貧弱なセット

一般位相幾何学の数学分野において、貧集合（または貧集合、第一類集合とも呼ばれる）とは、閉包の内部が空である部分集合の可算和集合である位相空間の部分集合のことである。したがって、貧集合はある意味で「小さい」集合であり、小さな部分集合の小さな和集合である。

固定された空間の貧弱な部分集合は、部分集合のσイデアルを形成する。つまり、貧弱な集合の任意の部分集合は貧弱であり、可算個の貧弱な集合の和集合も貧弱である。

乏しい集合は、ベール空間の概念やベール圏定理の定式化において重要な役割を果たしており、ベール圏定理は関数解析のいくつかの基本的な結果の証明に用いられている。

全体を通して、${\displaystyle X}$位相空間となる。

乏しい集合の定義では、どこにも密でない部分集合の概念が用いられます。${\displaystyle X,}$つまり、${\displaystyle X}$その閉鎖部の内部は空である。詳細は該当する記事を参照のこと。

サブセット${\displaystyle X}$と呼ばれる乏しい${\displaystyle X,}$1わずかなサブセット${\displaystyle X,}$または最初のカテゴリー${\displaystyle X}$それがどこにも稠密でない部分集合の可算和である場合${\displaystyle X}$[ ^{1 ]それ以外の}場合、部分集合は乏しくない${\displaystyle X,}$1少なからぬ部分集合${\displaystyle X,}$または2番目のカテゴリー${\displaystyle X.}$^{[ 1 ]} 修飾語「in」${\displaystyle X}$周囲の空間が固定されており、文脈から理解できる場合は省略できます。

位相空間は乏しい（それぞれ、（貧弱でない）それがそれ自身の貧弱な（それぞれ貧弱でない）部分集合である場合。

サブセット${\displaystyle A}$の${\displaystyle X}$と呼ばれる同意する${\displaystyle X,}$または残差${\displaystyle X,}$その補数${\displaystyle X\setminus A}$乏しい${\displaystyle X}$（この接頭辞「co」の使用は、「 cofinite 」などの他の用語での使用と一致しています。）部分集合は、${\displaystyle X}$可算個の集合の共通部分に等しく、その各集合の内部が稠密である場合に限る。${\displaystyle X.}$

用語に関する注記

非貧弱と貧弱という概念を混同してはならない。${\displaystyle X}$空間が貧弱であれば、すべての部分集合は貧弱かつ共弱であり、貧弱でない集合は存在しない。${\displaystyle X}$は非貧弱であり、貧弱かつ補集合が同時に存在する集合はなく、すべての補集合は非貧弱であり、補集合が非貧弱である非貧弱集合が存在し得る。詳しくは下記の「例」セクションを参照のこと。

用語に関する補足として、部分集合が${\displaystyle A}$位相空間の${\displaystyle X}$から誘導される部分空間トポロジーが与えられる${\displaystyle X}$この場合、それは貧弱な空間、つまり（それ自体を位相空間として考えた場合）それ自身の貧弱な部分集合であると言える。${\displaystyle A}$また、​${\displaystyle X}$つまり、部分空間トポロジーが与えられた場合、空間が乏しいということである。重要なのは、これは空間全体で乏しいということとは異なるということである。${\displaystyle X}$（両者の関係については、以下の「特性と例」のセクションを参照してください。）同様に、非貧弱部分空間はそれ自体が非貧弱な集合であり、これは空間全体で非貧弱であることとは異なります。ただし、位相ベクトル空間の文脈では、一部の著者は「貧弱/非貧弱部分空間」という表現を、空間全体に対して貧弱/非貧弱な集合であるベクトル部分空間を意味するために使用する場合があることに注意してください。^{[ 2 ]}

第一カテゴリーと第二カテゴリーという用語は、 1899 年の論文でルネ・ベールが最初に用いたものです。^{[ 3 ]} 貧弱な用語は、1948 年にブルバキによって導入されました。 ^{[ 4 ] [ 5 ]}

空集合は、あらゆる位相空間において常に閉じた、どこにも稠密でない（したがって乏しい）部分集合である。

限られた空間の中で${\displaystyle X=[0,1]\cup ([2,3]\cap \mathbb {Q} )}$セット${\displaystyle [2,3]\cap \mathbb {Q} }$貧弱です。${\displaystyle [0,1]}$貧弱ではなく、元気である。

限られた空間の中で${\displaystyle X=[0,2]}$セット${\displaystyle [0,1]}$は乏しくない。しかし、補数としては共存しない。${\displaystyle (1,2]}$量も少なくない。

孤立点を持たない可算T ₁空間は乏しい。したがって、それを部分空間として含む任意の空間においても乏しい。例えば、${\displaystyle \mathbb {Q} }$はどちらも貧弱な部分空間である${\displaystyle \mathbb {R} }$（つまり、部分空間トポロジーから誘導されるそれ自体は貧弱である）${\displaystyle \mathbb {R} }$）そしてごくわずかなサブセット${\displaystyle \mathbb {R} .}$

カントール集合はどこにも密集していない${\displaystyle \mathbb {R} }$そのため乏しい${\displaystyle \mathbb {R} .}$しかし、それは完全な距離空間 であるため、それ自体は決して貧弱ではない。

セット${\displaystyle ([0,1]\cap \mathbb {Q} )\cup \{2\}}$どこにも密集していない${\displaystyle \mathbb {R} }$しかし、それはわずかです${\displaystyle \mathbb {R} }$それ自体は貧弱ではない（部分空間として孤立点を含んでいるため）。

