、複数の変数の関数を扱う場合に特に有用であり、特に、与えられた多重添え字に対して以下の表記法を導入する。 $\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n}$ : ${\begin{aligned}x^{\alpha }&=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}\\\partial ^{\alpha }&={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}\end{aligned}}$ また、すべての多重インデックスの部分順序を次のように導入します。 $\beta \geq \alpha$ かつその場合に限り $\beta _{i}\geq \alpha _{i}$ すべての人々のために $1\leq i\leq n.$ いつ $\beta \geq \alpha$ 我々は、それらの多重指数二項係数を次のように定義する。 ${\binom {\beta }{\alpha }}:={\binom {\beta _{1}}{\alpha _{1}}}\cdots {\binom {\beta _{n}}{\alpha _{n}}}.$
$\mathbb {K}$ は、のコンパクト部分集合の空でない特定の集合を表す。 $U$ （詳細は下記参照）

テスト関数と分布の定義

$このセクションでは、 U$ 上の実数値分布を正式に定義します。若干の修正を加えることで、複素数値分布も定義でき、 $\mathbb {R} ^{n}$ 任意の（パラコンパクト）滑らかな多様体と。

表記法：

させて $k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}.$
させて $C^{k}(U)$ $U上の$ $k$ 回連続微分可能な実数値または複素数値関数のベクトル空間を表す。
任意のコンパクト部分集合に対して $K\subseteq U,$ $K\subseteq U,$ させて $C^{k}(K)$ $C^{k}(K)$ そして $C^{k}(K;U)$ $C^{k}(K;U)$ どちらもそれらすべての関数のベクトル空間を表す。 $f\in C^{k}(U)$ $f\in C^{k}(U)$ そのため、 $\operatorname {supp} (f)\subseteq K$ ⁠ .
- もし $f\in C^{k}(K)$ すると、 $f$ $U$ であって $K$ ではない。したがって、 $C^{k}(K)$ $K$ と $Uの$ 両方に依存しますが、通常は $K$ のみが表示されます。この一般的な慣習の正当性については、以下に詳しく説明します。表記法 $C^{k}(K;U)$ 表記法が $C^{k}(K)$ 曖昧になるリスクがある。
- 毎 $C^{k}(K)$ 定数 $0$ マップを含みます。 $K=\varnothing .$
させて $C_{\text{c}}^{k}(U)$ $C_{\text{c}}^{k}(U)$ すべての集合を表す $f\in C^{k}(U)$ $f\in C^{k}(U)$ そのため $f\in C^{k}(K)$ $f\in C^{k}(K)$ Uのあるコンパクト部分集合Kに対して。
- 同様に、 $C_{\text{c}}^{k}(U)$ すべての集合です $f\in C^{k}(U)$ そのため $f$ コンパクトなサポートを備えています。
- $C_{\text{c}}^{k}(U)$ すべての和に等しい $C^{k}(K)$ として $K$ 範囲は⁠ $\mathbb {K}$ ⁠ .
- もし $f$ $はU$ 上の実数値関数である。 $f$ は $C_{\text{c}}^{k}(U)$ かつその場合に限り $f$ は $C^{k}$ バンプ関数。すべての実数値テスト関数 $U$ は常に複素数値のテスト関数でもある $U.$

バンプ関数のグラフ $(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\mapsto \Psi (r),$ どこ $r=(x^{2}+y^{2})^{\frac {1}{2}}$ そして $\Psi (r)=e^{-{\frac {1}{1-r^{2}}}}\cdot \mathbf {1} _{\{|r|<1\}}.$ この関数はテスト関数です $\mathbb {R} ^{2}$ そしてそれは $C_{\text{c}}^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{2}\right).$ この機能のサポートは、閉じたユニットディスクです。 $\mathbb {R} ^{2}.$ 開いている単位ディスク上ではゼロ以外であり、その外側ではどこでも $ゼロになります。$

{\displaystyle (x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\mapsto \Psi (r),} — バンプ関数のグラフ $(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\mapsto \Psi (r),$ どこ $r=(x^{2}+y^{2})^{\frac {1}{2}}$ そして $\Psi (r)=e^{-{\frac {1}{1-r^{2}}}}\cdot \mathbf {1} _{\{|r|<1\}}.$ この関数はテスト関数です $\mathbb {R} ^{2}$ そしてそれは $C_{\text{c}}^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{2}\right).$ この機能のサポートは、閉じたユニットディスクです。 $\mathbb {R} ^{2}.$ 開いている単位ディスク上ではゼロ以外であり、その外側ではどこでも $ゼロになります。$

すべての $j,k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}$ $また、 U$ の任意のコンパクト部分集合 $K$ および $L$ に対して、次の関係が成り立つ。 ${\begin{aligned}C^{k}(K)&\subseteq C_{\text{c}}^{k}(U)\subseteq C^{k}(U)\\C^{k}(K)&\subseteq C^{k}(L)&&{\text{ if }}K\subseteq L\\C^{k}(K)&\subseteq C^{j}(K)&&{\text{ if }}j\leq k\\C_{\text{c}}^{k}(U)&\subseteq C_{\text{c}}^{j}(U)&&{\text{ if }}j\leq k\\C^{k}(U)&\subseteq C^{j}(U)&&{\text{ if }}j\leq k\\\end{aligned}}$

定義：

C_{\text{c}}^{\infty }(U)

U

上のテスト関数と呼ばれ、

C_{\text{c}}^{\infty }(U)

これはU

上のテスト関数の空間と呼ばれます。私たちは両方を使用します。

{\mathcal {D}}(U)

そして

C_{\text{c}}^{\infty }(U)

この空間を示すため。

$U$ 上の分布は、連続線形汎関数として定義される。 $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ このベクトル空間に、正準LF位相と呼ばれる特定の位相が与えられる場合。残念ながら、この位相を定義するのは容易ではないが、それでも正準LF位相に言及することなく分布を特徴付けることは可能である。

命題： $Tが$ 線形汎関数である場合 $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ Tが分布であるのは $、$ 以下の同等の条件が満たされる場合に限る。

すべてのコンパクト部分集合に対して $K\subseteq U$ 定数が存在する $C>0$ そして $N\in \mathbb {N}$ （依存する） $K$ ) すべての $f\in C^{\infty }(K),$ ^{[ 1 ]} $|T(f)|\leq C\sup\{|\partial ^{\alpha }f(x)|:x\in U,|\alpha |\leq N\}.$
すべてのコンパクト部分集合に対して $K\subseteq U$ 定数が存在する $C>0$ そして $N\in \mathbb {N}$ すべての $f\in C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ サポート内容は $K,$ ^{[ 2 ]} $|T(f)|\leq C\sup\{|\partial ^{\alpha }f(x)|:x\in K,|\alpha |\leq N\}.$
任意のコンパクト部分集合に対して $K\subseteq U$ および任意のシーケンス $\{f_{i}\}_{i=1}^{\infty }$ で $C^{\infty }(K),$ もし $\{\partial ^{\alpha }f_{i}\}_{i=1}^{\infty }$ は一様にゼロに収束する $K$ すべてのマルチインデックスについて $\alpha$ 、それから $T(f_{i})\to 0.$

上記の特性は、線形汎関数が分布であるかどうかを判断するために使用できますが、分布とテスト関数のより高度な使用（微分方程式への応用など）は、トポロジーが配置されていない場合は制限されます。 $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ そして ${\mathcal {D}}(U)$ 分布空間を定義するには、まず標準的なLF位相を定義する必要があります。そのためには、まずいくつかの他の局所凸位相ベクトル空間（TVS）を定義する必要があります。まず、(非正規化)位相を $C^{\infty }(U)$ が定義されれば、 $C^{\infty }(K)$ によって誘導される部分空間トポロジーが付与される $C^{\infty }(U)$ ⁠、そして最後に（非計量化可能な）標準的なLFトポロジー $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ が定義される。分布の空間は、の連続双対空間として定義される。 $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ ⁠ は、によって誘導される（非計量化可能な）強双対位相を備える。 $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ そして、標準的なLF位相（この位相は、ノルム空間の連続双対空間に配置される通常の作用素ノルム誘導位相の一般化である）。これにより、分布（シーケンスとネットの両方）の収束、分布のさまざまな（部分）空間、分布に対する演算（微分方程式を分布に拡張することを含む）など、より高度な概念を考察することが可能になる。

コンパクトセットKの選択肢

全体を通して、 $\mathbb {K}$ は、コンパクトサブセットの任意のコレクションになります。 $U$ (1) ${\textstyle U=\bigcup _{K\in \mathbb {K} }K,}$ （２）任意のコンパクト $K_{1},K_{2}\subseteq U$ いくつか存在する $K\in \mathbb {K}$ そのため $K_{1}\cup K_{2}\subseteq K.$ 最も一般的な選択肢は $\mathbb {K}$ は：

のコンパクト部分集合の集合 $U$ ⁠、または
セット $\left\{{\overline {U}}_{1},{\overline {U}}_{2},\ldots \right\}$ どこ ${\textstyle U=\bigcup _{i=1}^{\infty }U_{i},}$ そしてすべての $i$ に対して、 ${\overline {U}}_{i}\subseteq U_{i+1}$ そして $U_{i}$ は、比較的コンパクトな空でない開部分集合である。 $U$ （ここで「比較的コンパクト」とは、 $U_{i}$ Uまたはの $いずれ$ かで $\mathbb {R} ^{n}$ （コンパクトです）。

私たちは作ります $\mathbb {K}$ 定義することにより、有向集合にする $K_{1}\leq K_{2}$ かつその場合に限り $K_{1}\subseteq K_{2}.$ 後述のトポロジーの定義では明示的に参照されているが、 $\mathbb {K}$ 実際には、それらは選択に依存しない $\mathbb {K$ つまり、もし $\mathbb {K} _{1}$ そして $\mathbb {K} _{2}$ コンパクト部分集合の任意の2つのコレクションは $U,$ 次に、トポロジーが定義されます $C^{k}(U)$ そして $C_{\text{c}}^{k}(U)$ 使用することによって $\mathbb {K} _{1}$ の代わりに $\mathbb {K}$ は、を使用して定義されるものと同じです。 $\mathbb {K} _{2}$ の代わりに $\mathbb {K} .$

C ^k ( U )上のトポロジー

ここで、トポロジーを定義するセミノルムを導入します。 $C^{k}(U).$ 著者によって使用するセミノルムのファミリーが異なる場合があるため、以下に最も一般的なファミリーを列挙します。ただし、どのファミリーを使用しても、得られるトポロジーは同じです。

仮定する

k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}

そして

K

は、の任意のコンパクト部分集合である。

U.

仮定する

i

整数

0\leq i\leq k

^{[注3 ]}および

p

長さを持つマルチインデックスです

|p|\leq k.

のために

K\neq \varnothing ,

定義する：

${\begin{alignedat}{4}{\text{ (1) }}\ &s_{p,K}(f)&&:=\sup _{x_{0}\in K}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\\[4pt]{\text{ (2) }}\ &r_{i,K}(f)&&:=\sup _{\stackrel {|p|\leq i}{x_{0}\in K}}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|=\sup _{|p|\leq i}\left(s_{p,K}(f)\right)\\[4pt]{\text{ (3) }}\ &t_{i,K}(f)&&:=\sup _{x_{0}\in K}\left(\sum _{|p|\leq i}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\right)\end{alignedat}}$

その間

K=\varnothing ,

上記のすべての関数を定数

0

マップとして定義します。

上記の関数はすべて非負です $\mathbb {R}$ -値^{[注4 ]}半ノルム $C^{k}(U).$ この記事で説明されているように、ベクトル空間上の任意のセミノルムの集合は、局所凸ベクトル位相を誘導します。

以下の各セミノルムのセット ${\begin{alignedat}{4}A~:=\quad &\{r_{i,K}&&:\;K{\text{ compact and }}\;&&i\in \mathbb {N} {\text{ satisfies }}\;&&0\leq i\leq k\}\\B~:=\quad &\{t_{i,K}&&:\;K{\text{ compact and }}\;&&i\in \mathbb {N} {\text{ satisfies }}\;&&0\leq i\leq k\}\\C~:=\quad &\{s_{p,K}&&:\;K{\text{ compact and }}\;&&p\in \mathbb {N} ^{n}{\text{ satisfies }}\;&&|p|\leq k\}\end{alignedat}}$ 同じ局所凸ベクトルトポロジーを生成する $C^{k}(U)$ 。

ベクトル空間

C^{k}(U)

4つの族のいずれかによって誘導される局所凸トポロジーを備えている

A,B,C

上記で説明した半規範の。

このトポロジーでは、 $C^{k}(U)$ は、ノルム化できない局所凸フレシェ空間となる。 $A\cup B\cup C$ は上の連続半ノルムである $C^{k}(U)$ このトポロジーの下では、ネット $(f_{i})_{i\in I}$ で $C^{k}(U)$ 収束して $f\in C^{k}(U)$ すべてのマルチインデックスに対して $p$ と $|p|<k+1$ そしてすべてのコンパクト $K$ 偏微分のネット $\left(\partial ^{p}f_{i}\right)_{i\in I}$ 一様に収束して $\partial ^{p}f$ の上 $K.$ ^{[ 3 ]}いずれの場合も $k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \},$ 任意の（フォン・ノイマン）有界部分集合 $C^{k+1}(U)$ は、比較的コンパクトなサブセットです。 $C^{k}(U).$ ^{[ 4 ]}特に、 $C^{\infty }(U)$ が有界であるのは、それが有界である場合に限る。 $C^{i}(U)$ すべての人々のために $i\in \mathbb {N} .$ ^{[ 4 ]}空間 $C^{k}(U)$ がモンテル空間であるのは、 $k=\infty .$ ^{[ 5 ]}

トポロジー $C^{\infty }(U)$ は、誘導される部分空間トポロジーの上限です。 $C^{\infty }(U)$ TVSによる $C^{i}(U)$ $i は$ 非負整数の範囲をとる。[ ^{3 ]部分}集合 $W$ の $C^{\infty }(U)$ このトポロジーにおいて開いているのは、存在する場合に限る。 $i\in \mathbb {N}$ そのため $W$ 開いているときは $C^{\infty }(U)$ は、によって誘導される部分空間トポロジーを備えている。 $C^{i}(U)$ ⁠ .

