原子力発電所の運転員

• σ ( X , X ′)はX上の最も粗いトポロジーを表し、 X ′のすべてのマップを${\displaystyle X_{\sigma \left(X,X'\right)}}$または ${\displaystyle X_{\sigma }}$これは、このトポロジーを備えたXを表します。
• σ ( X ′, X )はX* 上の弱*位相を表し${\displaystyle X_{\sigma \left(X',X\right)}}$または ${\displaystyle X'_{\sigma }}$X ′はこのトポロジーを備えていることを表す。
  • すべての${\displaystyle x_{0}\in X}$マップを誘導する${\displaystyle X'\to \mathbb {R} }$定義される${\displaystyle \lambda \mapsto \lambda (x_{0})}$σ (X′, X) は X′ 上の最も粗いトポロジーであり、そのようなマップはすべて連続になります。
• b(X, X′)はX上の有界収束の位相を表し、${\displaystyle X_{b\left(X,X'\right)}}$または${\displaystyle X_{b}}$これは、このトポロジーを備えたXを表します。
• b(X′, X)はX′ 上の有界収束の位相、またはX′ 上の強双対位相を表し、${\displaystyle X_{b\left(X',X\right)}}$または${\displaystyle X'_{b}}$X ′はこのトポロジーを備えていることを表す。
  • 通常通り、X * が位相ベクトル空間とみなされるが、どのような位相が与えられているかが明確でない場合、位相は b( X ′, X ) であると仮定される。

XとYをベクトル空間とし（位相は不要）、Bi( X , Y )を、上で定義されたすべての双線形写像の空間とする。${\displaystyle X\times Y}$そして、その根底にあるスカラー場へと入っていく。

すべての${\displaystyle (x,y)\in X\times Y}$、 させて$\displaystyle \chi _{(x,y)}}$Bi( X , Y )上の標準線形形式を次のように定義する。${\displaystyle \chi _{(x,y)}(u):=u(x,y)}$すべてのu ∈ Bi( X , Y )に対して。これは正準写像を誘導する。${\displaystyle \chi :X\times Y\to \mathrm {Bi} (X,Y)^{\#}}$定義される${\displaystyle \chi (x,y):=\chi _{(x,y)}}$、 どこ${\displaystyle \mathrm {Bi} (X,Y)^{\#}}$はBi( X , Y ) の代数的双対を表します。 𝜒の値域をX ⊗ Yとすると、 X ⊗ Yと𝜒はXとYのテンソル積を形成することが示されます(ここでx ⊗ y := 𝜒 ( x , y ))。 これにより、 XとYの標準的なテンソル積が得られます。 

Zが他のベクトル空間である場合、 u ↦ u ∘ 𝜒で与えられる写像 Li( X ⊗ Y ; Z ) → Bi( X , Y ; Z )はベクトル空間の同型写像です。特に、これによりX ⊗ Yの代数的双対をX × Y上の双線形形式の空間と同一視することができます。^{[ 4 ]} さらに、XとY が局所凸位相ベクトル空間(TVS) であり、X ⊗ Yにπ位相が与えられている場合、すべての局所凸 TVS Zに対して、この写像はベクトル空間の同型写像に制限されます。${\displaystyle L(X\otimes _{\pi }Y;Z)\to B(X,Y;Z)}$連続線形写像の空間から連続双線形写像の空間へ。^{[ 5 ]} 特に、X ⊗ Yの連続双対は、 X × Y上の連続双線形形式の空間 B( X , Y ) と正準的に同一視できます。さらに、この同一視の下では、B( X , Y ) の等連続部分集合は、${\displaystyle (X\otimes _{\pi }Y)'}$[ ^{5 ]​}

XとYがバナッハ空間であり、${\displaystyle N:X\to Y}$は連続線形演算子です。

• 以下は同等です。
  1. ${\displaystyle N:X\to Y}$核兵器だ。
  2. 数列が存在する${\displaystyle \left(x_{i}'\right)_{i=1}^{\infty }}$閉じた単位球の中で${\displaystyle X'}$シーケンス${\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$閉じた単位球の中で${\displaystyle Y}$複雑なシーケンス${\displaystyle \left(c_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$そのため${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }|c_{i}|<\infty }$そして${\displaystyle N}$マッピングと等しい: ^{[ 8 ]}${\textstyle N(x)=\sum _{i=1}^{\infty }c_{i}x'_{i}(x)y_{i}}$すべての人々のために${\displaystyle x\in X}$さらに、トレースノルム${\displaystyle \|N\|_{\operatorname {Tr} }}$は、数値の最小値に等しい。${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }|c_{i}|}$すべての表現の集合にわたって${\displaystyle N}$そういうシリーズとして。^{[ 8 ]}
• Yが反射的である場合${\displaystyle N:X\to Y}$核兵器であるのは、${\displaystyle {}^{t}N:Y'_{b}\to X'_{b}}$核兵器の場合、${\textstyle \left\|{}^{t}N\right\|_{\operatorname {Tr} }=\left\|N\right\|_{\operatorname {Tr} }}$[ ^{9 ]​}

