特別な空間

関数解析および関連する数学の分野において、区別された空間は、その双対の弱*有界部分集合（つまり、その強双対空間の強双対空間）が、その双対の何らかの有界部分集合の弱*閉包に含まれるという性質を持つ位相ベクトル空間（TVS）である。

が局所凸空間であるとし、 およびがの強い双対(つまり、 の連続双対空間で、強い双対位相が備わっている)を表すものとします。 がの連続双対空間を表すものとし、の強い双対を表すものとします。がによって誘導される弱*位相(つまり、 上の点ごとの収束の位相) が備わっていることを表すものとします。のサブセットが の有界サブセットである場合、そのサブセットは -有界であると言い、 TVS における の閉包をの -閉包と呼びます。が のサブセットである場合、の極は${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime \prime }}$${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$${\displaystyle X_{b}^{\prime \prime }}$${\displaystyle X_{b}^{\prime }.}$${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime \prime }}$${\displaystyle X^{\prime \prime }}$${\displaystyle X^{\prime },}$${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle W}$${\displaystyle X^{\prime \prime }}$${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime \prime }}$${\displaystyle W}$${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime \prime }}$${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$${\displaystyle W}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B^{\circ }:=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\sup _{b\in B}\left\langle b,x^{\prime }\right\rangle \leq 1\right\}.}$

ハウスドルフ 局所凸空間は、 次の同値な条件のいずれかを満たす場合、 区別された空間と呼ばれます。${\displaystyle X}$

1. がの -有界部分集合である場合、の-閉包を含むの有界部分集合が存在する。^[1]${\displaystyle W\subseteq X^{\prime \prime }}$${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$${\displaystyle X^{\prime \prime }}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X_{b}^{\prime \prime }}$${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$${\displaystyle W}$
2. がの -有界部分集合である場合、 の有界部分集合が存在し、にはが含まれ、 は^[1]の極性（双対性に対して）である。${\displaystyle W\subseteq X^{\prime \prime }}$${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)}$${\displaystyle X^{\prime \prime }}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle W}$${\displaystyle B^{\circ \circ }:=\left\{x^{\prime \prime }\in X^{\prime \prime }:\sup _{x^{\prime }\in B^{\circ }}\left\langle x^{\prime },x^{\prime \prime }\right\rangle \leq 1\right\},}$ ${\displaystyle \left\langle X^{\prime },X^{\prime \prime }\right\rangle }$${\displaystyle B^{\circ }.}$
3. の強い双対は樽型空間である。^[1]${\displaystyle X}$

さらに、が距離化可能な局所凸位相ベクトル空間である場合、このリストは以下を含むように拡張できます。 ${\displaystyle X}$

4. (グロタンディーク) の強い双対はボルノロジー空間である。^[1]${\displaystyle X}$

すべてのノルム空間と半反射空間は区別空間である。^[2] LF空間は区別空間である。

フレシェ空間の強双対空間は、 が準バレルである場合にのみ区別される。^[3]${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

局所凸な区別空間はすべてH空間である。^[2]

半反射的ではない区別されたバナッハ空間が存在する。^[1]区別されたバナッハ空間の 強い双対は必ずしも可分ではない。はそのような空間である。^{[4]区別された}フレシェ空間の 強い双対空間は必ずしも距離化可能ではない。^[1]強い双対が非反射バナッハ空間 である、区別された半反射的非反射的非準バレル型マッキー空間が存在する。 ^[1]区別された空間ではないH 空間 が存在する。 ^[1]${\displaystyle l^{1}}$ ${\displaystyle X}$

フレシェ・モンテルの空間は特別な空間です。

• モンテル空間 – 閉じた有界部分集合がコンパクトである樽型空間
• 半反射的空間

• ブルバキ、ニコラス(1950)。 「確実なベクトルとトポロジーの空間」。Annales de l'Institut Fourier (フランス語)。2 : 5–16 (1951)。土井：10.5802/aif.16。MR0042609  。
• ロバートソン、アレックス P.; ロバートソン、ウェンディ J. (1980)。位相ベクトル空間。ケンブリッジ数学論文集。第 53 巻。ケンブリッジ、イギリス:ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250.
• Husain, Taqdir; Khaleelulla, SM (1978)。位相的および順序付きベクトル空間におけるバレル性。数学講義ノート。第692巻。ベルリン、ニューヨーク、ハイデルベルク：Springer- Verlag。ISBN 978-3-540-09096-0. OCLC  4493665.
• ヤルコウ、ハンス (1981)。局所的に凸状の空間。シュトゥットガルト：BG・トイブナー。ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.
• Khaleelulla , SM (1982)。位相ベクトル空間における反例。数学講義ノート。第936巻。ベルリン、ハイデルベルク、ニューヨーク：Springer- Verlag。ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• ナリシ、ローレンス、ベッケンシュタイン、エドワード (2011)。位相ベクトル空間。純粋数学と応用数学 (第 2 版)。ボカラトン、フロリダ州: CRC プレス。ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (第 2 版). ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• トレヴ、フランソワ(2006) [1967]。トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.