トポロジーを定義するメトリック

コンパクト集合の族が $\mathbb {K} =\left\{{\overline {U}}_{1},{\overline {U}}_{2},\ldots \right\}$ 満たす ${\textstyle U=\bigcup _{j=1}^{\infty }U_{j}}$ そして ${\overline {U}}_{i}\subseteq U_{i+1}$ すべての人々のために $i,$ すると、完全な並進不変計量が $C^{\infty }(U)$ は、上記の定義セミノルム族 ( A、B、C )のいずれかの適切な可算フレシェ組み合わせを取ることによって得られます。たとえば、セミノルムを使用すると、 $(r_{i,K_{i}})_{i=1}^{\infty }$ 指標の結果 $d(f,g):=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}{\frac {r_{i,{\overline {U}}_{i}}(f-g)}{1+r_{i,{\overline {U}}_{i}}(f-g)}}=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}{\frac {\sup _{|p|\leq i,x\in {\overline {U}}_{i}}\left|\partial ^{p}(f-g)(x)\right|}{\left[1+\sup _{|p|\leq i,x\in {\overline {U}}_{i}}\left|\partial ^{p}(f-g)(x)\right|\right]}}.$

多くの場合、セミノルムだけを考慮して（距離関数を避けて）関数解析のツールを使用する方が簡単です。

C ^k ( K )上のトポロジー

以前と同様に、修正 $k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}.$ もし $K$ は、の任意のコンパクト部分集合である。 $U$ それから $C^{k}(K)\subseteq C^{k}(U).$

仮定：任意のコンパクト部分集合に対して

K\subseteq U,

今後は、

C^{k}(K)

フレシェ空間から受け継いだ部分空間トポロジーを備えている。

C^{k}(U).

任意のコンパクト部分集合に対して $K\subseteq U,$ $C^{k}(K)$ はフレシェ空間の閉部分空間である。 $C^{k}(U)$ したがって、フレシェ空間でもある。すべてのコンパクト空間について $K,L\subseteq U$ 満足 $K\subseteq L,$ 包含マップをで表す $\operatorname {In} _{K}^{L}:C^{k}(K)\to C^{k}(L).$ すると、この写像は TVS の線形埋め込み (つまり、位相埋め込みでもある線形写像) であり、その像(または「値域」) は値域で閉じている。言い換えれば、上の位相は $C^{k}(K)$ は、継承する部分空間トポロジーと同一である。 $C^{k}(L),$ そしてまた $C^{k}(K)$ は、の閉部分集合である。 $C^{k}(L).$ 内部 $C^{\infty }(K)$ 相対的に $C^{\infty }(U)$ 空です。^{[ 6 ]}

もし $k$ 有限であれば $C^{k}(K)$ は、ノルムによって定義できる位相を持つバナッハ空間^{[ 7 ]}である。 $r_{K}(f):=\sup _{|p|<k}\left(\sup _{x_{0}\in K}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\right).$

そして、 $k=2,$ それから $\,C^{k}(K)$ はヒルベルト空間でもある。^{[ 7 ]}この空間は $C^{\infty }(K)$ シュワルツ・モンテルの著名なスペースなので、 $C^{\infty }(K)\neq \{0\}$ するとそれは規範化できない ので、バナッハ空間ではない（ただし、他のすべてのものと同様に） $C^{k}(K),$ これはフレシェ空間である。

C ^k ( K ) のトポロジーの自明な拡張とUからの独立性

の定義 $C^{k}(K)$ $それはあなた$ 次第なので、 $C^{k}(K;U)$ 位相空間を表す $C^{k}(K),$ これは定義上、位相的部分空間である $C^{k}(U).$ 仮定する $V$ は、の開部分集合である。 $\mathbb {R} ^{n}$ 含む $U$ そして任意のコンパクト部分集合に対して $K\subseteq V$ ⁠、 $C^{k}(K;V)$ は、のベクトル部分空間です。 $C^{k}(V)$ サポートを含むマップで構成されています $K.$ 与えられた $f\in C_{\text{c}}^{k}(U)$ ⁠、 $V$ への自明な拡張は定義により、関数である。 $I(f):=F:V\to \mathbb {C}$ 定義: $F(x)={\begin{cases}f(x)&x\in U,\\0&{\text{otherwise}},\end{cases}}$ となることによって $F\in C^{k}(V).$ させて $I:C_{\text{c}}^{k}(U)\to C^{k}(V)$ 関数を $C_{\text{c}}^{k}(U)$ $V$ 上の自明な拡張への写像。この写像は線形単射であり、任意のコンパクト部分集合に対して $K\subseteq U$ （どこ $K$ は、のコンパクトな部分集合でもある。 $V$ 以来 $K\subseteq U\subseteq V$ ⁠ ) 私たちは ${\begin{alignedat}{4}I\left(C^{k}(K;U)\right)&~=~C^{k}(K;V)\qquad {\text{ and thus }}\\I\left(C_{\text{c}}^{k}(U)\right)&~\subseteq ~C_{\text{c}}^{k}(V)\end{alignedat}}$ もし $私$ が制限されるなら $C^{k}(K;U)$ すると、次の誘導線形写像は同相写像（したがってTVS同相写像）となる。 ${\begin{alignedat}{4}\,&C^{k}(K;U)&&\to \,&&C^{k}(K;V)\\&f&&\mapsto \,&&I(f)\\\end{alignedat}}$ したがって、次の 2 つのマップ (前のマップと同様に定義される) $f\mapsto I(f)$ ）は位相埋め込みです。 $C^{k}(K;U)\to C^{k}(V),\qquad {\text{ and }}\qquad C^{k}(K;U)\to C_{\text{c}}^{k}(V),$ （トポロジーは $C_{\text{c}}^{k}(V)$ は、後述する標準的なLFトポロジーです。 $I:C_{\text{c}}^{k}(U)\to C^{k}(V)$ ベクトル空間 $C_{\text{c}}^{k}(U)$ は、そのイメージと正式に関連付けられています。 $C_{\text{c}}^{k}(V)\subseteq C^{k}(V)$ （ただし、 $U\neq V$ それから $I:C_{\text{c}}^{\infty }(U)\to C_{\text{c}}^{\infty }(V)$ これらの空間に標準的なLF位相が付与されている場合、それは位相埋め込みではないが、連続である）。^[⁸^] なぜなら $C^{k}(K;U)\subseteq C_{\text{c}}^{k}(U)$ この識別を通じて、 $C^{k}(K;U)$ また、以下の部分集合とみなすこともできます。 $C^{k}(V).$ 重要なことに、部分空間トポロジー $C^{k}(K;U)$ から継承する $C^{k}(U)$ （サブセットとして見た場合） $C^{k}(U)$ ）は、それが継承する部分空間トポロジーと同一である。 $C^{k}(V)$ （いつ $C^{k}(K;U)$ 代わりに、 $C^{k}(V)$ 識別を介して）したがって、上のトポロジーは $C^{k}(K;U)$ は $、$ $\mathbb {R} ^{n}$ $K$ を含む。^{[ 6 ]}これは、 $C^{k}(K)$ 代わりに⁠ $C^{k}(K;U)$ ⁠ .

標準的なLFトポロジー

思い出してください $C_{\text{c}}^{k}(U)$ それらの関数をすべて $C^{k}(U)$ コンパクトなサポートを備えた $U,$ ここで注意すべきは $C_{\text{c}}^{k}(U)$ すべての結合 $C^{k}(K)$ $K$ が $\mathbb {K} .$ さらに、すべての $k$ に対して、 $C_{\text{c}}^{k}(U)$ は、 $C^{k}(U).$ 特別な場合 $k=\infty$ これにより、テスト関数のための空間が確保されます。

C_{\text{c}}^{\infty }(U)

は、上のテスト関数の空間と呼ばれます。 $U$ また、次のように表すこともできます。

{\mathcal {D}}(U).

この節では、正準LF位相を直接極限として定義する。また、この位相は原点の近傍を用いて定義することも可能であり、それについては後述する。

直接限界によって定義されるトポロジー

任意の2つの集合 $K$ と $L$ について、以下を宣言する。 $K\leq L$ の場合に限り $K\subseteq L$ 特にコレクションを特徴づけているのは $\mathbb {K}$ $U$ のコンパクト部分集合を有向集合にまとめる（このような集合は部分集合包含によって有向であると言う）。すべてのコンパクト集合に対して $K,L\subseteq U$ 満足 $K\subseteq L,$ インクルージョンマップがあります $\operatorname {In} _{K}^{L}:C^{k}(K)\to C^{k}(L)\quad {\text{and}}\quad \operatorname {In} _{K}^{U}:C^{k}(K)\to C_{\text{c}}^{k}(U).$

上記で述べたように、地図は $\operatorname {In} _{K}^{L}:C^{k}(K)\to C^{k}(L)$ 位相埋め込みです。マップの集合 $\left\{\operatorname {In} _{K}^{L}\;:\;K,L\in \mathbb {K} \;{\text{ and }}\;K\subseteq L\right\}$ は、によって方向付けられる局所凸位相ベクトル空間のカテゴリーにおいて直接システムを形成する。 $\mathbb {K}$ （部分集合包含関係において）。このシステムの直接極限（局所凸TVSのカテゴリーにおいて）はペアである。 $(C_{\text{c}}^{k}(U),\operatorname {In} _{\bullet }^{U})$ どこ $\operatorname {In} _{\bullet }^{U}:=\left(\operatorname {In} _{K}^{U}\right)_{K\in \mathbb {K} }$ 天然のインクルージョンであり、 $C_{\text{c}}^{k}(U)$ は、すべての包含マップを作成する（唯一無二の）最強の局所凸トポロジーを備えています $\operatorname {In} _{\bullet }^{U}=(\operatorname {In} _{K}^{U})_{K\in \mathbb {K} }$ 継続的。

標準的なLFトポロジー $C_{\text{c}}^{k}(U)$ は、

C_{\text{c}}^{k}(U)

すべてのインクルージョンマップを作成する

\operatorname {In} _{K}^{U}:C^{k}(K)\to C_{\text{c}}^{k}(U)

連続（

K は

⁠の範囲をとる）

\mathbb {K}

⁠ )

数学文献でよく見られるように、空間

C_{\text{c}}^{k}(U)

は、明示的に別段の定めがない限り、標準的なLFトポロジーを備えているものとみなされる。

原点の近傍によって定義されるトポロジー

もし ${\cal {U}}$ はの凸部分集合である $C_{\text{c}}^{k}(U)$ ⁠、それから ${\cal {U}}$ が正準LFトポロジーにおける原点の近傍であるのは、以下の条件を満たす場合に限る。

この条件を満たす任意の凸集合は必ず吸収集合であることに注意してください。 $C_{\text{c}}^{k}(U)$ 任意の位相ベクトル空間の位相は並進不変であるため、任意の TVS 位相は原点の近傍の集合によって完全に決定されます。これは、凸平衡部分集合 $Uが条件$ CN を満たす場合に限り原点の近傍であると宣言することで、標準的な LF 位相を実際に定義できることを意味します。

