コンパクトに生成された空間

位相幾何学において、位相空間は、 その位相が以下に詳述する方法でコンパクト空間によって決定される場合、コンパクト生成空間またはk 空間と呼ばれます。実際には、このような空間には一般的に同意された定義はなく、さまざまな著者が互いに正確に同等ではない定義のバリエーションを使用しています。また、著者によっては、一方または両方の用語の定義に何らかの分離公理 (ハウスドルフ空間や弱ハウスドルフ空間など) を含めていますが、そうでない著者もいます。 ${\displaystyle X}$

最も単純な定義では、コンパクト生成空間とは、そのコンパクト部分空間の族と首尾一貫した空間であり、任意の集合に対してが で開いている場合、かつ任意のコンパクト部分空間 に対してが で開いている場合に限ります。 他の定義では、コンパクト空間 から への連続写像の族を使用し、その位相がこの写像の族に関して最終位相と一致する場合、コンパクト生成であると宣言します。また、定義の他のバリエーションでは、コンパクト空間 をコンパクトハウスドルフ空間に置き換えます。 ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A\cap K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K\subseteq X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

コンパクト生成空間は、位相空間のカテゴリの欠点のいくつかを改善するために開発されました。特に、いくつかの定義の下では、コンパクト生成空間は、関心のある典型的な空間を含みながらデカルトの閉じたカテゴリを形成するため、代数位相幾何学での使用に便利です。

を位相空間とする。ここで は位相であり、つまり 内のすべての開集合の集合である。${\displaystyle (X,T)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle X.}$

文献には、コンパクト生成空間またはk 空間の定義が複数 (非同等) 存在します。これらの定義は共通の構造を共有しており、いくつかのコンパクト空間からへの連続写像の適切に指定された族から始まります。以下に詳述するように、 さまざまな定義は族の選択が異なります。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle {\mathcal {F}},}$

族に関する上の最終的な位相は のk-化と呼ばれる 。 のすべての関数がのk-化に連続であるため、 は元の位相よりも細かい（または等しい）ものとなる。 k-化における開集合は と呼ばれる。${\displaystyle T_{\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle T.}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle (X,T),}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$におけるk開集合は、の任意の値に対してが開となる集合である 同様に、${\displaystyle X;}$${\displaystyle U\subseteq X}$${\displaystyle f^{-1}(U)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle f:K\to X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$におけるk閉集合は、対応する特徴付けを伴うk化における閉集合である。空間では、すべての開集合はk開であり、すべての閉集合はk閉である。この空間は、新しい位相とともに^[1]で表される${\displaystyle X}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle T_{\mathcal {F}}}$${\displaystyle kX.}$

空間は、 の位相が のすべての写像によって決定される場合、つまり 上の位相がその k-化に等しい場合、コンパクト生成空間またはk-空間(族 に関して)と呼ばれます。同様に、すべての k-開集合が で開いている場合、またはすべての k-閉集合が で閉じている場合、または簡単に言うと、${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X;}$${\displaystyle kX=X.}$

族 のさまざまな選択については、 の特定の部分空間、たとえばすべてのコンパクト部分空間、またはすべてのコンパクト ハウスドルフ部分空間からすべての包含写像を取ることができます。これは、の部分空間の集合を選択することに相当します。すると、その位相がその部分空間の族と整合しているときに、 空間はまさにコンパクトに生成されます。つまり、集合は、任意の に対して で交差が開いている(または閉じている)ときに、まさに で開いています。別の選択肢は 、あるタイプの任意の空間からのすべての連続写像の族を、たとえば任意のコンパクト空間からのすべてのそのような写像、または任意のコンパクト ハウスドルフ空間からのすべての写像に取ることです。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A\cap K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K\in {\mathcal {C}}.}$${\displaystyle X,}$

への連続写像の族に対するこれらの異なる選択は、コンパクト生成空間の異なる定義につながります。さらに、定義の一部として分離公理（ハウスドルフや弱いハウスドルフなど）を満たすことを要求する著者もいれば、そうでない著者もいます。この記事の定義には、そのような分離公理は含まれません。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