XとYをバナッハ空間とし、${\displaystyle N:X\to Y}$連続線形作用素とする。

• もし${\displaystyle N:X\to Y}$核マップであれば、その転置${\displaystyle {}^{t}N:Y'_{b}\to X'_{b}}$は連続核マップであり（双対空間が強い双対位相を持つ場合）、${\textstyle \left\|{}^{t}N\right\|_{\operatorname {Tr} }\leq \left\|N\right\|_{\operatorname {Tr} }}$[ ^{10 ]​}

XとYをヒルベルト空間とし、N :  X → Yを絶対値がR  : X → Xである連続線形写像とする。以下の式は同値である。

1. N  : X → Yは核反応である。
2. R  : X → Xは核反応である。^{[ 12 ]}
3. R  : X → Xはコンパクトであり、${\displaystyle \operatorname {Tr} R}$有限である場合、${\displaystyle \operatorname {Tr} R=\|N\|_{\operatorname {Tr} }}$[ ^{12 ]​}
   • ここ、${\displaystyle \operatorname {Tr} R}$Rのトレースは次のように定義されます。Rは連続コンパクト正作用素であるため、(有限である可能性のある) 数列が存在します。${\displaystyle \lambda _{1}>\lambda _{2}>\cdots }$正の数と、それに対応する非自明な有限次元かつ互いに直交するベクトル空間${\displaystyle V_{1},V_{2},\ldots }$Hにおける直交${\displaystyle \operatorname {span} \left(V_{1}\cup V_{2}\cup \cdots \right)}$に等しい${\displaystyle \ker R}$（したがって、${\displaystyle \ker N}$）そしてすべてのkに対して、${\displaystyle R(x)=\lambda _{k}x}$すべての人々のために${\displaystyle x\in V_{k}}$;トレースは次のように定義されます${\textstyle \operatorname {Tr} R:=\sum _{k}\lambda _{k}\dim V_{k}}$。
4. ${\displaystyle {}^{t}N:Y'_{b}\to X'_{b}}$核兵器の場合、${\displaystyle \|{}^{t}N\|_{\operatorname {Tr} }=\|N\|_{\operatorname {Tr} }}$[ ^{9 ]​}
5. 2つの直交する数列が存在する${\displaystyle (x_{i})_{i=1}^{\infty }}$Xと​${\displaystyle (y_{i})_{i=1}^{\infty }}$Yにおいて、そしてシーケンス${\displaystyle \left(\lambda _{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$で${\displaystyle \ell ^{1}}$すべての${\displaystyle x\in X}$、${\textstyle N(x)=\sum _{i}\lambda _{i}\langle x,x_{i}\rangle y_{i}}$[ ^{12 ]​}
6. N  : X → Yは積分写像である。^{[ 13 ]}

• W、X、Y、Zをハウスドルフ局所凸空間とする。${\displaystyle N:X\to Y}$核地図、そして${\displaystyle M:W\to X}$そして${\displaystyle P:Y\to Z}$連続線形写像である。${\displaystyle N\circ M:W\to Y}$、${\displaystyle P\circ N:X\to Z}$、 そして${\displaystyle P\circ N\circ M:W\to Z}$核であり、さらにW、X、Y、Zがすべてバナッハ空間である場合、${\textstyle \left\|P\circ N\circ M\right\|_{\operatorname {Tr} }\leq \left\|P\right\|\left\|N\right\|_{\operatorname {Tr} }\|\left\|M\right\|}$[ ^{14 ] [ 15 ]​}
• もし${\displaystyle N:X\to Y}$は 2 つのハウスドルフ局所凸空間間の核写像であり、その転置は${\displaystyle {}^{t}N:Y'_{b}\to X'_{b}}$（双対空間が強い双対位相を持つ場合）連続核写像である。^{[ 2 ]}
  • さらに、XとYがバナッハ空間である場合、${\textstyle \left\|{}^{t}N\right\|_{\operatorname {Tr} }\leq \left\|N\right\|_{\operatorname {Tr} }}$[ ^{9 ]​}
• もし${\displaystyle N:X\to Y}$は、2 つのハウスドルフ局所凸空間間の核写像であり、${\displaystyle {\hat {X}}}$Xの完全性である場合、唯一の連続拡張${\displaystyle {\hat {N}}:{\hat {X}}\to Y}$Nのは核です。^{[ 15 ]}