微分演算子によって定義されるトポロジー

滑らかな係数を持つ $U$ の線形微分作用素は和である $P:=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}c_{\alpha }\partial ^{\alpha }$ どこ $c_{\alpha }\in C^{\infty }(U)$ そして、有限個のものを除くすべて $c_{\alpha }$ すべて $0$ です。 $\sup\{|\alpha |:c_{\alpha }\neq 0\}$ 微分演算子の次数と呼ばれる $P.$ もし $P$ $k$ 階の線形微分演算子である場合、それは正準線形写像を誘導する $C^{k}(U)\to C^{0}(U)$ 定義される $\phi \mapsto P\phi ,$ ここでは表記法を再利用し、このマップを次のように表す。 $P.$ ^{[ 9 ]}

いかなる場合でも $1\leq k\leq \infty ,$ 標準的なLFトポロジー $C_{\text{c}}^{k}(U)$ は、すべての線形微分演算子を弱める最も弱い局所凸TVSトポロジーです。 $U$ 順序の $\,<k+1$ 連続マップへ $C_{\text{c}}^{k}(U)$ へ $C_{\text{c}}^{0}(U)$ ⁠ .^{[ 9 ]}

標準的なLFトポロジーの特性

正準LFトポロジーの $Kからの独立性$

正準LF位相を直系の直極限として定義することの利点の1つは、直極限の普遍性をすぐに利用できることである。もう1つの利点は、圏論のよく知られた結果を用いて、正準LF位相が実際には有向集合の特定の選択に依存しないことを推論できることである。 $\mathbb {K}$ コンパクトセットの。そして、異なるコレクションを考慮することによって。 $\mathbb {K}$ （特に、 $\mathbb {K}$ （この記事の冒頭で述べたように）この位相のさまざまな性質を推論することができます。特に、標準的なLF位相は $C_{\text{c}}^{k}(U)$ ハウスドルフ局所凸厳密LF空間（および厳密LB空間）に $k\neq \infty$ )、これがこのトポロジーが「標準的なLFトポロジー」と呼ばれる理由です（詳細は脚注を参照）。^{[注5 ]}

普遍的な財産

直接極限の普遍性から、次のことがわかります。 $u:C_{\text{c}}^{k}(U)\to Y$ が局所凸空間 $Y$ (必ずしもハウスドルフ空間ではない) への線形写像である場合、 $u が$ 連続であるのは、 $u が$ 有界であるのは、すべてのに対してであるときのみである。 $K\in \mathbb {K}$ uの制限 $$ $C^{k}(K)$ 連続（または有界）である。^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}

正準LFトポロジーの $Uへの依存性$

$V$ がの開部分集合であると仮定します。 $\mathbb {R} ^{n}$ 含む $U.$ させて $I:C_{\text{c}}^{k}(U)\to C_{\text{c}}^{k}(V)$ 関数を $C_{\text{c}}^{k}(U)$ $V$ 上の自明な拡張(上記で定義済み)へ。この写像は連続線形写像です。 ^{[ 8 ]}の場合 (かつその場合に限る) $U\neq V$ それから $I\left(C_{\text{c}}^{\infty }(U)\right)$ は密な部分集合ではない $C_{\text{c}}^{\infty }(V)$ そして $I:C_{\text{c}}^{\infty }(U)\to C_{\text{c}}^{\infty }(V)$ 位相埋め込みではない。^[⁸^]したがって、 $U\neq V$ 次に転置 $I:C_{\text{c}}^{\infty }(U)\to C_{\text{c}}^{\infty }(V)$ 一対一でも全射でもない。^{[ 8 ]}

境界付き部分集合

サブセット $B\subseteq C_{\text{c}}^{k}(U)$ は $C_{\text{c}}^{k}(U)$ 存在する場合に限り、 $K\in \mathbb {K}$ そのため $B\subseteq C^{k}(K)$ そして $B$ は、 $C^{k}(K).$ ^{[ 11 ]}さらに、もし $K\subseteq U$ コンパクトで $S\subseteq C^{k}(K)$ それから $S$ は $C^{k}(K)$ 有界である場合に限り $C^{k}(U).$ いかなる場合でも $0\leq k\leq \infty ,$ の任意の有界部分集合 $C_{\text{c}}^{k+1}(U)$ (それぞれ) $C^{k+1}(U)$ ) は、の比較的コンパクトな部分集合です。 $C_{\text{c}}^{k}(U)$ （それぞれ） $C^{k}(U)$ ⁠ )、そこで⁠ $\infty +1=\infty$ ⁠ .^{[ 11 ]}

非計量化可能性

すべてのコンパクト向け $K\subseteq U$ ⁠、内部 $C^{k}(K)$ で $C_{\text{c}}^{k}(U)$ 空なので $C_{\text{c}}^{k}(U)$ これはそれ自体が第一のカテゴリーに属する。ベールの定理から次のことが導かれる。 $C_{\text{c}}^{k}(U)$ は計量化できない ため、規範化もできません（非計量化空間がどのように定義されるかについては、この脚注^[^注6^{]を参照してください）。} $C_{\text{c}}^{k}(U)$ メトリックを許容しないにもかかわらず、完全である可能性がある。 $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ 核モンテル空間は非計量化可能性を補う $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ （より詳細な説明については、この脚注を参照してください。）^{[注7 ]}

空間間の関係性

直接限界の普遍的な性質と自然包含物という事実を利用して $\operatorname {In} _{K}^{L}:C^{k}(K)\to C^{k}(L)$ これらはすべて位相埋め込みであり、すべてのマップが $\operatorname {In} _{K}^{U}:C^{k}(K)\to C_{\text{c}}^{k}(U)$ 位相埋め込みも位相埋め込みである。言い換えれば、 $C^{k}(K)$ は、それが継承する部分空間トポロジーと同一である。 $C_{\text{c}}^{k}(U)$ ⁠、ここで思い出してください⁠ $C^{k}(K)$ のトポロジーは、によって誘導される部分空間トポロジーとして定義された。 $C^{k}(U)$ 特に、両方とも $C_{\text{c}}^{k}(U)$ そして $C^{k}(U)$ 上に同じ部分空間トポロジーを誘導する $C^{k}(K)$ しかし、これは、標準的なLFトポロジーが $C_{\text{c}}^{k}(U)$ は、誘導される部分空間トポロジーに等しい。 $C_{\text{c}}^{k}(U)$ による $C^{k}(U)$ ⁠ ; これらの 2 つのトポロジーは $C_{\text{c}}^{k}(U)$ 実際には、標準的な LF 位相は決して計量化可能ではないのに対し、それによって誘導される部分空間位相は、互いに等しくなることは決してありません。 $C^{k}(U)$ は計量可能である（なぜなら、 $C^{k}(U)$ は計量可能である）。 $C_{\text{c}}^{k}(U)$ 実際には、それが継承する部分空間トポロジーよりも厳密に細かい。 $C^{k}(U)$ （したがって自然な包含） $C_{\text{c}}^{k}(U)\to C^{k}(U)$ 連続ではあるが位相埋め込みではない）。^[⁷^]

実際、標準的なLFトポロジーは非常に細かいので、 $C_{\text{c}}^{\infty }(U)\to X$ は「自然な包含関係」である線形写像を表します（例： $C_{\text{c}}^{\infty }(U)\to C^{k}(U)$ ⁠、または⁠ $C_{\text{c}}^{\infty }(U)\to L^{p}(U)$ ⁠、または後述するその他の写像の場合、この写像は通常連続になります。これは（後述するように）局所的に積分可能な関数、ラドン測度などが（このような「自然な包含関係」の転置を介して）分布を誘導する究極的な理由です。言い換えれば、他の空間から分布を定義するさまざまな方法がある理由は、最終的に標準的なLFトポロジーが非常に細かいことに起因します。さらに、分布は単に⁠上の連続線形汎関数であるため $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ ⁠、正準LFトポロジーの微細な性質は、より線形な汎関数が $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ 連続的になる（「より」とは、より粗いトポロジーと比較して、 $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ 例えば、いくつかのによって誘導される部分空間トポロジーなど $C^{k}(U)$ ⁠、それは $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ 計量可能であれば、線形汎関数の数も少なくなるだろう $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ 連続的であるため分布は少なくなるだろう。さらに、この特定の粗いトポロジーには、 $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ 完全なTVSに^{[ 12 ]}。

その他の物件

分化マップ $C_{\text{c}}^{\infty }(U)\to C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ は連続線形演算子である。^{[ 13 ]}
双線形乗算マップ $C^{\infty }(\mathbb {R} ^{m})\times C_{\text{c}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to C_{\text{c}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{m+n})$ によって与えられた $(f,g)\mapsto fg$ 連続ではないが、準連続である。^{[ 14 ]}

分布

前述のように、 $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ $これらはU$ 上の分布として知られています。したがって、 $U$ 上のすべての分布の集合はの連続双対空間です。 $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ ⁠ 、強い双対位相を備えたものは⁠で表される ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ ⁠ .

定義により、 $U$ 上の分布は、上の連続線形汎関数として定義される。

C_{\text{c}}^{\infty }(U)

言い換えれば、 U

上の分布は、連続双対空間の要素である。

C_{\text{c}}^{\infty }(U)

いつ

C_{\text{c}}^{\infty }(U)

標準的なLFトポロジーを備えている。

$U$ 上の分布 $T$ とテスト関数の間には、標準的な双対関係が存在する。 $f\in C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ 山括弧で表すと、 ${\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {D}}^{\prime }(U)\times C_{\text{c}}^{\infty }(U)\to \mathbb {R} \\(T,f)\mapsto \langle T,f\rangle$

この表記は、テスト関数に作用する分布 $Tとして解釈される。$ $f$ スカラー値を与える、またはテスト関数として対称的に $f$ 分布 $T$ に作用する。

分布の特性

命題。T $が$ 線形汎関数である場合 $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ すると、以下は同等である。

$T$ は分布である。
定義： $Tは$ 連続関数である。
$T$ は原点において連続である。
$Tは$ 一様連続である。
$Tは$ 有界作用素である。
Tは逐次連続である。
- 明示的に、すべてのシーケンスに対して $\left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ で $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ それは収束する $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ 一部の人にとって $f\in C_{\text{c}}^{\infty }(U),$ $\lim _{i\to \infty }T\left(f_{i}\right)=T(f);$ ^{[注8 ]}
Tは原点で連続的である。言い換えれば、Tはヌルシーケンス^{[注9 ]}をヌルシーケンスに写像する。
- 明示的に、すべてのシーケンスに対して $\left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ で $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ それは収束する $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ 原点へ（このようなシーケンスはヌルシーケンスと呼ばれる）、 $\lim _{i\to \infty }T\left(f_{i}\right)=0.$
- ヌル列とは、定義上、原点に収束する列のことである。
Tはヌルシーケンスを境界付き部分集合にマッピングする。
- 明示的に、すべてのシーケンスに対して $\left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ で $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ それは収束する $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ 起源へ、シーケンス $\left(T\left(f_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }$ 有界である。
Tは、マッキー収束ヌル列^{[注 10 ]}を境界付き部分集合に写像します。
- 明示的に、すべてのマッキー収束ヌルシーケンスに対して $\left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ で⁠ $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ ⁠、シーケンス $\left(T\left(f_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }$ 有界である。
- シーケンス $f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ 発散する数列が存在する場合、それは $0$ にマッキー収束すると言われる。 $r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to \infty$ 正の実数で、数列 $\left(r_{i}f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ $は有界である。0$ にマッキー収束するすべての数列は、必然的に原点に収束する（通常の意味で）。
$T$ の核はの閉部分空間である $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ ⁠ .
$T$ のグラフは閉じている。
連続半ノルムが存在する $g$ の上 $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ そのため $|T|\leq g.$
定数が存在する $C>0,$ 連続半ノルムの集合、 ${\mathcal {P}},$ 標準的なLFトポロジーを定義する $C_{\text{c}}^{\infty }(U),$ そして有限部分集合 $\left\{g_{1},\ldots ,g_{m}\right\}\subseteq {\mathcal {P}}$ そのため $|T|\leq C(g_{1}+\cdots g_{m});$ ^{[注11 ]}
すべてのコンパクト部分集合に対して $K\subseteq U$ 定数が存在する $C>0$ そして $N\in \mathbb {N}$ すべての $f\in C^{\infty }(K),$ ^{[ 1 ]} $|T(f)|\leq C\sup\{|\partial ^{p}f(x)|:x\in U,|\alpha |\leq N\}.$
すべてのコンパクト部分集合に対して $K\subseteq U$ 定数が存在する $C_{K}>0$ そして $N_{K}\in \mathbb {N}$ すべての $f\in C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ サポート内容は $K,$ ^{[ 2 ]} $|T(f)|\leq C_{K}\sup\{\left|\partial ^{\alpha }f(x)\right|:x\in K,|\alpha |\leq N_{K}\}.$
任意のコンパクト部分集合に対して $K\subseteq U$ および任意のシーケンス $\{f_{i}\}_{i=1}^{\infty }$ で $C^{\infty }(K),$ もし $\{\partial ^{p}f_{i}\}_{i=1}^{\infty }$ すべての多重インデックスに対して一様にゼロに収束する $p,$ それから $T(f_{i})\to 0.$
直近の３つの記述（すなわち、記述１４、１５、１６）のいずれかだが、コンパクト集合が $K$ に属する $\mathbb {K} .$

分布空間上の位相

定義と表記法： $U$ 上の分布の空間は、⁠で表される。

{\mathcal {D}}^{\prime }(U)

⁠ 、は、の連続双対空間です。

C_{\text{c}}^{\infty }(U)

有界部分集合上での一様収束の位相を備えた

C_{\text{c}}^{\infty }(U).