追加の一般的な注意として、空間が（ に関して）コンパクトに生成されることを示すために役立つ十分な条件は、 がに関してコンパクトに生成されるようなサブファミリを見つけることです 。コヒーレント空間の場合、それは空間が部分空間のファミリのサブファミリとコヒーレントであることを示すことに対応します。たとえば、これは局所的にコンパクトな空間がコンパクトに生成されることを示す 1 つの方法を提供します。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {G}}.}$

以下に、より一般的に使用される定義のいくつかを、より具体的なものから順に詳しく説明します。

ハウスドルフ空間の場合、これら3つの定義はすべて同等である。したがって、用語コンパクト生成ハウスドルフ空間は曖昧さがなく、コンパクト生成空間（どの定義でも）であり、ハウスドルフ。

非公式には、その位相がそのコンパクト部分空間によって決定される空間、またはこの場合は同等に、任意のコンパクト空間からのすべての連続写像によって決定される空間。

位相空間は、以下の同値な条件のいずれかを満たす場合、コンパクト生成空間またはk空間と呼ばれる: ^{[2] [3] [4]}${\displaystyle X}$

(1) 上の位相はそのコンパクト部分空間の族と 整合している。つまり、次の性質を満たす。${\displaystyle X}$

集合が で開いている（または閉じている）のは、すべてのコンパクト部分空間に対して で交差が開いている（または閉じている）ときとまったく同じである。${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A\cap K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K\subseteq X.}$

（２）上の位相は、すべてのコンパクト空間からのすべての連続写像の族に関する最終位相と一致する。${\displaystyle X}$${\displaystyle f:K\to X}$${\displaystyle K.}$

(3)はコンパクト空間の位相和の商空間である。${\displaystyle X}$

(4)は弱局所コンパクト空間の商空間である。${\displaystyle X}$

最後の位相幾何学の記事で説明したように、任意のコンパクト空間からの連続写像の族は集合ではなく適切なクラスであるにもかかわらず、条件（2）は明確に定義されています。

条件（１）と（２）の同値性は、部分空間からの包含はすべて連続写像であるという事実から導かれる。一方、コンパクト空間からの連続写像はすべてコンパクト像を持ち、したがってコンパクト部分空間を${\displaystyle f:K\to X}$${\displaystyle K}$${\displaystyle f(K)}$${\displaystyle f(K)}$${\displaystyle X.}$

非公式には、任意のコンパクト ハウスドルフ空間からのすべての連続写像によって位相が決定される空間。

位相空間は、以下の同値な条件のいずれかを満たす場合、コンパクト生成空間またはk空間と呼ばれる: ^{[5] [6] [7]}${\displaystyle X}$

(1) 上の位相は、すべてのコンパクトハウスドルフ空間からのすべての連続写像の族に関する最終位相と一致する 。言い換えれば、それは条件を満たす。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle f:K\to X}$${\displaystyle K.}$

集合がで開集合（または閉集合）であるとき、任意のコンパクトハウスドルフ空間および任意の連続写像に対して が で開集合（または閉集合）であるときとまったく同じである。${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f^{-1}(A)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle f:K\to X.}$

(2)はコンパクトハウスドルフ空間の位相和の商空間である。${\displaystyle X}$

(3)は局所コンパクトハウスドルフ空間の商空間である。${\displaystyle X}$

最後の位相幾何学の記事で説明したように、任意のコンパクトハウスドルフ空間からの連続写像の族は集合ではなく適切なクラスであるにもかかわらず、条件(1)は明確に定義されている。^[5]

定義 2 を満たすすべての空間は、定義 1 も満たします。逆は真ではありません。たとえば、Arens-Fort 空間の1 点コンパクト化はコンパクトであるため、定義 1 を満たしますが、定義 2 は満たしません。

