シュワルツ核定理

数学において、シュワルツ核定理は、1952年にローラン・シュワルツによって発表された一般化関数の理論における基本的な結果である。これは、シュワルツによって導入された一般化関数（シュワルツ超関数）には、テスト関数の空間上のすべての合理的な双線型形式を含む2変数理論があることを大まかに述べている。この空間自体は、コンパクトな台の滑らかな関数で構成される。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

とを の開集合とする。任意の超関数は連続線型写像を定義し、 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle k\in {\mathcal {D}}'(X\times Y)}$${\displaystyle K\colon {\mathcal {D}}(Y)\to {\mathcal {D}}'(X)}$

任意の に対して成り立つ。逆に、任意のそのような連続線型写像 に対して、 ( 1 ) が成り立つような分布がただ 1 つ存在する。分布は写像 の核である。 ${\displaystyle u\in {\mathcal {D}}(X),v\in {\mathcal {D}}(Y)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle k\in {\mathcal {D}}'(X\times Y)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle K}$

分布が与えられた場合、線形写像は常に次のように非公式に 書くことができる。${\displaystyle k\in {\mathcal {D}}'(X\times Y)}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle Kv=\int _{Y}k(\cdot ,y)v(y)dy}$

となることによって

${\displaystyle \langle Kv,u\rangle =\int _{X}\int _{Y}k(x,y)v(y)u(x)dydx}$。

積分作用素の理論における 2 変数の従来の核関数は、 より特異であることが許される一般化された関数類似物を含むように範囲が拡張されており、 からその双対分布空間への作用素の大規模なクラスを構築できます。定理のポイントは、拡張された作用素のクラスは、最小連続条件に従うすべての作用素を含むものとして抽象的に特徴付けることができると主張することです。 の双線型形式は、イメージ分布とテスト関数を組み合わせることによって生じます。 ${\displaystyle K(x,y)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

簡単な例としては、テスト関数空間を自然に埋め込むこと、つまり、すべてのテスト関数を対応する分布に送ることは、デルタ分布に対応する。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [f]}$

${\displaystyle \delta (x-y)}$

ディラックのデルタ関数 に関して、下線付きのユークリッド空間の対角線に集中しています。これはせいぜい観察ですが、分布理論がどのように範囲を広げるかを示しています。積分演算子はそれほど「特異」ではありません。別の言い方をすると、連続カーネルの場合、上の連続関数などの空間上にコンパクトな演算子のみが作成されるということです。演算子はコンパクトとはほど遠く、そのカーネルは直感的に言えば、対角線に沿ってスパイクを持ち、他の場所では消える 上の関数によって近似されます。 ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle K}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle I}$${\displaystyle [0,1]\times [0,1]}$${\displaystyle x=y}$

この結果は、関数解析の伝統的な領域内で、超関数の形成が「閉包」という主要な性質を持つことを意味します。これは、シュワルツの超関数理論がより広く見られる数学的解析に適していることを強力に証明するものと解釈されました ( Jean Dieudonnéのコメント)。彼は、 Éléments d'analyse第 7 巻 3 ページで、この定理には積分作用素と同等の立場で微分作用素が含まれていることを指摘し、これがおそらく関数解析の最も重要な現代の結果であると結論付けています。彼はすぐにその声明を修正し、関数のサポートに関する単調性という性質 (これは微分の場合は明らかです) のために、設定が微分作用素には「広大」すぎると述べています。特異なサポートに関する単調性でさえ、一般的な場合の特徴ではありません。その検討は、現代の擬似微分作用素の理論の方向につながります。

ディウドネは、その本のセクション 23.9 から 23.12 で、滑らかな多様体に対して有効なシュワルツの結果のバージョンと追加の裏付けとなる結果を証明しています。

核空間の理論の多くは、アレクサンダー・グロタンディークがシュワルツ核定理を研究する中で発展させ、1955 年にグロタンディークで発表されました。定理の一般化は次のようになります。

シュワルツ核定理: ^[1] Xが核、Yが局所凸、v が上の連続双線型形式であるとする。すると、v はの形式空間から発生し、ここでおよび はおよびの適切な等連続部分集合である。同様に、v はの形式である。 ${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle X_{A^{\prime }}^{\prime }{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y_{B^{\prime }}^{\prime }}$${\displaystyle A^{\prime }}$${\displaystyle B^{\prime }}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle Y^{\prime }}$

${\displaystyle v(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}\left\langle x,x_{i}^{\prime }\right\rangle \left\langle y,y_{i}^{\prime }\right\rangle }$全ての${\displaystyle (x,y)\in X\times Y}$

ここで、およびのそれぞれは等連続です。さらに、これらのシーケンスは、それぞれおよびでヌルシーケンス（つまり、0 に収束する）と見なすことができます。 ${\displaystyle \left(\lambda _{i}\right)\in l^{1}}$${\displaystyle \{x_{1}^{\prime },x_{2}^{\prime },\ldots \}}$${\displaystyle \{y_{1}^{\prime },y_{2}^{\prime },\ldots \}}$${\displaystyle X_{A^{\prime }}^{\prime }}$${\displaystyle Y_{B^{\prime }}^{\prime }}$

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