^{[ 7 ]}

より簡潔に言うと、 U

上の分布の空間は⁠

{1}

⁠ .

有界部分集合上の一様収束の位相は、強双対位相とも呼ばれる。[注^{12 ]この}位相が選ばれるのは、この位相では ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ 核モンテル空間となり、この位相においてシュワルツ核定理が成り立つ。^{[ 15 ]}双対位相がどのようなものであっても ${\mathcal {D}}^{\prime }(U),$ ^{[注13 ]}分布の列がこのトポロジーで収束するのは、それが点ごとに収束する場合に限る（ただし、これはネット）。どのトポロジーを選択しても、 ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ は距離化不可能な、局所凸な位相ベクトル空間となる。 ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ は分離可能であり^{[ 16 ]}、強いピトケエフ特性^{[ 17 ]}を持つが、 k空間^{[ 17 ]}でもシーケンス空間^{[ 16 ]}でもない。これは特に、距離化不可能であり、またその位相をシーケンスのみを使用して定義できないことを意味する。

位相的性質

位相ベクトル空間圏

標準的なLFトポロジーは $C_{\text{c}}^{k}(U)$ 完全な区別された厳密な LF 空間(そして、厳密な LB 空間となるのは、 $k\neq \infty$ ^{[ 18 ]}）は、 $C_{\text{c}}^{k}(U)$ はそれ自体のごくわずかな部分集合である。^{[ 19 ]}さらに、 $C_{\text{c}}^{k}(U)$ ⁠、およびその強力な双対空間は、完全なハウスドルフ局所凸樽型ボルノロジー・マッキー空間である。 $C_{\text{c}}^{k}(U)$ がフレシェ空間であるのは、 $k\neq \infty$ したがって特に、強い双対は $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ ⁠、それは空間です ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ $U$ 上の分布は距離化できない(弱* トポロジーは ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ また、距離化可能ではなく、さらに、強双対位相が持つ優れた特性のほとんどすべてを欠いている。 ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ ⁠ )

3つの空間 $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ ⁠、 ⁠ $C^{\infty }(U)$ ⁠、そしてシュワルツ空間⁠ ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ ⁠、およびこれら3つの空間のそれぞれの強双対は、完全な核^{[ 20 ]}モンテル^{[ 21 ]}ボルノロジー空間であり、これはこれら6つの局所凸空間すべてがパラコンパクト^{[ 22 ]}反射的バレル型マッキー空間でもあることを意味する。 $C^{\infty }(U)$ そして ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ 両方ともフレシェ空間である。さらに両方とも $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ そして ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ シュワルツTVSです。

収束シーケンス

収束シーケンスとそのトポロジー記述における不十分性

強力な双対空間 $C^{\infty }(U)$ そして ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ は順次空間であるが、フレシェ・ウリソン空間ではない。^{[ 16 ]}さらに、テスト関数の空間も $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ 強力な双対も ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ これはシーケンシャル空間（アスコリ空間ですらない）であり、 ^{[ 16 ]}^{[ 23 ]}特に、その位相は収束シーケンスによって完全に定義することはできないことを意味します。

シーケンス $\left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ で $C_{\text{c}}^{k}(U)$ 収束する $C_{\text{c}}^{k}(U)$ 存在する場合に限り、 $K\in \mathbb {K}$ そのため $C^{k}(K)$ この数列を含み、この数列は収束する $C^{k}(K)$ 同等に、収束するのは次の 2 つの条件が満たされる場合のみです。^{[ 24 ]}

コンパクトセットがあります $K\subseteq U$ すべてのサポートを含む $f_{i}.$
各マルチインデックスについて $\alpha ,$ 偏微分の列 $\partial ^{\alpha }f_{i}$ 均一に $\partial ^{\alpha }f.$

スペースも $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ 強力な双対も ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ はシーケンス空間であり、^{[ 16 ]}^{[ 23 ]}その結果、その位相は収束シーケンスのみで完全に定義することはできません。このため、シーケンスが収束する条件に関する上記の特徴付けだけでは、上の標準的なLF位相を定義するには不十分です。 $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ ⁠。上の強双対位相についても同様のことが言える。 ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ ⁠ .

どのような配列が特徴づけられるか

しかしながら、シーケンスは多くの重要な特性を特徴づけており、以下で説明します。任意のモンテル空間の双対空間では、シーケンスが強双対位相で収束するのは、弱*位相で収束する場合に限ることが知られています^{[ 25 ]。}特に、分布のシーケンスが（強双対位相で）収束するのは、点ごとに収束する場合に限る理由もこれです（このため、多くの著者は点ごとの収束を使用して分布のシーケンスの収束を実際に定義しています。これはシーケンスには適していますが、分布のネットの収束には適用されません。ネットは点ごとに収束するかもしれませんが、強双対位相では収束しない可能性があるためです）。

シーケンスは、局所凸空間で評価される線形マップの連続性を特徴づけます。X $が$ 局所凸ボルノロジー空間(前述の 6 つの TVS のいずれか) であると仮定します。すると、線形マップは $F:X\to Y$ 局所凸空間 $Yへの写像は、$ $X$ 内の零列^{[注 9 ]} $をY$ の有界部分集合に写像する場合に限り連続である。^[^{注 14}^]より一般的には、このような線形写像は $F:X\to Y$ が連続であるのは、それがマッキー収束ヌル列^{[注10 ]}を、の有界部分集合に写像する場合に限る。 $Y.$ つまり、特に線形マップの場合 $F:X\to Y$ 局所凸空間への写像が原点で逐次連続であれば、それは連続である。 ^{[ 26 ]}ただし、これは必ずしも非線形写像や、局所凸TVSではない位相空間で値をとる写像にまで及ぶとは限らない。

すべての $k\in \{0,1,\ldots ,\infty \},C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ は順次密である $C_{\text{c}}^{k}(U)$ [ ²⁷^]さらに、 $\{D_{\phi }:\phi \in C_{\text{c}}^{\infty }(U)\}$ は、 ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ （その強力な双対トポロジーを持つ）^{[ 28 ]}、また、強力な双対空間の逐次的に密な部分集合でもある。 $C^{\infty }(U).$ ^{[ 28 ]}

分布のシーケンス

分布のシーケンス $(T_{i})_{i=1}^{\infty }$ 弱*トポロジーに関して収束する ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ 分布 $T$ に、かつその場合に限り $\langle T_{i},f\rangle \to \langle T,f\rangle$ すべてのテスト関数について $f\in {\mathcal {D}}(U).$ 例えば、 $f_{m}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 関数は $f_{m}(x)={\begin{cases}m&{\text{ if }}x\in [0,{\frac {1}{m}}]\\0&{\text{ otherwise }}\end{cases}}$ そして $T_{m}$ は、 $f_{m},$ それから $\langle T_{m},f\rangle =m\int _{0}^{\frac {1}{m}}f(x)\,dx\to f(0)=\langle \delta ,f\rangle$ として $m\to \infty ,$ それで $T_{m}\to \delta$ で ${\mathcal {D}}^{\prime }(\mathbb {R} ).$ したがって、大きい場合 $m,$ 機能 $f_{m}$ これはディラックのデルタ分布の近似とみなすことができる。

その他の物件

強力な双対空間 ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ TVSは $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ 正準TVS同型を介して $C_{\text{c}}^{\infty }(U)\to ({\mathcal {D}}^{\prime }(U))'_{b}$ 送信によって定義される $f\in C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ 価値 $f$ （つまり、線形汎関数に対して） ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ 送信によって定義される $d\in {\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ へ $d(f)$ ⁠ );
任意の有界部分集合上で ${\mathcal {D}}^{\prime }(U),$ 弱部分空間と強部分空間の位相は一致する。も同様である。 $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ ⁠ ;
弱収束するすべての数列 ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ 強く収束する（ただし、これはネットには適用されない）。

分布の局所化

予備知識：線形演算子の転置

分布および分布空間に対する演算は、線形演算子の転置によって定義されることが多い。これは、転置によって分布理論における多くの定義を統一的に表現できること、またその性質が関数解析においてよく知られているためである。^{[ 29 ]}例えば、ヒルベルト空間間の線形演算子のよく知られたエルミート随伴演算子は、まさにその演算子の転置である（ただし、各ヒルベルト空間をその連続双対空間と同一視するためにリース表現定理が用いられる）。一般に、連続線形写像の転置は $A:X\to Y$ 線形マップ ${}^{\text{t}}\!A:Y'\to X'\qquad {\text{ defined by }}\qquad {}^{\text{t}}\!A(y'):=y'\circ A,$ あるいは同等に、それは、 $\langle y',A(x)\rangle =\left\langle {}^{\text{t}}\!A(y'),x\right\rangle$ すべての人々のために $x\in X$ そしてすべて $y'\in Y'$ （ $y'$ は、いかなる種類の派生も示しません。単に、 $y'$ 連続双対空間の要素である $Y'$ ）。以来 $A$ 連続であり、転置 ${}^{\text{t}}\!A:Y'\to X'$ 両方の双対がそれぞれ強い双対位相を備えている場合も連続であり、両方の双対がそれぞれ弱い*位相を備えている場合も連続である（詳細は極性位相と双対システムに関する記事を参照）。

分布の文脈では、転置の特性を少し改良することができる。 $A:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)$ は連続線形写像である。定義により、の転置は $A$ は唯一の線形演算子です $A^{t}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)$ 以下を満たす： $\langle {}^{\text{t}}\!A(T),\phi \rangle =\langle T,A(\phi )\rangle \quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U){\text{ and all }}T\in {\mathcal {D}}'(U).$

以来 ${\mathcal {D}}(U)$ 密度が高い ${\mathcal {D}}'(U)$ （ここ、 ${\mathcal {D}}(U)$ 実際には分布の集合を指します $\left\{D_{\psi }:\psi \in {\mathcal {D}}(U)\right\}$ ) 定義等式がすべての分布に対して成り立つだけで十分である。 $T=D_{\psi }$ どこ $\psi \in {\mathcal {D}}(U).$ 具体的に言うと、これは連続線形マップを意味します。 $B:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)$ に等しい ${}^{\text{t}}\!A$ 以下の条件が満たされる場合に限ります。 $\langle B(D_{\psi }),\phi \rangle =\langle {}^{\text{t}}\!A(D_{\psi }),\phi \rangle \quad {\text{ for all }}\phi ,\psi \in {\mathcal {D}}(U)$ 右辺は $\langle {}^{\text{t}}\!A(D_{\psi }),\phi \rangle =\langle D_{\psi },A(\phi )\rangle =\langle \psi ,A(\phi )\rangle =\int _{U}\psi \cdot A(\phi )\,dx.$