定義 2 は代数位相幾何学でより一般的に使用される定義です。この定義は、しばしば弱ハウスドルフ性質と組み合わせて、コンパクトに生成された弱ハウスドルフ空間のカテゴリ CGWH を形成します。

非公式には、その位相がコンパクトなハウスドルフ部分空間によって決定される空間。

位相空間は、その位相がそのコンパクトなハウスドルフ部分空間の族と整合している場合、コンパクト生成空間またはk 空間と呼ばれます。つまり、次の性質を満たします。 ${\displaystyle X}$

集合が で開いている（または閉じている）のは、すべてのコンパクトなハウスドルフ部分空間に対して、 で交差が開いている（または閉じている）ときとまったく同じである。${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A\cap K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K\subseteq X.}$

定義3を満たすすべての空間は定義2も満たす。逆は真ではない。例えば、位相を持つシェルピンスキー空間は 定義3を満たさない。なぜなら、そのコンパクトなハウスドルフ部分空間はシングルトンとであり、それらが誘導するコヒーレント位相は離散位相になるからである。一方、シェルピンスキー空間は定義2を満たす。なぜなら、シェルピンスキー空間は、すべての点を同一視することによって得られるコンパクト区間の商空間に同相であるからである。${\displaystyle X=\{0,1\}}$${\displaystyle \{\emptyset ,\{1\},X\}}$${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle \{1\}}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle (0,1].}$

定義 3 は、それ自体では他の 2 つの定義ほど有用ではありません。他の定義によって暗示される特性の一部が欠けているからです。たとえば、定義 1 または定義 2 を満たす空間のすべての商空間は、同じ種類の空間です。しかし、これは定義 3 には当てはまりません。

しかし、弱いハウスドルフ空間では定義2と3は同値である。^[8] したがって、カテゴリCGWHは、弱いハウスドルフ特性と定義3を組み合わせることによって定義することもでき、定義2よりも簡単に述べて扱うことができるかもしれない。

コンパクト生成空間は、もともとドイツ語のkompaktにちなんでk-空間と呼ばれていました。これらはHurewiczによって研究され、Kelley の General Topology、Dugundji の Topology、Félix、Halperin、Thomas の Rational Homotopy Theory に記載されています。

1960年代に彼らがより深く研究する動機となったのは、位相空間の通常のカテゴリのよく知られた欠陥でした。これは直積閉カテゴリにはならず、識別写像の通常の直積は必ずしも識別写像ではなく、CW複体の通常の積はCW複体である必要はありません。^{[9]対照的に、単体集合のカテゴリには、直積閉であることなど、多くの便利な特性がありました。この状況を修復する研究の歴史は、空間の便利なカテゴリに関する}nラボの記事に記載されています。

この状況を改善するための最初の提案 (1962) は、コンパクトに生成されたハウスドルフ空間の完全なサブカテゴリ(実際には直交閉空間) に制限することだった。これらのアイデアは、ド フリースの双対定理を拡張したものである。指数オブジェクトの定義は以下に示す。もう 1 つの提案 (1964) は、通常のハウスドルフ空間を考慮しながら、コンパクト サブセット上で連続な関数を使用するというものだった。

これらの考え方は非ハウスドルフの場合にも一般化される。 ^{[10]つまり、コンパクトに生成された空間の定義が異なる。ハウスドルフ空間の}識別空間はハウスドルフである必要がないので、これは有用である。 ^[11]

現代の代数的位相幾何学では、この性質は最も一般的には弱ハウスドルフ性質と結びついており、そのため、コンパクトに生成された弱ハウスドルフ空間のカテゴリ CGWHで作業します。

定義のセクションで説明したように、コンパクト生成空間については文献で広く受け入れられている定義はありませんが、そのセクションの定義 1、2、3 は最も一般的に使用されています。結果をより簡潔に表現するために、このセクションではCG-1、CG-2、CG-3という略語を使用して、3 つの定義をそれぞれ明確に表します。これは以下の表にまとめられています (それぞれに対応するその他の条件については定義のセクションを参照してください)。

