正の線形関数

数学、より具体的には関数解析において、順序ベクトル空間上の正の線型関数は、であるすべての正の要素に対して次の式が成り立つような 上の線型関数である。 ${\displaystyle (V,\leq )}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v\in V,}$${\displaystyle v\geq 0,}$$${\displaystyle f(v)\geq 0.}$$

言い換えれば、正の線形関数は、正の要素に対して非負の値を取ることが保証されています。正の線形関数の重要性は、リース・マルコフ・角谷表現定理などの結果にあります。

が複素ベクトル空間のとき、すべての に対して は実数であると仮定します。 が自己随伴元の部分順序付き部分空間を持つC*-代数である場合のように、部分順序が部分空間にのみ設定され、部分順序が 全体に拡張されないことがあります。その場合、 の正の要素は、表記法の乱用によりの正の要素になります。これは、C*-代数に対して、正の線形関数が、ある に対して に等しい任意の を実数に送信し、それがその複素共役に等しいことを意味し、したがって、すべての正の線形関数はそのような の自己随伴性を保存します。この特性は、GNS 構成で、 C*-代数上の正の線形関数を内積に関連付けるために利用されます。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle v\geq 0,}$ ${\displaystyle f(v)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W\subseteq V,}$${\displaystyle V,}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W,}$${\displaystyle x\in V}$${\displaystyle s^{\ast }s}$${\displaystyle s\in V}$${\displaystyle x.}$

比較的大きなクラスの順序付き位相ベクトル空間が存在し、その上ではすべての正線型形式が必然的に連続する。^[1] これには、順次完全なすべての位相ベクトル格子が含まれる。^[1]

定理 が正の錐を持つ順序付き位相ベクトル空間であり、のすべての有界部分集合の族を表すとします 。次の各条件は、 上のすべての正の線型関数が連続することを保証するのに十分です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C\subseteq X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle C}$は空でない位相的内部構造を持つ（）。^[1]${\displaystyle X}$
2. ${\displaystyle X}$完全かつ計量化可能であり、^[1]${\displaystyle X=CC.}$
3. ${\displaystyle X}$は、分布論的であり、^[1]の半完備な厳密な-錐である。${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X.}$
4. ${\displaystyle X}$は、すべての正線型写像の族に対する順序付きフレシェ空間の族の帰納的極限であり、ここで、は^[1]の正錐である。${\displaystyle \left(X_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$${\displaystyle X_{\alpha}=C_{\alpha}-C_{\alpha}$${\displaystyle \alpha \in A,}$${\displaystyle C_{\alpha}}$${\displaystyle X_{\alpha }.}$

次の定理はH.バウアーと独立に浪岡によるものである。^[1]

定理: ^[1]が正錐を持つ順序付き位相ベクトル空間(TVS)で、がのベクトル部分空間で、が上の線型形式であるとする。すると、が上の連続正線型形式への拡張を持つためには、が上で有界となる凸近傍が存在する必要がある。${\displaystyle X}$${\displaystyle C,}$${\displaystyle M}$${\displaystyle E,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle M.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {Re} f}$${\displaystyle M\cap (UC).}$

系: ^{[1] は}正錐を持つ順序付き位相ベクトル空間とし、は のベクトル部分空間とする。がの内点を含む場合、 上の任意の連続正線型形式は上の連続正線型形式への拡張を持つ。${\displaystyle X}$${\displaystyle C,}$${\displaystyle M}$${\displaystyle E.}$${\displaystyle C\cap M}$${\displaystyle C}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X.}$

系: ^[1]を正錐を持つ順序付きベクトル空間とし、をのベクトル部分空間とし、を上の線型形式とすると、を上の正線型形式に拡張できることは、を上の原点を含む凸吸収部分集合が存在し、その上で有界となることと同値である。${\displaystyle X}$${\displaystyle C,}$${\displaystyle M}$${\displaystyle E,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle M.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {Re} f}$${\displaystyle M\cap (WC).}$

証明：近傍となる最も優れた局所凸位相を与えるだけで十分である。${\displaystyle X}$${\displaystyle W}$${\displaystyle 0\in X.}$

正定値行列を正の要素とする複素正方行列の C*-代数の例として、 を考えます。この C*-代数で定義されるトレース関数は正関数です。任意の正定値行列の固有値は正であり、したがってそのトレースは正です。 ${\displaystyle V,}$

局所コンパクト ハウスドルフ空間上のコンパクト台の連続複素数値関数全体の成すリース空間 を考えます。上のボレル正則測度と、によって定義される関数を考えます。すると、この関数は正です (任意の正関数の積分は正の数です)。さらに、この空間上の任意の正関数は、リース・マルコフ・角谷表現定理から、この形式を持ちます。 ${\displaystyle \mathrm {C} _{\mathrm {c} }(X)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \psi}$$${\displaystyle \psi (f)=\int _{X}f(x)d\mu (x)\quad {\text{ for all }}f\in \mathrm {C} _{\mathrm {c} }(X).}$$

をC*-代数（より一般的には、C *-代数における作用素系）とし、単位元が${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$${\displaystyle 1.}$${\displaystyle M^{+}}$${\displaystyle M.}$

上の線形関数は、すべての${\displaystyle \rho }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \rho (a)\geq 0,}$${\displaystyle a\in M^{+}.}$

定理。上の線型汎関数が正であることと、が有界であることは同値であり、^[2]${\displaystyle \rho }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \|\rho \|=\rho (1).}$

がC*-代数上の正線型関数である場合、によって上の半正定値セスクイリニア形式を定義することができる。したがって、コーシー・シュワルツの不等式から 、${\displaystyle \rho }$${\displaystyle A,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \langle a,b\rangle =\rho (b^{\ast }a).}$$${\displaystyle \left|\rho (b^{\ast }a)\right|^{2}\leq \rho (a^{\ast }a)\cdot \rho (b^{\ast }b).}$$

空間 が与えられた場合、価格システムは 上の連続した正の線形関数として見ることができます。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$

• 正の要素 – 互換性のある半順序を持つグループPages displaying short descriptions of redirect targets
• 正の線形演算子 – 関数解析における概念

• Kadison, Richard , 『作用素代数理論の基礎、第1巻：初等理論』、アメリカ数学会。ISBN 978-0821808191。 
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