オープンサブセットへの拡張と制限

させて $V\subseteq U$ の開部分集合である $\mathbb {R} ^{n}$ すべての機能 $f\in {\mathcal {D}}(V)$ 定義域からゼロだけ拡張できる $V$ 関数へ $U$ 等しく設定することで $0$ 補語について $U\setminus V.$ この拡張は、滑らかでコンパクトにサポートされている関数であり、自明な拡張と呼ばれます。 $f$ に $U$ そしてそれは⁠で表されます $E_{VU}(f)$ この課題 $f\mapsto E_{VU}(f)$ 自明な拡張演算子を定義する $E_{VU}:{\mathcal {D}}(V)\to {\mathcal {D}}(U),$ これは連続単射線形写像です。これは、正準的に識別するために使用されます。 ${\mathcal {D}}(V)$ ベクトル部分空間として ${\mathcal {D}}(U)$ （ただし、位相的部分空間としてはそうではない）。その転置（ここで説明されている） $\rho _{VU}:={}^{\text{t}}\!E_{VU}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(V),$ と呼ばれる制限 $V$ 分布の $U$ ^{[ 8 ]}そしてその名前が示すように、画像は $\rho _{VU}(T)$ 分布の $T\in {\mathcal {D}}'(U)$ この地図の下には分布があります $V$ 制限と呼ばれる $T$ に $V.$ 制限の決定条件 $\rho _{VU}(T)$ は： $\langle \rho _{VU}T,\phi \rangle =\langle T,E_{VU}\phi \rangle \quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(V).$ もし $V\neq U$ すると、（連続単射線形）自明な拡張写像 $E_{VU}:{\mathcal {D}}(V)\to {\mathcal {D}}(U)$ これは位相埋め込みではありません（つまり、この線形挿入が識別に使用された場合） ${\mathcal {D}}(V)$ サブセットとして ${\mathcal {D}}(U)$ それから ${\mathcal {D}}(V)$ のトポロジーは、部分空間トポロジーよりも厳密に細かいものとなる。 ${\mathcal {D}}(U)$ それに誘導する。重要なことに、位相的部分空間にはならない（位相の等価性が必要となるため）。また、その値域もその終域で稠密ではない。 ${\mathcal {D}}(U).$ ^{[ 8 ]}したがって、もし $V\neq U$ この場合、制限写像は単射でも全射でもない。^{[ 8 ]}分布 $S\in {\mathcal {D}}'(V)$ は、転置の像の範囲に属する場合、 $U$ に拡張可能であると言われます。 $E_{VU}$ そして、拡張可能であれば拡張可能と呼ばれます。 $\mathbb {R} ^{n}.$ ^{[ 8 ]}

そうでなければ $U=V$ ⁠、制限 $V$ は単射でも全射でもない。

分布の空間

すべての人にとって $0<k<\infty$ そしてすべて $1<p<\infty$ ⁠、以下のすべての標準的な射影は連続であり、像/値域はそれらの終域の密な部分集合です。^{[ 30 ]}^{[ 31 ]} ${\begin{matrix}C_{\text{c}}^{\infty }(U)&\to &C_{\text{c}}^{k}(U)&\to &C_{\text{c}}^{0}(U)&\to &L_{\text{c}}^{\infty }(U)&\to &L_{\text{c}}^{p+1}(U)&\to &L_{\text{c}}^{p}(U)&\to &L_{\text{c}}^{1}(U)\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&&&&&&&&&\\C^{\infty }(U)&\to &C^{k}(U)&\to &C^{0}(U)&&&&&&&&&&\end{matrix}}$ LB空間上の位相 $L_{\text{c}}^{p}(U)$ は、以下に定義される標準的な LF 位相です(したがって、特に、これらは通常のノルム位相ではありません)。上記の各写像 (および上記の写像の任意の合成) の像域は、終域で稠密です。実際、 $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ あらゆる点で順次的に密である $C_{\text{c}}^{k}(U)$ ⁠ .^{[ 27 ]}すべての $1\leq p\leq \infty ,$ 正典的包含 $C_{\text{c}}^{\infty }(U)\to L^{p}(U)$ ノルム空間へ $L^{p}(U)$ （ここ $L^{p}(U)$ （通常のノルム位相を持つ）は連続線形単射であり、この単射の像は、その終域において稠密であるのは、の場合に限る。 $p\neq \infty$ ⁠ .^{[ 31 ]}

仮に $X$ LF空間の一つです $C_{\text{c}}^{k}(U)$ （のために $k\in \{0,1,\ldots ,\infty \}$ ）またはLB空間 $L_{\text{c}}^{p}(U)$ （のために $1\leq p\leq \infty$ ）または標準化された空間 $L^{p}(U)$ （ $1\leq p<\infty$ ⁠ )^{[ 31 ]}正規注入のため $\operatorname {In} _{X}:C_{\text{c}}^{\infty }(U)\to X$ これは、像がコドメインで密である連続射影であり、この写像の転置 ${}^{\text{t}}\!\operatorname {In} _{X}:X'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)=\left(C_{\text{c}}^{\infty }(U)\right)'_{b}$ これは連続的な単射である。したがって、この単射転置写像は連続的な双対空間を可能にする。 $X'$ の $X$ 空間の特定のベクトル部分空間と同一視される ${\mathcal {D}}'(U)$ すべての分布の (具体的には、この転置マップの画像と同一視される)。この連続転置マップは必ずしも TVS 埋め込みではないため、このマップがドメインから画像に転送するトポロジーは $\operatorname {Im} \left({}^{\text{t}}\!\operatorname {In} _{X}\right)$ この空間が継承する部分空間トポロジーよりも細かい。 ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ ⁠ . の線形部分空間 ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ 局所凸トポロジーを持ち、それは、 ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)=\left(C_{\text{c}}^{\infty }(U)\right)_{b}^{\prime }$ これは分布空間と呼ばれます。^{[ 32 ]} この記事で言及されている分布空間のほとんどすべてがこのようにして生じます（例えば、緩め分布、制限、次数分布など）。 $\leq$ ある整数、正のラドン測定によって誘発される分布、 $L^{p}$ $-関数など）およびX$ の双対空間に関する表現定理は、転置を介して ${}^{\text{t}}\!\operatorname {In} _{X}:X'_{b}\to {\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ ⁠、空間の要素に直接転送される⁠ $\operatorname {Im} \left({}^{\text{t}}\!\operatorname {In} _{X}\right)$ ⁠ .

コンパクトに支えられたL ^p空間

与えられた $1\leq p\leq \infty$ ベクトル空間 $L_{\text{c}}^{p}(U)$ のコンパクトに支持 $L^{p}$ 機能について $U$ そしてそのトポロジーは空間の直接的な限界として定義される $L_{\text{c}}^{p}(K)$ 標準的なLFトポロジーが $C_{\text{c}}^{k}(U)$ が定義されました。任意のコンパクト⁠ $K\subseteq U$ ⁠、 $L^{p}(K)$ すべての要素の集合を表す $L^{p}(U)$ （これらはルベーグ可測の同値類であることを思い出してください） $L^{p}$ 機能について $U$ 代表者を擁する $f$ その支持（リコールは閉鎖である） $\{u\in U:f(x)\neq 0\}$ で $U$ ) はのサブセットです $K$ （そのような $f$ ほぼどこでも定義されている⁠ $K$ （セット） $L^{p}(K)$ は閉じたベクトル部分空間である $L^{p}(U)$ したがって、バナッハ空間であり、 $p=2,$ ヒルベルト空間であっても。^{[ 30 ]} $L_{\text{c}}^{p}(U)$ すべての結合である $L^{p}(K)$ として $K\subseteq U$ すべてのコンパクトな部分集合の範囲 $U.$ セット $L_{\text{c}}^{p}(U)$ はベクトル部分空間である $L^{p}(U)$ その要素はコンパクトにサポートされている（同値類）である $L^{p}$ 関数は定義されています $U$ （またはほぼすべての場所） $U$ （）寄付する $L_{\text{c}}^{p}(U)$ 包含マップによって誘導される最終トポロジー（直接極限トポロジー） $L^{p}(K)\to L_{\text{c}}^{p}(U)$ として $K\subseteq U$ のすべてのコンパクト部分集合にわたる範囲 $U$ この位相は正準LF位相と呼ばれ、任意の可算個の包含写像によって誘導される最終位相と等しい。 $L^{p}(K_{n})\to L_{\text{c}}^{p}(U)$ （ $n=1,2,\ldots$ ）どこ $K_{1}\subseteq K_{2}\subseteq \cdots$ 和集合が等しいコンパクト集合はどれですか？ $U.$ ^{[ 30 ]} このトポロジーは $L_{\text{c}}^{p}(U)$ LB空間（したがってLF空間でもある）に、ノルム（部分空間）トポロジーよりも厳密に細かいトポロジーを持つ空間に変換します。 $L^{p}(U)$ それによって引き起こされる。

ラドン測定

インクルージョンマップ $\operatorname {In} :C_{\text{c}}^{\infty }(U)\to C_{\text{c}}^{0}(U)$ は、その像が終域で稠密な連続射影であるため、転置 ${}^{\text{t}}\!\operatorname {In$ も連続単射です。

連続双対空間に注意 $\left(C_{\text{c}}^{0}(U)\right)_{b}^{\prime }$ これはラドン測度の空間として識別でき、連続線形汎関数間に一対一の対応関係がある。 $T\in \left(C_{\text{c}}^{0}(U)\right)_{b}^{\prime }$ そしてラドン測定に関して積分である。つまり、

もし $T\in \left(C_{\text{c}}^{0}(U)\right)_{b}^{\prime }$ するとラドン測定法が存在する $\mu$ $U$ 上で、すべての $f\in C_{\text{c}}^{0}(U),T(f)=\textstyle \int _{U}f\,d\mu ,$ そして
もし $\mu$ $U$ 上のラドン測度である場合、線形汎関数は $C_{\text{c}}^{0}(U)$ 定義される $C_{\text{c}}^{0}(U)\ni f\mapsto \textstyle \int _{U}f\,d\mu$ 連続的である。

注射によって ${}^{\text{t}}\!\operatorname {In$ $すべてのラドン測度はU$ 上の分布になります。 $f$ $U上で$ 局所的に積分可能な関数である場合、分布は $\phi \mapsto \textstyle \int _{U}f(x)\phi (x)\,dx$ これはラドン尺度であり、したがってラドン尺度は大きく重要な分布空間を形成する。

以下はラドン測度の分布の構造に関する定理であり、すべてのラドン測度は局所的な導関数の和として表すことができることを示している。 $L^{\infty }$ $U$ の関数:

定理^{[ 33 ]} —仮定する $T\in {\mathcal {D}}'(U)$ ラドン測定では、 $U\subseteq \mathbb {R} ^{n},$ させて $V\subseteq U$ 近隣住民の支援を受ける $T,$ そして $I=\{p\in \mathbb {N} ^{n}:|p|\leq n\}.$ 家族が存在する $f=(f_{p})_{p\in I}$ 地元の $L^{\infty }$ $U$ 上の関数で、 $\operatorname {supp} f_{p}\subseteq V$ すべての⁠ $p\in I$ ⁠、そして $T=\sum _{p\in I}\partial ^{p}f_{p}.$ さらに、 $T$ また、連続関数の導関数の有限和にも等しい。 $U,$ 各導関数の次数は $\leq 2n.$

ラドン濃度の上昇が認められた。

関数空間上の線形関数 $T は$ 、関数が常に正である場合に正であると呼ばれる。 $f$ $T$ の領域に属するものは非負である（つまり、 $f$ 実数値であり、 $f\geq 0$ ⁠ ) それから⁠ $T(f)\geq 0$ ⁠ 。上のすべての正の線形汎関数が $C_{\text{c}}^{0}(U)$ は必然的に連続である（つまり、必然的にラドン測度である）。^{[ 34 ]}ルベーグ測度は正のラドン測度の例である。

局所的に積分可能な関数を分布として表す

ラドン測定の特に重要なクラスの一つは、局所的に積分可能な関数によって誘導されるものです。 $f:U\to \mathbb {R}$ $U$ の任意のコンパクト部分集合 $K上で$ ルベーグ積分可能である場合、局所的に積分可能であると呼ばれる。^[^{注 15}^]これは、すべての連続関数とすべてのLp 空間を含む大きな関数クラスである。 $L^{p}$ 関数。トポロジーは ${\mathcal {D}}(U)$ は、任意の局所積分可能な関数が $f$ 連続線形関数が得られる ${\mathcal {D}}(U)$ つまり、 ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ – ここでは、 $T_{f}$ テスト関数の値 $\phi$ これはルベーグ積分によって与えられる。 $\langle T_{f},\phi \rangle =\int _{U}f\phi \,dx.$

従来、表記法を誤用する人は、 $T_{f}$ と共に $f$ ⁠、混乱が生じない限り、したがってペアリングは $T_{f}$ そして $\phi$ よく書かれる $\langle f,\phi \rangle =\langle T_{f},\phi \rangle .$