ハウスドルフ空間の場合、特性 CG-1、CG-2、CG-3 は同等です。このような空間は、曖昧さなく コンパクトに生成されたハウスドルフと呼ぶことができます。

すべての CG-3 空間は CG-2 であり、すべての CG-2 空間は CG-1 です。以下のいくつかの例で示されるように、逆の含意は一般には当てはまりません。

弱いハウスドルフ空間では、CG-2とCG-3の性質は同値である。^[8]

順次空間はCG-2である。^[12] これには第一可算空間、アレクサンドロフ離散空間、有限空間が含まれる。

すべての CG-3 空間はT ₁空間です(単一点が与えられたとき、すべてのコンパクト ハウスドルフ 部分空間との交差は空集合または単一の点であり、これは で閉じているため、単一点は で閉じています)。有限 T ₁空間は離散位相 を持ちます。したがって、有限空間はすべて CG-2 ですが、その中で CG-3 空間は離散位相を持つ空間です。シェルピンスキー空間などの有限の非離散空間は、CG-3 ではない CG-2 空間の例です。 ${\displaystyle \{x\}\subseteq X,}$${\displaystyle K\subseteq X}$${\displaystyle K;}$${\displaystyle X}$

コンパクト空間と弱局所コンパクト空間は CG-1 ですが、必ずしも CG-2 ではありません (以下の例を参照)。

コンパクト生成ハウスドルフ空間には、CG-1 または CG-2 として上記で言及したさまざまな空間クラスのハウスドルフ版、つまりハウスドルフ順序空間、ハウスドルフ第一可算空間、局所コンパクトハウスドルフ空間などが含まれます。特に、計量空間と位相多様体はコンパクト生成されます。CW 複体もハウスドルフコンパクト生成されます。

コンパクト生成されない空間の例を示すには、反コンパクト^[13]空間、つまりコンパクト部分空間がすべて有限である空間を調べると便利です。空間が反コンパクトで T ₁の場合、 のすべてのコンパクト部分空間は離散位相を持ち、 の対応する k 化は離散位相です。したがって、任意の反コンパクト T ₁非離散空間は CG-1 ではありません。例としては、次のものがあります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

• 非可算空間上の可算位相。
• 非可算離散空間（フォルティッシモ空間とも呼ばれる）の 1 点リンデロフィケーション。
• アーレンズフォートスペース。
• アペールのスペース。
• 「シングルウルトラフィルタートポロジー」^[14]

コンパクトに生成されない (ハウスドルフ) 空間の他の例としては、次のものがあります。

• （それぞれが通常のユークリッド位相を持つ）の無数のコピーの積。[ ^15]${\displaystyle \mathbb {R} }$
• の無数のコピー(それぞれ離散位相)の積。${\displaystyle \mathbb {Z} }$

CG-1 であり CG-2 ではない空間の例として、CG-1 ではない任意の空間 (たとえば、Arens-Fort 空間または のコピーの無数積) から始めて、を1 点コンパクト化とすることができます。 この空間はコンパクトであるため、CG-1 です。しかし、開いた部分空間は CG-2 特性を継承し、 はCG-2 ではないの開いた部分空間であるため、これはCG-2 ではありません。 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$

(略語 CG-1、CG-2、CG-3 の意味については、「例」セクションを参照してください。)

コンパクト生成空間の部分空間は、一般にはコンパクト生成ではない。ハウスドルフの場合も例外ではない。たとえば、が最初の非可算順序数である順序数空間 は コンパクト ハウスドルフであり、したがってコンパクト生成である。 を除くすべての極限順序数を除いたその部分空間は、フォルティッシモ空間と同型であるが、これはコンパクト生成ではない（例のセクションで述べたように、フォルティッシモ空間 は反コンパクトかつ非離散である）。^[16] もう 1 つの例は、アレン空間^{[17] [18]であり、これは順次ハウスドルフであるため、コンパクト生成である。これは部分空間として}アレン-フォート空間を含み、これはコンパクト生成ではない。 ${\displaystyle \omega _{1}+1=[0,\omega _{1}]}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{1}}$