XとYをハウスドルフ局所凸空間とし、${\displaystyle N:X\to Y}$連続線形作用素とする。

• 以下は同等です。
  1. ${\displaystyle N:X\to Y}$核兵器だ。
  2. （定義） Xの原点の凸平衡近傍UとYの有界バナッハ円盤Bが存在し、${\displaystyle N(U)\subseteq B}$そして誘導マップ${\displaystyle {\overline {N}}_{0}:{\hat {X}}_{U}\to Y_{B}}$核兵器では${\displaystyle {\overline {N}}_{0}}$は、${\displaystyle N_{0}:X_{U}\to Y_{B}}$これは、${\displaystyle N=\operatorname {In} _{B}\circ N_{0}\circ \pi _{U}}$どこ${\displaystyle \operatorname {In} _{B}:Y_{B}\to Y}$自然な包含であり、${\displaystyle \pi _{U}:X\to X/p_{U}^{-1}(0)}$は正準投影である。^{[ 6 ]}
  3. バナッハ空間が存在する${\displaystyle B_{1}}$そして${\displaystyle B_{2}}$連続線形マップ${\displaystyle f:X\to B_{1}}$、${\displaystyle n:B_{1}\to B_{2}}$、 そして${\displaystyle g:B_{2}\to Y}$そのため${\displaystyle n:B_{1}\to B_{2}}$核兵器であり、${\displaystyle N=g\circ n\circ f}$[ ^{8 ]​}
  4. 等連続数列が存在する${\displaystyle \left(x_{i}'\right)_{i=1}^{\infty }}$で${\displaystyle X'}$有界バナッハ円盤${\displaystyle B\subseteq Y}$シーケンス${\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$Bでは、複雑な配列${\displaystyle \left(c_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$そのため${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }|c_{i}|<\infty }$そして${\displaystyle N}$マッピングと等しい: ^{[ 8 ]}${\textstyle N(x)=\sum _{i=1}^{\infty }c_{i}x'_{i}(x)y_{i}}$すべての人々のために${\displaystyle x\in X}$。
• Xがバレル型でYが準完備である場合、Nが核型であるのは、 Nが次の形式の表現を持つ場合に限る。${\textstyle N(x)=\sum _{i=1}^{\infty }c_{i}x'_{i}(x)y_{i}}$と${\displaystyle \left(x_{i}'\right)_{i=1}^{\infty }}$境界内${\displaystyle X'}$、${\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$Yで制限され、${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }|c_{i}|<\infty }$[ ^{8 ]​}

以下は、核マップを拡張するためのハーン・バナッハの定理の一種である。

• もし${\displaystyle E:X\to Z}$TVS埋め込みと${\displaystyle N:X\to Y}$核地図が存在するならば、核地図が存在する${\displaystyle {\tilde {N}}:Z\to Y}$そのため${\displaystyle {\tilde {N}}\circ E=N}$さらに、XとYがバナッハ空間であり、Eが等長写像である場合、任意の に対して、${\displaystyle \epsilon >0}$、${\displaystyle {\tilde {N}}}$選べるように${\displaystyle \|{\tilde {N}}\|_{\operatorname {Tr} }\leq \|N\|_{\operatorname {Tr} }+\epsilon }$[ ^{16 ]​}
• 仮に${\displaystyle E:X\to Z}$は、その画像がZで閉じている TVS 埋め込みであり、${\displaystyle \pi :Z\to Z/\operatorname {Im} E}$を正準投影とする。すべてのコンパクトディスクが${\displaystyle Z/\operatorname {Im} E}$下の画像は${\displaystyle \pi }$Zの有界バナッハ円盤の(これは、例えばXとZ が両方ともフレシェ空間である場合、またはZ がフレシェ空間の強双対である場合に当てはまります)。${\displaystyle \operatorname {Im} E}$はZにおいて弱閉である。すると、すべての核写像に対して${\displaystyle N:Y\to Z/\operatorname {Im} E}$核地図が存在する${\displaystyle {\tilde {N}}:Y\to Z}$そのため${\displaystyle \pi \circ {\tilde {N}}=N}$。
  • さらに、XとZがバナッハ空間であり、Eが等長写像である場合、任意の${\displaystyle \epsilon >0}$、${\displaystyle {\tilde {N}}}$選べるように${\textstyle \left\|{\tilde {N}}\right\|_{\operatorname {Tr} }\leq \left\|N\right\|_{\operatorname {Tr} }+\epsilon }$[ ^{16 ]​}

XとYをハウスドルフ局所凸空間とし、${\displaystyle N:X\to Y}$連続線形作用素とする。

• 核兵器マップはどれもコンパクトである。^{[ 2 ]}
• 一様収束のすべての位相に対して${\displaystyle L(X;Y)}$核マップは閉鎖中に含まれている${\displaystyle X'\otimes Y}$（いつ${\displaystyle X'\otimes Y}$は、${\displaystyle L(X;Y)}$[ ^{6 ]​}