リグドヒルベルト空間

数学において、リグド ヒルベルト空間(ゲルファント トリプル、ネスト ヒルベルト空間、装備ヒルベルト空間) は、関数解析の分布と平方積分可能な側面を結び付けるために設計された構造です。このような空間は、スペクトル理論を研究するために導入されました。これらは、「束縛状態」(固有ベクトル) と「連続スペクトル」を 1 か所に まとめます。

この概念を用いると、ヒルベルト空間上の無限作用素に対するスペクトル定理のバージョンを定式化することができる。^{[1] 「リグドヒルベルト空間は、}量子力学のディラック定式化に適切な数学的意味を与える構造としてよく知られている。」^[2]

のような関数は、 実数直線R 上の微分作用素の固有関数 であるが、R上の通常の (ルベーグ) 測度に対しては二乗積分可能ではない。この関数を固有関数として適切に考えるには、ヒルベルト空間理論の厳密な制限の外に出る何らかの方法が必要である。これは超関数の装置によって提供され、一般化された固有関数理論は 1950 年以降に開発された。^[3]$${\displaystyle x\mapsto e^{ix},}$$ $${\displaystyle -i{\frac {d}{dx}}}$$

リグド ヒルベルト空間の概念は、このアイデアを抽象的な関数解析の枠組みに置きます。正式には、リグド ヒルベルト空間は、ヒルベルト空間 Hと、より細かい位相、つまり自然包含 が連続する位相を持つ部分空間Φで構成されます。ヒルベルト ノルムに対してΦ がHに稠密であると仮定しても問題ありません。双対空間H ^{* が}Φ ^*に包含されることを検討します。後者は、その「テスト関数」位相においてΦと双対であり、超関数の空間または何らかの一般化関数として実現され、Hにおけるv に対する型の 部分空間Φ上の線型関数は、超関数として忠実に表現されます ( Φ が稠密であると仮定するため)。 $${\displaystyle \Phi \subseteq H}$$ $${\displaystyle \phi \mapsto \langle v,\phi \rangle }$$

ここで、リースの表現定理を適用することで、H ^*をHと同一視することができます。したがって、リグドヒルベルト空間の定義はサンドイッチの観点から次のようになります。 $${\displaystyle \Phi \subseteq H\subseteq \Phi ^{*}.}$$

最も重要な例は、 Φ が核空間である場合です。このコメントは、 Φ がテスト関数と対応する超関数Φ*で構成されるという考えの抽象的な表現です。また、簡単な例はソボレフ空間によって与えられます。ここで ( 上のソボレフ空間の最も簡単なケース) 、 です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle H=L^{2}(\mathbb {R} ^{n}),\ \Phi =H^{s}(\mathbb {R} ^{n}),\ \Phi ^{*}=H^{-s}(\mathbb {R} ^{n}),}$$${\displaystyle s>0}$

リグドヒルベルト空間は、H がヒルベルト空間、Φ が稠密な部分空間であるペア( H、Φ)であり、 Φ には包含写像iが連続する位相ベクトル空間構造が与えられます。

H をその双対空間H ^*と同一視すると、 iへの随伴写像は $${\displaystyle i^{*}:H=H^{*}\to \Phi ^{*}.}$$

ΦとΦ ^*の双対性ペアは、 H上の内積と互換性があり、次のように なります。 および の場合、 常に。複素ヒルベルト空間の場合は、エルミート内積を使用します。これは、u (数学の慣例) またはv (物理学の慣例) に関して複素線形であり、他の変数に関しては共役線形 (複素反線形) になります。 $${\displaystyle \langle u,v\rangle _{\Phi \times \Phi ^{*}}=(u,v)_{H}}$$${\displaystyle u\in \Phi \subset H}$${\displaystyle v\in H=H^{*}\subset \Phi ^{*}}$

この三つ組は、しばしば「ゲルファンド三つ組」（数学者イスラエル・ゲルファンドにちなんで）と呼ばれます。ピボット空間とも呼ばれます。 ${\displaystyle (\Phi ,\,\,H,\,\,\Phi ^{*})}$${\displaystyle H}$

Φ はΦ ^*と同型である（リース表現を介して）が、 Φがそれ自体でヒルベルト空間である場合、この同型性は包含iとその随伴i *の合成と同じではないことに注意する。 $${\displaystyle i^{*}i:\Phi \subset H=H^{*}\to \Phi ^{*}.}$$

• 強化された分布