CG-1 空間では、すべての閉集合は CG-1 です。開集合については同じことが当てはまりません。たとえば、例のセクションで示したように、CG-1 ではない空間が多数ありますが、それらの空間は1 点コンパクト化(CG-1) において開いています。

CG-2空間では、すべての閉集合はCG-2である。また、すべての開集合もCG-2である（局所コンパクトハウスドルフ空間には商写像があり、開集合に対してへの制限も局所コンパクトハウスドルフ空間上の商写像であるため）。より一般的には、すべての局所閉集合、つまり開集合と閉集合の交差に対しても同じことが言える。 ^[19]${\displaystyle X,}$${\displaystyle q:Y\to X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle U\subseteq X}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q^{-1}(U)}$

CG-3 空間では、すべての閉集合は CG-3 です。

位相空間族の非交差和が CG -1となるのは、各空間がCG-1である場合に限ります。対応する記述はCG-2 ^{[20] [21]}およびCG-3にも当てはまります。 ${\displaystyle {\coprod}_{i}X_{i}}$${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle X_{i}}$

CG-1空間の商空間はCG-1である。 ^[22] 特に、弱局所コンパクト空間の商空間はすべてCG-1である。逆に、すべてのCG-1空間は弱局所コンパクト空間の商空間であり、^[22]のコンパクト部分空間の互いに交わらない和集合としてとることができる。${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

CG-2空間の商空間はCG-2である。^[23] 特に、局所コンパクトなハウスドルフ空間の商空間はすべてCG-2である。逆に、すべてのCG-2空間は局所コンパクトなハウスドルフ空間の商空間である。^{[24] [25]}

CG-3 空間の商空間は一般に CG-3 ではありません。実際、すべての CG-2 空間は CG-3 空間の商空間 (つまり、何らかの局所コンパクト ハウスドルフ空間) ですが、CG-3 ではない CG-2 空間も存在します。具体的な例として、シェルピンスキー空間はCG-3 ではありませんが、点と 同一視して得られるコンパクト区間の商に同相です。${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle (0,1]}$

より一般的には、 CG-1 空間からの関数の族によって誘導される集合上の任意の最終位相も CG-1 です。同じことが CG-2 にも当てはまります。これは、上記の分離和と商空間の結果と、関数の合成における最終位相の挙動を組み合わせることで得られます。

CG-1 空間のウェッジ和はCG-1 です。CG-2 についても同様です。これは、上記の結果を互いに素な和と商空間に適用したものでもあります。

2つのコンパクト生成空間の積は、たとえ両方の空間がハウスドルフかつシーケンシャルであっても、コンパクト生成である必要はない。例えば、実数直線からの部分空間位相を持つ空間はまず可算である。一方、実数直線から正の整数を点と同一視した商位相を持つ空間はシーケンシャルである。どちらの空間もコンパクト生成ハウスドルフであるが、その積はコンパクト生成ではない。^[26]${\displaystyle X=\mathbb {R} \setminus \{1,1/2,1/3,\ldots \}}$${\displaystyle Y=\mathbb {R} /\{1,2,3,\ldots \}}$${\displaystyle X\times Y}$

しかし、場合によっては、2 つのコンパクト生成空間の積がコンパクトに生成されることがあります。

• 2 つの最初の可算空間の積は最初の可算空間なので、CG-2 となります。
• CG-1空間と局所コンパクト空間の積はCG-1である。^[27] （ここで、局所コンパクトとは、対応する論文の条件（3）の意味で、つまり各点がコンパクト近傍の局所基底を持つという意味である。）
• CG-2空間と局所コンパクトハウスドルフ空間の積はCG-2である。^{[28] [29]}

コンパクト生成空間のカテゴリ（すべてのCG-1空間やすべてのCG-2空間など）で作業する場合、上の通常の積位相は一般にコンパクト生成ではないため、カテゴリ積として機能することはできません。しかし、そのk-化は期待されるカテゴリに属し、カテゴリ積です。^{[30] [31]}${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle k(X\times Y)}$