もし $f$ および $g$ は 2 つの局所的に積分可能な関数であり、関連する分布は $T_{f}$ および $T g$ は同じ要素に等しい ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ かつその場合に限り $f$ と $gは$ ほとんど至るところで等しい(例えば、Hörmander (1983 、定理 1.2.5)を参照)。同様に、すべてのラドン測度 $\mu$ $U$ 上での要素を定義する ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ テスト関数の値 $\phi$ は $\textstyle \int \phi \,d\mu .$ 上記のように、表記法を濫用してラドン測定とペアを記述するのが一般的です。 $\mu$ そしてテスト機能 $\phi$ として $\langle \mu ,\phi \rangle .$ 逆に、シュワルツの定理（リース表現定理に類似）で示されているように、非負関数上で非負であるすべての分布は、ある（正の）ラドン測度に対してこの形式になります。

分布としてのテスト関数

テスト関数自体は局所的に積分可能であり、したがって分布を定義します。テスト関数の空間 $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ は順次密である ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ 強トポロジーに関して ${\mathcal {D}}^{\prime }(U).$ ^{[ 28 ]}これは、任意の $T\in {\mathcal {D}}^{\prime }(U),$ 一連のテスト関数があり、 $(\phi _{i})_{i=1}^{\infty },$ 収束して $T\in {\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ （その強い双対位相において）分布の列として考えると、 $\langle \phi _{i},\psi \rangle \to \langle T,\psi \rangle \qquad {\text{ for all }}\psi \in {\mathcal {D}}(U).$

さらに、 $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ は、の強双対空間において順次的に稠密である。 $C^{\infty }(U)$ ⁠ .^{[ 28 ]}

コンパクトなサポートを持つ分布

インクルージョンマップ $\operatorname {In} :C_{\text{c}}^{\infty }(U)\to C^{\infty }(U)$ は、その像が終域で稠密な連続射影であるため、転置 ${}^{\text{t}}\!\operatorname {In$ も連続単射です。したがって、転置の像は、 ${\mathcal {E}}^{\prime }(U),$ 強い双対位相を備えている場合、分布の空間を形成する。 $\left(C^{\infty }(U)\right)_{b}^{\prime }$ （転置マップを介して転送される） ${}^{\text{t}}\!\operatorname {In$ なので、位相は ${\mathcal {E}}^{\prime }(U)$ この集合が継承する部分空間トポロジーよりも細かい ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ ) ^{[ 35 ]}

要素 ${\mathcal {E}}^{\prime }(U)=\left(C^{\infty }(U)\right)_{b}^{\prime }$ コンパクト台を持つ分布の空間として識別できる。^{[ 35 ]}具体的には、 $Tが$ $U$ 上の分布である場合、以下は同等である。

$T\in {\mathcal {E}}^{\prime }(U)$ ;
$T$ の支持部はコンパクトである。
制限 $T$ に $C_{\text{c}}^{\infty }(U),$ その空間が継承した部分空間トポロジーを備えている場合 $C^{\infty }(U)$ （標準的なLFトポロジーよりも粗いトポロジー）は連続である。^{[ 35 ]}
$U$ のコンパクト部分集合 $K$ が存在し、すべてのテスト関数に対して $\phi$ そのサポートは $K$ の外部に完全に含まれているため、 $T(\phi )=0.$

コンパクトサポート分布は空間上の連続線形汎関数を定義する $C^{\infty }(U)$ ; 上のトポロジーを思い出してください $C^{\infty }(U)$ 一連のテスト関数が定義される。 $\phi _{k}$ は、すべての導関数が 0 に収束する場合に限り 0 に収束する。 $\phi _{k}$ $U$ のすべてのコンパクト部分集合上で 0 に一様に収束する。逆に、この空間上のすべての連続線形汎関数はコンパクト台を持つ分布を定義することが示される。したがって、コンパクト台を持つ分布は、から拡張できる分布と同一視できる。 $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ に $C^{\infty }(U).$

有限次数の分布

させて $k\in \mathbb {N} .$ インクルージョンマップ $\operatorname {In} :C_{\text{c}}^{\infty }(U)\to C_{\text{c}}^{k}(U)$ は、その像が終域で稠密な連続射影であるため、転置 ${}^{\text{t}}\!\operatorname {In$ も連続単射です。したがって、 ${}^{\text{t}}\!\operatorname {In} ,$ で示される ${\mathcal {D}}'^{k}(U),$ 強い双対位相を備えている場合、分布の空間を形成する。 $\left(C_{\text{c}}^{k}(U)\right)_{b}^{\prime }$ （転置マップを介して転送される） ${}^{\text{t}}\!\operatorname {In$ なので ${\mathcal {D}}'^{m}(U)$ のトポロジーは、この集合が継承する部分空間トポロジーよりも細かい。 ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ ) 要素 ${\mathcal {D}}'^{k}(U)$ 次数分布は $\,\leq k.$ ^{[ 36 ]}次数の分布 $\leq 0$ ⁠、これらは次数の分布とも呼ばれます⁠ $0$ ⁠ は、まさにラドン尺度（上記で説明）である分布です。

のために $0\neq k\in \mathbb {N} ,$ 順序の分布 $k$ 次数分布 $\,\leq k$ それは順序の分布ではありません $\leq k-1$ ^{[ 36 ]}

分布が有限次数であるとは、ある整数 $k$ が存在して、それが次数の分布である場合をいう。 $\,\leq k,$ 有限次数の分布の集合は、 ${\mathcal {D}}'^{F}(U).$ 注意： $k\leq 1$ それから ${\mathcal {D}}'^{k}(U)\subseteq {\mathcal {D}}'^{l}(U)$ となることによって ${\mathcal {D}}'^{F}(U)$ はベクトル部分空間である ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ さらに、もしもの場合に限り、 ${\mathcal {D}}'^{F}(U)={\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ ⁠ .^{[ 36 ]}

有限次数分布の構造

$U$ 内のコンパクト台を持つすべての分布は、有限位数の分布である。^{[ 36 ]}実際、 $U内のすべての分布は、次の意味で$ 局所的に有限位数の分布である。 ^{[ 36 ]} $Vが$ $U$ の開かつ相対的にコンパクトな部分集合であり、 $\rho _{VU}$ $Uから$ $V$ への制限マッピングは、 ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ 下 $\rho _{VU}$ に含まれる ${\mathcal {D}}'^{F}(V)$ ⁠ .

以下は有限次分布の構造に関する定理であり、有限次分布はすべてラドン測度の導関数の和として表せることを示している。

定理^{[ 36 ]} —仮定する $T\in {\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ 有限の順序を持ち、 $I=\{p\in \mathbb {N} ^{n}:|p|\leq k\}.$ $T$ のサポートを含む $U$ の任意の開部分集合 $Vが与えられたとき、$ $U$ にはラドン測度の族が存在する。 $(\mu _{p})_{p\in I},$ 非常に $p\in I,\operatorname {supp} (\mu _{p})\subseteq V$ そして $T=\sum _{|p|\leq k}\partial ^{p}\mu _{p}.$

例。（無限次分布） $U:=(0,\infty )$ そして各テスト関数について $f,$ させて $Sf:=\sum _{m=1}^{\infty }(\partial ^{m}f)\left({\frac {1}{m}}\right).$

このとき、 $Sは$ $U$ 上の無限次分布である。さらに、 $Sは$ 上の分布に拡張することはできない。 $\mathbb {R}$ つまり、分布 $T$ は存在しない。 $\mathbb {R}$ $Tの$ $U$ への制限が $S$ に等しい。^{[ 37 ]}

緩増加分布とフーリエ変換

以下に定義されるのは、の部分空間を形成する緩増加分布である。 ${\mathcal {D}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n}),$ 分布の空間 $\mathbb {R} ^{n}.$ これは適切な部分空間です。すべての緩められた分布は分布であり、要素です。 ${\mathcal {D}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n}),$ その逆は真ではない。すべての緩増加分布はフーリエ変換を持つため、緩増加分布はフーリエ変換を研究する際に有用である。これは任意の分布には当てはまらない。 ${\mathcal {D}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n}).$

シュワルツ空間

シュワルツ空間、 ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}),$ は、無限遠で急速に減少するすべての滑らかな関数とすべての偏導関数の空間です。したがって ${\displaystyle \phi$ は、任意の導関数がシュワルツ空間に含まれるという条件を満たす。 $\phi ,$ 任意のべき乗を掛ける $|x|,$ 0に収束する $|x|\to \infty .$ これらの関数は、適切に定義されたセミノルムの族を持つ完全な TVS を形成します。より正確には、任意の多重インデックスに対して、 $\alpha$ そして $\beta$ 定義する： $p_{\alpha ,\beta }(\phi )~=~\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }\partial ^{\beta }\phi (x)\right|.$

それから $\phi$ すべての値が以下の条件を満たす場合、シュワルツ空間に含まれる。 $p_{\alpha ,\beta }(\phi )<\infty .$

半規範のファミリー $p_{\alpha ,\beta }$ シュワルツ空間上の局所凸位相を定義する。 $n=1,$ 半ノルムは実際にはシュワルツ空間上のノルムである。位相を定義するために、次の半ノルムの族を使用することもできる。^{[ 38 ]} $|f|_{m,k}=\sup _{|p|\leq m}\left(\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left\{(1+|x|)^{k}\left|(\partial ^{\alpha }f)(x)\right|\right\}\right),\qquad k,m\in \mathbb {N} .$

そうでなければ、ノルムを定義することができる ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ 経由 $\|\phi \|_{k}=\max _{|\alpha |+|\beta |\leq k}\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }\partial ^{\beta }\phi (x)\right|,\qquad k\geq 1.$

シュワルツ空間はフレシェ空間（すなわち、完備な距離化可能な局所凸空間）です。フーリエ変換が変化するため $\partial ^{\alpha }$ 乗算に $x^{\alpha }$ また逆に、この対称性は、シュワルツ関数のフーリエ変換もまたシュワルツ関数であることを意味する。

シーケンス $\{f_{i}\}$ で ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ 0に収束する ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ 関数が $(1+|x|)^{k}(\partial ^{p}f_{i})(x)$ 全体で一様に0に収束する $\mathbb {R} ^{n},$ これは、そのような数列がゼロに収束しなければならないことを意味する。 $C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}).$ ^{[ 38 ]}

${\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})$ 密度が高い ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}).$ すべての解析的シュワルツ関数のサブセットは、 ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ 同様に。^{[ 39 ]}

シュワルツ空間は核空間であり、2つの写像のテンソル積は正準全射TVS同型写像を誘導する。 ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{m})\ {\widehat {\otimes }}\ {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{m+n}),$ どこ ${\widehat {\otimes }}$ これは、単射テンソル積の完成を表します（この場合、射影テンソル積の完成と同一です）。^{[ 40 ]}

緩和分布

インクルージョンマップ $\operatorname {In$ は連続単射であり、その像は終域で稠密であるため、転置 ${}^{\text{t}}\!\operatorname {In$ も連続単射です。したがって、転置写像の像は⁠で表されます。 ${\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})$ ⁠、強い双対位相が備わっている場合、分布の空間を形成する。 $({\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}))'_{b}$ （転置マップを介して転送されます） ${}^{\text{t}}\!\operatorname {In$ ⁠、したがってトポロジーは ${\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})$ この集合が継承する部分空間トポロジーよりも細かい ${\mathcal {D}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})$ )

スペース ${\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})$ これは緩徐分布の空間と呼ばれます。これはシュワルツ空間の連続双対です。言い換えれば、分布 $T$ が緩徐分布であるのは、次の場合に限ります。 $\left({\text{ for all }}\alpha ,\beta \in \mathbb {N} ^{n}:\lim _{m\to \infty }p_{\alpha ,\beta }(\phi _{m})=0\right)\Longrightarrow \lim _{m\to \infty }T(\phi _{m})=0.$

緩増加分布の導関数は、再び緩増加分布になります。緩増加分布は、有界（または緩やかに増加する）局所積分可能関数を一般化したものです。コンパクトな台を持つすべての分布とすべての二乗積分可能関数は緩増加分布です。より一般的には、 Lp空間の要素を持つ多項式の積であるすべての関数が緩増加分布です。 $L^{p}(\mathbb {R} ^{n})$ のために $p\geq 1$ これらは緩和分布である。

緩やかな分布は、ゆっくりと成長するとも特徴づけられ、これは、 $T$ の各導関数が最大で何らかの多項式と同じ速さで成長することを意味します。この特徴づけは、シュワルツ空間における関数の導関数の急激に減少する挙動と双対であり、各導関数は $\phi$ の逆数よりも速く減衰する $|x|.$ 急激に減少する関数の例は $|x|^{n}\exp(-\lambda |x|^{\beta })$ ポジティブなもの $n,\lambda ,\beta .$

