コロンボー代数

数学において、コロンボー代数は、シュワルツ超関数の空間を含むある種の代数です。古典的な超関数理論では超関数の一般的な乗算は不可能ですが、コロンボー代数はこれに対する厳密な枠組みを提供します。

このような超関数の乗算は、L. シュワルツの不可能性結果のため、長い間不可能であると信じられてきました。これは基本的に、超関数の空間を含み、連続関数の積を保存する微分代数は存在しないと述べています。ただし、滑らかな関数の積のみを保存したい場合は、コロンボーによって最初に実証されたように、そのような構成が可能になります。

数学的なツールとして、コロンボー代数は、特異点、微分、非線形演算の扱いを 1 つのフレームワークに統合し、分布理論の限界を取り除いたと言えます。これらの代数は、これまで偏微分方程式、地球物理学、微小局所解析、一般相対性理論の分野で数多くの応用が見られてきました^{[疑わしい–議論]}。

コロンボー代数はフランスの数学者ジャン・フランソワ・コロンボーにちなんで名付けられました。

上の超関数の空間を結合代数に埋め込む場合、次の要件が自然に必要になると思われます。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle (A(\mathbb {R} ),\circ ,+)}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} )}$はに線形に埋め込まれ、定数関数はで単位元になる。${\displaystyle A(\mathbb {R} )}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle A(\mathbb {R} )}$
2. 上の偏微分演算子は線形であり、ライプニッツ則を満たす。${\displaystyle \partial}$${\displaystyle A(\mathbb {R} )}$
3. の制限は通常の偏微分と一致する。${\displaystyle \partial}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} )}$
4. への制限は点ごとの積と一致する。${\displaystyle \circ}$${\displaystyle C(\mathbb {R} )\times C(\mathbb {R} )}$

しかし、L. シュワルツの結果^[1]は、これらの要件が同時に成立しないことを意味します。4. で、連続的に微分可能な関数の時間の空間を に置き換えても同じことが言えます。この結果は、一般的な超関数の乗算は不可能であると解釈されることが多いですが、実際には、微分、連続関数の乗算、およびディラックのデルタのような特異オブジェクトの存在を無制限に組み合わせることはできないと述べているだけです。 ${\displaystyle C(\mathbb {R} )}$${\displaystyle C^{k}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle k}$

コロンボー代数は、条件 1.～3. と条件 4. を満たすように構築されますが、 がに置き換えられ、滑らかな (無限に微分可能な) 関数の積のみが保存されます。 ${\displaystyle C(\mathbb {R} )\times C(\mathbb {R} )}$${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} )\times C^{\infty }(\mathbb {R} )}$

コロンボー代数^[2]は商代数として定義される。

${\displaystyle C_{M}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})/C_{N}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}).}$

ここで、上の中程度の関数 の代数は、滑らかな正規化族の代数（f _ε） である。${\displaystyle C_{M}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {f:}\mathbb {R} _{+}\to C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$

（ここでR ₊  = (0,∞)は「正則化」パラメータεである）上の滑らかな関数であり、 のすべてのコンパクト部分集合Kとすべての多重インデックスαに対して、 N > 0 が存在し、${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \sup _{x\in K}\left|{\frac {\partial ^{|\alpha |}}{(\partial x_{1})^{\alpha _{1}}\cdots (\partial x_{n})^{\alpha _{n}}}}f_{\varepsilon }(x)\right|=O(\varepsilon ^{-N})\qquad (\varepsilon \to 0).}$

無視できる関数のイデアルは 、同様に定義されますが、偏微分は、すべてのN > 0 に対してO( ε ^+N )で制限されます。${\displaystyle C_{N}^{\infty }(\mathbb {R}^{n})}$

シュワルツ分布の空間は、δネット、すなわち ε → 0のときにD'においてとなるような滑らかな関数の族を代表する代数の任意の要素との（成分ごとの）畳み込みによって、簡略化された代数に埋め込むことができる 。 ${\displaystyle \varphi _{\varepsilon }}$${\displaystyle \varphi _{\varepsilon }\to \delta }$

この埋め込みは、δ ネットの選択に依存するため、非標準的です。ただし、分布の標準埋め込みを可能にするColombeau 代数のバージョン (いわゆる完全代数) があります。よく知られている完全バージョンは、軟化子を2 番目のインデックス セットとして 追加することで得られます。

• 一般化された関数

• Colombeau, JF, 「新しい一般化関数と分布の乗算」北ホラント州、アムステルダム、1984 年。
• Colombeau, JF, 「新しい一般化関数の初歩的入門」北ホラント、アムステルダム、1985 年。
• Nedeljkov, M.、Pilipović, S.、Scarpalezos, D.、「Colombeau の一般化関数の線形理論」、Addison Wesley、Longman、1998 年。
• Grosser, M.、Kunzinger, M.、Oberguggenberger, M.、Steinbauer, R.;一般相対性理論への応用を伴う一般化関数の幾何学的理論、Springer Series Mathematics and Its Applications、Vol. 537、2002年、ISBN 978-1-4020-0145-1。