コンパクト生成空間上の連続関数は、コンパクトな部分集合上で適切に動作する関数です。より正確には、を位相空間から別の位相空間への関数とし、その領域がこの記事の定義の 1 つに従ってコンパクトに生成されるものとします。コンパクト生成空間は最終位相によって定義されるため、の連続性を、最終位相を定義するために使用する族内のさまざまな写像とのの合成の連続性によって表すことができます。詳細は次のとおりです。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

がCG-1である場合、関数が連続であることは、制約が各コンパクトに対して連続であることと同値である^[32]${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\vert _{K}:K\to Y}$${\displaystyle K\subseteq X.}$

がCG-2である場合、関数が連続であることは、各コンパクトハウスドルフ空間と連続写像に対して合成が連続であることと同値である^[33]${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\circ u:K\to Y}$${\displaystyle K}$${\displaystyle u:K\to X.}$

がCG-3の場合、関数が連続であることは、制約が各コンパクトハウスドルフに対して連続であることと同値である。${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f\vert _{K}:K\to Y}$${\displaystyle K\subseteq X.}$

位相空間 と に対して、 がコンパクト開位相で位相化されたから への連続写像全体の成す空間を表すものとする。 がCG-1 である場合、のパス成分はまさにホモトピー同値類である。^[34]${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle C(X,Y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C(X,Y)}$

任意の位相空間が与えられた場合、コンパクトに生成されるより細かい位相を定義することができ、これは${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$位相のk 化。のコンパクト部分集合の族を とします。 が各インデックスに対してで閉じている場合に限り、部分集合が閉じている上の新しい位相を定義します。 この新しい空間を で表します。 と のコンパクト部分集合が一致し、コンパクト部分集合上の誘導位相が同じであることが示されます。 はが から開始してコンパクトに生成された場合以外の場合は 上の位相はよりも厳密に細かい(つまり、開集合がさらに存在する) です。 ${\displaystyle \{K_{\alpha }\}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\cap K_{\alpha }}$${\displaystyle K_{\alpha }}$${\displaystyle \alpha .}$${\displaystyle kX.}$${\displaystyle kX}$${\displaystyle X}$${\displaystyle kX}$${\displaystyle X}$${\displaystyle kX=X.}$${\displaystyle kX}$${\displaystyle X}$

この構成は関数的である。の完全サブカテゴリをコンパクト生成空間の対象として表記し、 の完全サブカテゴリをハウスドルフ空間の対象として表記する。 から への関数でを取るものは包含関数の右随伴である。${\displaystyle \mathbf {CGTop} }$${\displaystyle \mathbf {Top} }$${\displaystyle \mathbf {CGHaus} }$${\displaystyle \mathbf {CGTop} }$${\displaystyle \mathbf {Top} }$${\displaystyle \mathbf {CGTop} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle kX}$ ${\displaystyle \mathbf {CGTop} \to \mathbf {Top} .}$

における指数オブジェクトは によって与えられ、はコンパクト開位相を持つからへの連続写像の空間です。 ${\displaystyle \mathbf {CGHaus} }$${\displaystyle k(Y^{X})}$${\displaystyle Y^{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

これらの考え方は非ハウスドルフの場合にも一般化できる。^[10]ハウスドルフ空間の識別空間はハウスドルフである必要がないので、これは有用である。

• コンパクトオープントポロジー – トポロジーの種類
• 可算生成空間 - 可算な部分集合によって位相が決定される位相空間Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• 有限生成空間 - 任意の開集合族の交差が開いている位相Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• K空間（機能解析）

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• コンパクトに生成された空間 - コンパクトに生成された空間を持つプロパティと構造の優れたカタログが含まれています
• nラボにおけるコンパクトに生成された位相空間
• nラボにおける位相空間の便利なカテゴリ
• https://math.stackexchange.com/questions/4646084/unraveling-the-various-settings-of-k-space-or-compactly-generated-space