フーリエ変換

フーリエ変換を研究するには、複素数値のテスト関数と複素線形分布を考慮するのが最善です。通常の連続フーリエ変換 $F:{\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ はシュワルツ空間のTVS自己同型写像であり、フーリエ変換は、その転置として定義される。 ${}^{\text{t}}\!F:{\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n}),$ $（表記法を濫用して）これを再びF$ と表記する。したがって、緩徐分布 $T$ のフーリエ変換は次のように定義される。 $(FT)(\psi )=T(F\psi )$ すべてのシュワルツ関数について $\psi .$ $FT$ したがって、これは再び緩増加分布である。フーリエ変換は、緩増加分布の空間からそれ自身へのTVS同型写像である。この操作は、次の意味で微分と互換性がある。 $F{\dfrac {dT}{dx}}=ixFT$ また畳み込みの場合： $T$ が緩められた分布で、 $\psi$ は、ゆっくりと増加する滑らかな関数です。 $\mathbb {R} ^{n},$ $\psi T$ 再び緩和分布となり、 $F(\psi T)=F\psi *FT$ 畳み込みは $FT$ そして $F\psi$ 特に、定数関数が1 に等しい場合のフーリエ変換は、 $\delta$ 分布。

緩増加分布を導関数の和として表現する

もし $T\in {\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})$ が緩やかな分布である場合、定数が存在する。 $C>0,$ また、すべてのシュワルツ関数に対して、正の整数 $M$ と $Nが存在する。$ $\phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ $\langle T,\phi \rangle \leq C\sum \nolimits _{|\alpha |\leq N,|\beta |\leq M}\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }\partial ^{\beta }\phi (x)\right|=C\sum \nolimits _{|\alpha |\leq N,|\beta |\leq M}p_{\alpha ,\beta }(\phi ).$

この推定値と関数解析のいくつかの手法を用いることで、連続的にゆっくりと増加する関数 $F$ と多重指数が存在することを示すことができる。 $\alpha$ そのため $T=\partial ^{\alpha }F.$

分布をコンパクト集合に制限する

もし $T\in {\mathcal {D}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n}),$ そして、コンパクトセットの場合 $K\subseteq \mathbb {R} ^{n},$ コンパクト台を持つ連続関数 $Fが存在する$ $\mathbb {R} ^{n}$ $（おそらくK$ 自体よりも大きなセット上で）およびマルチインデックス $\alpha$ そのため $T=\partial ^{\alpha }F$ オン⁠ $C_{\text{c}}^{\infty }(K)$ ⁠ .

分布のテンソル積

させて $U\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ そして $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ は開集合とする。すべてのベクトル空間は体上にあると仮定する。 $\mathbb {F} ,$ どこ $\mathbb {F} =\mathbb {R}$ または $\mathbb {C} .$ のために $f\in {\mathcal {D}}(U\times V)$ すべての $u\in U$ そしてすべての $v\in V$ 以下の機能： ${\begin{alignedat}{9}f_{u}:\,&V&&\to \,&&\mathbb {F} &&\quad {\text{ and }}\quad &&f^{v}:\,&&U&&\to \,&&\mathbb {F} \\&y&&\mapsto \,&&f(u,y)&&&&&&x&&\mapsto \,&&f(x,v)\\\end{alignedat}}$

与えられた $S\in {\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ そして $T\in {\mathcal {D}}^{\prime }(V),$ 以下の関数を定義します。 ${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}\langle S,f^{\bullet }\rangle$ ただし $\langle T,f_{\bullet }\rangle \in {\mathcal {D}}(U)$ そして $\langle S,f^{\bullet }\rangle \in {\mathcal {D}}(V).$ これらの定義は、 $S\in {\mathcal {D}}'(U)$ そして $T\in {\mathcal {D}}'(V)$ （それぞれの）連続線形マップを用いて： ${\begin{alignedat}{9}\,&{\mathcal {D}}(U\times V)&&\to \,&&{\mathcal {D}}(V)&&\quad {\text{ and }}\quad &&\,&&{\mathcal {D}}(U\times V)&&\to \,&&{\mathcal {D}}(U)\\&f&&\mapsto \,&&\langle S,f^{\bullet }\rangle &&&&&&f&&\mapsto \,&&\langle T,f_{\bullet }\rangle \\\end{alignedat}}$

さらに、どちらか $S$ (それぞれ) $T$ ) はコンパクトなサポートを持ち、連続的な線形マップも誘導します。 $C^{\infty }(U\times V)\to C^{\infty }(V)$ (それぞれ) $C^{\infty }(U\times V)\to C^{\infty }(U)$ [ ⁴¹^]

分布に関するフビニの定理^{[ 41 ]} — Let $S\in {\mathcal {D}}'(U)$ そして $T\in {\mathcal {D}}'(V).$ もし $f\in {\mathcal {D}}(U\times V)$ それから $\langle S,\langle T,f_{\bullet }\rangle \rangle =\langle T,\langle S,f^{\bullet }\rangle \rangle .$

テンソル積 $S\in {\mathcal {D}}'(U)$ そして $T\in {\mathcal {D}}'(V),$ で示される $S\otimes T$ または $T\otimes S,$ 分布は $U\times V$ 定義: ^{[ 41 ]} $(S\otimes T)(f):=\langle S,\langle T,f_{\bullet }\rangle \rangle =\langle T,\langle S,f^{\bullet }\rangle \rangle .$

シュワルツ核定理

テンソル積は双線形写像を定義する ${\begin{alignedat}{4}\,&{\mathcal {D}}^{\prime }(U)\times {\mathcal {D}}^{\prime }(V)&&\to \,&&{\mathcal {D}}^{\prime }(U\times V)\\&~~~~~~~~(S,T)&&\mapsto \,&&S\otimes T\\\end{alignedat}}$ この写像の像域は、その終域の稠密な部分空間である。さらに、 $\operatorname {supp} (S\otimes T)=\operatorname {supp} (S)\times \operatorname {supp} (T).$ ^{[ 41 ]}さらに $(S,T)\mapsto S\otimes T$ 連続双線形写像を誘導する： ${\begin{alignedat}{8}&{\mathcal {E}}^{\prime }(U)&&\times {\mathcal {E}}^{\prime }(V)&&\to {\mathcal {E}}^{\prime }(U\times V)\\&{\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{m})&&\times {\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})&&\to {\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{m+n})\\\end{alignedat}}$ どこ ${\mathcal {E}}'$ はコンパクトなサポートを持つ分布の空間を表し、 ${\mathcal {S}}$ は急速に減少する関数のシュワルツ空間である。^{[ 14 ]}

シュワルツ核定理^{[ 40 ]} —以下の各標準写像（自然な方法で定義）はTVS同型写像である。 ${\begin{alignedat}{8}&{\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{m+n})~&&~\cong ~&&~{\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{m})\ &&{\widehat {\otimes }}\ {\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})~&&~\cong ~&&~L_{b}({\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{m});&&\;{\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n}))\\&{\mathcal {E}}^{\prime }(U\times V)~&&~\cong ~&&~{\mathcal {E}}^{\prime }(U)\ &&{\widehat {\otimes }}\ {\mathcal {E}}^{\prime }(V)~&&~\cong ~&&~L_{b}(C^{\infty }(U);&&\;{\mathcal {E}}^{\prime }(V))\\&{\mathcal {D}}^{\prime }(U\times V)~&&~\cong ~&&~{\mathcal {D}}^{\prime }(U)\ &&{\widehat {\otimes }}\ {\mathcal {D}}^{\prime }(V)~&&~\cong ~&&~L_{b}({\mathcal {D}}(U);&&\;{\mathcal {D}}^{\prime }(V))\\\end{alignedat}}$ ここ ${\widehat {\otimes }}$ これは、単射テンソル積の完備化を表し（この場合、これらの空間は核空間であるため、射影テンソル積の完備化と同一である）、 $L_{b}(X;Y)$ 有界部分集合上で一様収束の位相を持つ。

この結果は、次のようなヒルベルト空間には当てはまりません。 $L^{2}$ そしてその双対空間。^{[ 42 ]}なぜこのような結果は分布とテスト関数の空間では成り立つのに、ヒルベルト空間のような他の「良い」空間では成り立たないのでしょうか。 $L^{2}$ この疑問がアレクサンダー・グロタンディークに核空間、核写像、そして単射テンソル積の発見をもたらした。彼は最終的に、まさにその理由が ${\mathcal {D}}(U)$ は、シュワルツ核定理が成り立つ核空間である。ヒルベルト空間と同様に、核空間は有限次元ユークリッド空間の一般化と考えることができる。

正則関数をテスト関数として使用する

この理論の成功は、正則関数の空間をテスト関数として用いるハイパー関数の概念の研究につながった。特に佐藤幹雄の代数解析は、層理論と複数の複素変数を用いて、より洗練された理論を開発した。これにより、例えばファインマン積分のように、厳密な数学へと発展させることができる記号的手法の範囲が広がった。

注記

↑シュワルツ空間は、滑らかで急速に減少するテスト関数で構成されます。ここで「急速に減少する」とは、定義域内の点が原点から離れるにつれて、関数がどの多項式の増加よりも速く減少することを意味します。
↑些細なことを除いて（つまり、 $0$ ）マップは、もちろん常に解析的です。
↑注意 $i$ 整数であるということは $i\neq \infty .$ これは時々次のように表現されます。 $0\leq i<k+1.$ 以来 $\infty +1=\infty ,$ 不平等「 $0\leq i<k+1$ " 手段： $0\leq i<\infty$ もし $k=\infty ,$ もし $k\neq \infty$ つまり $0\leq i\leq k.$
↑コンパクトセットの画像 $K$ 連続的に $\mathbb {R}$ -値マップ（例： $x\mapsto \left|\partial ^{p}f(x)\right|$ のために $x\in U$ ) はそれ自体がコンパクトで、したがって境界のある部分集合である。 $\mathbb {R} .$ もし $K\neq \varnothing$ すると、上記で定義された各関数は $\mathbb {R}$ -値（つまり、上記の上限値はどれもと等しくない） $\infty$ ⁠ )
↑もし私たちが $\mathbb {K}$ $Uの$ すべてのコンパクト部分集合の集合であるとすると、直接極限の普遍性を使用して包含関係を結論付けることができます。 $\operatorname {In} _{K}^{U}:C^{k}(K)\to C_{\text{c}}^{k}(U)$ 連続であり、すべてのコンパクト部分集合に対して位相埋め込みである。 $K\subseteq U.$ しかし、もし私たちが $\mathbb {K}$ が、この記事で先に述べたすべての性質を持つ、 $U$ の相対的にコンパクトな開部分集合の可算増加列の閉包の集合であるとすると、我々は直ちに次のことを推論する。 $C_{\text{c}}^{k}(U)$ はハウスドルフ局所凸厳密LF空間（そして厳密LB空間でもある）である。 $k\neq \infty$ これらの事実はすべて、直接的なシステムを使わなくても直接証明できます（ただし、より多くの作業が必要です）。
↑任意のTVS $X$ （計量可能か否かを問わず）について、完全性の概念は、減算演算のみを用いて定義される、いわゆる「正準均一性」に完全に依存します（詳細は「完全位相ベクトル空間」の記事を参照）。このように、完全TVSの概念は、いかなる計量の存在も必要としません。ただし、TVS $Xが$ 計量可能であり、かつ $d$ is any translation-invariant metric on $X$ that defines its topology, then $X$ is complete as a TVS (i.e. it is a complete uniform space under its canonical uniformity) if and only if $(X,d)$ is a complete metric space. So if a TVS $X$ happens to have a topology that can be defined by such a metric $d$ then $d$ may be used to deduce the completeness of $X$ but the existence of such a metric is not necessary for defining completeness and it is even possible to deduce that a metrizable TVS is complete without ever even considering a metric (e.g. since the Cartesian product of any collection of complete TVSs is again a complete TVS, we can immediately deduce that the TVS $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} },$ which happens to be metrizable, is a complete TVS; note that there was no need to consider any metric on ⁠ $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ ⁠).
↑One reason for giving $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ the canonical LF topology is because it is with this topology that $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ そしてその連続双対空間はどちらも核空間となり、多くの優れた性質を持ち、有限次元空間の一般化と見なすことができます（比較のために、ノルム空間は多くの「優れた」性質を持つ有限次元空間の別の一般化です）。より詳細には、有限次元ユークリッド空間に特に類似した位相ベクトル空間（TVS）のクラスが2つあります。バナッハ空間（特にヒルベルト空間）と核モンテル空間です。モンテル空間は、すべての閉集合と有界集合がコンパクトであるTVSのクラスです（これはハイネ・ボレル定理を一般化したものです）。これは、無限次元バナッハ空間にはない性質です。つまり、無限次元TVSはバナッハ空間とモンテル空間の両方にはなり得ません。また、無限次元TVSはバナッハ空間と核空間の両方にはなり得ません。すべての有限次元ユークリッド空間は核モンテルヒルベルト空間ですが、無限次元空間に入ると、これら2つのクラスは分離します。特に核空間は、有限次元TVSの多くの「優れた」性質（例えばシュワルツ核定理）を持ち、無限次元バナッハ空間にはそれが欠けています（詳細については、「核空間」の記事で示されている性質、十分条件、および特徴付けを参照してください）。この意味で、核空間は有限次元空間の「代替的な一般化」と言えます。また、一般的に、実際にはほとんどの「自然に発生する」TVSは、通常バナッハ空間か核空間のいずれかです。通常、滑らかさ（つまり無限微分可能性）に関連付けられているTVSのほとんどは、 $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ そして $C^{\infty }(U)$ ) は最終的に核 TVS になるが、有限連続微分可能性に関連する TVS (例えば、 $C^{k}(K)$ $K$ コンパクトと $k\neq \infty$ ) は、バナッハ空間のような非核空間になることが多い。
↑トポロジーは $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ は計量化可能ではなく、線形汎関数は $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ 連続であるのは、それが逐次連続である場合に限る。
1 2ヌル列とは、原点に収束する列のことです。
1 2シーケンス $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ $は0$ にマッキー収束すると言われている $X,$ 分岐する数列が存在する場合 $r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to \infty$ 正の実数で、 $\left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ は有界集合である $X.$
↑もし ${\mathcal {P}}$ 通常の関数比較の下では、これも有向集合であるため、有限集合は単一の要素から構成されると考えることができます。
↑関数解析において、強双対位相は、連続双対空間に配置される「標準」または「デフォルト」の位相であることが多い。 $X',$ ここで、 $Xが$ ノルム空間である場合、この強双対位相は、上の通常のノルム誘導位相と同じである。 $X'$ ⁠ .
↑技術的には、トポロジーは強い双対トポロジーよりも粗く、同時に弱い*トポロジーよりも細かい必要があります。
↑線形写像が有界であるのは、それがヌルシーケンスを有界シーケンスに写像する場合に限ることを思い出してください。
↑このような関数クラスの詳細については、局所的に積分可能な関数の項目を参照してください。

参考文献

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さらに読む

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ウラジミロフ、VS（2001）[1994]、「一般化関数、空間」、数学百科事典、EMS Press。
ウラジミロフ、VS（2001）[1994]、「一般化関数、aの導関数」、数学百科事典、EMS Press。
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オーベルグッゲンベルガー、マイケル（2001）[1994]、「一般化関数代数」、数学百科事典、EMS Press。

[1] シュワルツ空間は、滑らかで急速に減少するテスト関数で構成されます。ここで「急速に減少する」とは、定義域内の点が原点から離れるにつれて、関数がどの多項式の増加よりも速く減少することを意味します。

[2] 些細なことを除いて（つまり、 $0$ ）マップは、もちろん常に解析的です。

[5] 注意 $i$ 整数であるということは $i\neq \infty .$ これは時々次のように表現されます。 $0\leq i<k+1.$ 以来 $\infty +1=\infty ,$ 不平等「 $0\leq i<k+1$ " 手段： $0\leq i<\infty$ もし $k=\infty ,$ もし $k\neq \infty$ つまり $0\leq i\leq k.$

[6] コンパクトセットの画像 $K$ 連続的に $\mathbb {R}$ -値マップ（例： $x\mapsto \left|\partial ^{p}f(x)\right|$ のために $x\in U$ ) はそれ自体がコンパクトで、したがって境界のある部分集合である。 $\mathbb {R} .$ もし $K\neq \varnothing$ すると、上記で定義された各関数は $\mathbb {R}$ -値（つまり、上記の上限値はどれもと等しくない） $\infty$ ⁠ )

[14] もし私たちが $\mathbb {K}$ $Uの$ すべてのコンパクト部分集合の集合であるとすると、直接極限の普遍性を使用して包含関係を結論付けることができます。 $\operatorname {In} _{K}^{U}:C^{k}(K)\to C_{\text{c}}^{k}(U)$ 連続であり、すべてのコンパクト部分集合に対して位相埋め込みである。 $K\subseteq U.$ しかし、もし私たちが $\mathbb {K}$ が、この記事で先に述べたすべての性質を持つ、 $U$ の相対的にコンパクトな開部分集合の可算増加列の閉包の集合であるとすると、我々は直ちに次のことを推論する。 $C_{\text{c}}^{k}(U)$ はハウスドルフ局所凸厳密LF空間（そして厳密LB空間でもある）である。 $k\neq \infty$ これらの事実はすべて、直接的なシステムを使わなくても直接証明できます（ただし、より多くの作業が必要です）。

[17] 任意のTVS $X$ （計量可能か否かを問わず）について、完全性の概念は、減算演算のみを用いて定義される、いわゆる「正準均一性」に完全に依存します（詳細は「完全位相ベクトル空間」の記事を参照）。このように、完全TVSの概念は、いかなる計量の存在も必要としません。ただし、TVS $Xが$ 計量可能であり、かつ $d$ is any translation-invariant metric on $X$ that defines its topology, then $X$ is complete as a TVS (i.e. it is a complete uniform space under its canonical uniformity) if and only if $(X,d)$ is a complete metric space. So if a TVS $X$ happens to have a topology that can be defined by such a metric $d$ then $d$ may be used to deduce the completeness of $X$ but the existence of such a metric is not necessary for defining completeness and it is even possible to deduce that a metrizable TVS is complete without ever even considering a metric (e.g. since the Cartesian product of any collection of complete TVSs is again a complete TVS, we can immediately deduce that the TVS $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} },$ which happens to be metrizable, is a complete TVS; note that there was no need to consider any metric on ⁠ $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ ⁠).

[18] One reason for giving $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ the canonical LF topology is because it is with this topology that $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ そしてその連続双対空間はどちらも核空間となり、多くの優れた性質を持ち、有限次元空間の一般化と見なすことができます（比較のために、ノルム空間は多くの「優れた」性質を持つ有限次元空間の別の一般化です）。より詳細には、有限次元ユークリッド空間に特に類似した位相ベクトル空間（TVS）のクラスが2つあります。バナッハ空間（特にヒルベルト空間）と核モンテル空間です。モンテル空間は、すべての閉集合と有界集合がコンパクトであるTVSのクラスです（これはハイネ・ボレル定理を一般化したものです）。これは、無限次元バナッハ空間にはない性質です。つまり、無限次元TVSはバナッハ空間とモンテル空間の両方にはなり得ません。また、無限次元TVSはバナッハ空間と核空間の両方にはなり得ません。すべての有限次元ユークリッド空間は核モンテルヒルベルト空間ですが、無限次元空間に入ると、これら2つのクラスは分離します。特に核空間は、有限次元TVSの多くの「優れた」性質（例えばシュワルツ核定理）を持ち、無限次元バナッハ空間にはそれが欠けています（詳細については、「核空間」の記事で示されている性質、十分条件、および特徴付けを参照してください）。この意味で、核空間は有限次元空間の「代替的な一般化」と言えます。また、一般的に、実際にはほとんどの「自然に発生する」TVSは、通常バナッハ空間か核空間のいずれかです。通常、滑らかさ（つまり無限微分可能性）に関連付けられているTVSのほとんどは、 $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ そして $C^{\infty }(U)$ ) は最終的に核 TVS になるが、有限連続微分可能性に関連する TVS (例えば、 $C^{k}(K)$ $K$ コンパクトと $k\neq \infty$ ) は、バナッハ空間のような非核空間になることが多い。

[22] トポロジーは $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ は計量化可能ではなく、線形汎関数は $C_{\text{c}}^{\infty }(U)$ 連続であるのは、それが逐次連続である場合に限る。

[Def_null_sequence-23] 1 2ヌル列とは、原点に収束する列のことです。

[Def_of_Mackey_convergent-24] 1 2シーケンス $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ $は0$ にマッキー収束すると言われている $X,$ 分岐する数列が存在する場合 $r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to \infty$ 正の実数で、 $\left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ は有界集合である $X.$

[25] もし ${\mathcal {P}}$ 通常の関数比較の下では、これも有向集合であるため、有限集合は単一の要素から構成されると考えることができます。

[26] 関数解析において、強双対位相は、連続双対空間に配置される「標準」または「デフォルト」の位相であることが多い。 $X',$ ここで、 $Xが$ ノルム空間である場合、この強双対位相は、上の通常のノルム誘導位相と同じである。 $X'$ ⁠ .

[28] 技術的には、トポロジーは強い双対トポロジーよりも粗く、同時に弱い*トポロジーよりも細かい必要があります。

[39] 線形写像が有界であるのは、それがヌルシーケンスを有界シーケンスに写像する場合に限ることを思い出してください。

[49] このような関数クラスの詳細については、局所的に積分可能な関数の項目を参照してください。

[FOOTNOTETrèves2006222–223-3] 1 2 Treves 2006、222–223ページ。

[Grubb_2009_page=14-4] 1 2例えば、 Grubb 2009 、p. 14を参照。

[FOOTNOTETrèves200685–89-7] 1 2 Treves、2006 年、85 ～ 89 ページ。

[FOOTNOTETrèves2006142–149-8] 1 2 Treves、2006 年、142 ～ 149 ページ。

[FOOTNOTETrèves2006356–358-9] Treves 2006、356–358 ページ。

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[FOOTNOTETrèves2006247–252-13] 1 2 Treves、2006 年、247 ～ 252 ページ。

[FOOTNOTETrèves2006126–134-15] Treves 2006、126–134 ページ。

[FOOTNOTETrèves2006136–148-16] 1 2 3 Treves、2006 年、136 ～ 148 ページ。

[FOOTNOTERudin1991149–155-19] ルーディン 1991 年、149 ～ 155 ページ。

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[27] 例えば、 Schaefer & Wolff 1999 、p. 173を参照。

[Gabriyelyan_2017-29] 1 2 3 4 5 Gabriyelyan, Saak「厳密LF空間の位相的性質とモンテル厳密LF空間の強双対」 (2017)

[Gabriyelyan_Kakol_and·Leiderman-30] 1 2 Gabriyelyan, SS Kakol J.、およびLeiderman, A.「位相群と位相ベクトル空間に対する強いピトケエフ特性」

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[Encyc._Math_TVS-35] 「位相ベクトル空間」。数学百科事典。2020年9月6日取得。モンテル空間であるため、パラコンパクトであり、したがって正規である。

[Shirai_1959-36] 1 2 T. Shirai、Sur les Topologies des Espaces de L. Schwartz、Proc.日本アカデミー35 (1959)、31-36。

[37] Gel'fand & Shilov 1966–1968 、v. 1、§1.2による

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[43] Strichartz 1994 、§2.3 ;トレヴ 2006。

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[FOOTNOTETrèves2006509–510-57] Treves 2006、509–510 ページ。

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表記法

テスト関数と分布の定義

コンパクトセットKの選択肢

C k ( U )上のトポロジー

トポロジーを定義するメトリック

C k ( K )上のトポロジー

C k ( K ) のトポロジーの自明な拡張とUからの独立性

標準的なLFトポロジー

直接限界によって定義されるトポロジー

原点の近傍によって定義されるトポロジー

微分演算子によって定義されるトポロジー

標準的なLFトポロジーの特性

正準LFトポロジーのKからの独立性

普遍的な財産

正準LFトポロジーのUへの依存性

境界付き部分集合

非計量化可能性

空間間の関係性

その他の物件

分布

分布の特性

分布空間上の位相

位相的性質

位相ベクトル空間圏

収束シーケンス

収束シーケンスとそのトポロジー記述における不十分性

どのような配列が特徴づけられるか

分布のシーケンス

その他の物件

分布の局所化

予備知識：線形演算子の転置

オープンサブセットへの拡張と制限

分布の空間

コンパクトに支えられたL p空間

ラドン測定

局所的に積分可能な関数を分布として表す

コンパクトなサポートを持つ分布

有限次数の分布

緩増加分布とフーリエ変換

分布のテンソル積

シュワルツ核定理

正則関数をテスト関数として使用する

関連項目

注記

参考文献

参考文献

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分布

位相ベクトル空間

開集合上の

C ^k ( U )上のトポロジー

C ^k ( K )上のトポロジー

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正準LFトポロジーの $Kからの独立性$

正準LFトポロジーの $Uへの依存性$

コンパクトに支えられたL ^p空間