ライン$\displaystyle \mathbb {R} \times \{0\}}$飛行機の中ではわずか$\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$ しかし、それは決して貧弱ではない部分空間であり、つまり、それ自体が貧弱ではない。

セット${\displaystyle S=(\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} )\cup (\mathbb {R} \times \{0\})}$は、​$\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$たとえそのわずかな部分集合であっても$\displaystyle \mathbb {R} \times \{0\}}$は、非貧弱な部分空間（つまり、${\displaystyle \mathbb {R} }$有理数^は、実数^の部分集合としても空間^としても、ベール空間を形成しないため、^有理数 は ベール^空間を形成しません。

孤立点を含む位相空間はすべて非稠密である^{[ 6 ]}（孤立点を含む集合はどこにも稠密ではないため）。特に、空でない離散空間はすべて非稠密である。

部分集合が存在する${\displaystyle H}$実数${\displaystyle \mathbb {R} }$これは、すべての空でない開集合を2つの非貧弱な集合に分割します。つまり、すべての空でない開集合に対して${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }$セット${\displaystyle U\cap H}$そして${\displaystyle U\setminus H}$どちらも貧弱ではない。

宇宙空間で${\displaystyle C([0,1])}$連続実数値関数の${\displaystyle [0,1]}$一様収束の位相を持つ集合${\displaystyle A}$連続実数値関数の${\displaystyle [0,1]}$ある時点で導関数を持つものはわずかである 。^{[ 7 ] [ 8 ]}${\displaystyle C([0,1])}$は完備距離空間であり、非貧弱です。したがって、の補空間は${\displaystyle A}$これは、上の連続実数値微分不可能関数から構成される。${\displaystyle [0,1],}$は十分かつ十分ではない。特に、その集合は空ではない。これは、連続かつ至るところで微分不可能な関数の存在を示す一つの方法である。

無限次元バナッハ空間には、核が非貧弱な不連続線形汎関数が存在する。 ^{[ 9 ]}また、マーティンの公理によれば、各可分バナッハ空間には、核が貧弱な不連続線形汎関数が存在する（この記述はウィランスキー・クリー予想^{[ 10 ]}を否定する）。^{[ 9 ]}

空でないベール空間はすべて非貧弱である。ベール圏定理によれば、これは空でない完備（擬似）距離空間と局所コンパクトハウスドルフ空間にも当てはまる。しかし、ベール空間ではない非貧弱空間も存在する。^{[ 6 ]}

どこにも密でない部分集合はすべて貧弱な集合である。^{[ 11 ]}したがって、任意の閉部分集合は${\displaystyle X}$内部が${\displaystyle X}$空です 最初のカテゴリです${\displaystyle X}$（つまり、それは${\displaystyle X}$)

貧集合のすべての部分集合とすべての可算和集合は貧集合である。したがって、固定空間の貧集合は部分集合のσイデアル、すなわち無視できる集合の適切な概念を形成する。双対的に、共貧集合のすべての上位集合とすべての可算共通部分は共貧集合である。非貧集合のすべての上位集合は非貧集合である。

のバナッハ圏定理^{[ 12 ]}は、任意の空間において${\displaystyle X,}$第一類に属する任意の開集合族の和集合は、第一類に属する。

仮定する${\displaystyle A\subseteq Y\subseteq X,}$どこ${\displaystyle Y}$部分空間トポロジーは${\displaystyle X.}$ セット${\displaystyle A}$乏しいかもしれない${\displaystyle X}$貧しくなく${\displaystyle Y.}$ しかし、以下の結果が成り立つ：^{[ 5 ]}

• もし${\displaystyle A}$乏しい${\displaystyle Y,}$それから${\displaystyle A}$乏しい${\displaystyle X.}$
• もし${\displaystyle Y}$オープンしています${\displaystyle X,}$それから${\displaystyle A}$乏しい${\displaystyle Y}$かつその場合に限り${\displaystyle A}$乏しい${\displaystyle X.}$
• もし${\displaystyle Y}$密度が高い${\displaystyle X,}$それから${\displaystyle A}$乏しい${\displaystyle Y}$かつその場合に限り${\displaystyle A}$乏しい${\displaystyle X.}$

そして、それと同様に、少なすぎない集合の場合：

• もし${\displaystyle A}$は少なくない${\displaystyle X,}$それから${\displaystyle A}$は少なくない${\displaystyle Y.}$
• もし${\displaystyle Y}$オープンしています${\displaystyle X,}$それから${\displaystyle A}$は少なくない${\displaystyle Y}$かつその場合に限り${\displaystyle A}$は少なくない${\displaystyle X.}$
• もし${\displaystyle Y}$密度が高い${\displaystyle X,}$それから${\displaystyle A}$は少なくない${\displaystyle Y}$かつその場合に限り${\displaystyle A}$は少なくない${\displaystyle X.}$

特に、${\displaystyle X}$それ自体が乏しいものは、${\displaystyle X.}$ すべてのサブセット${\displaystyle X}$それは少なからぬ${\displaystyle X}$それ自体は貧弱ではない。そして、開集合または稠密集合の場合${\displaystyle X,}$乏しい${\displaystyle X}$それはそれ自体が乏しいことと同義であり、同様に乏しくない性質についても同じことが言える。

位相空間${\displaystyle X}$が非乏しいのは、稠密な開集合のすべての可算共通が${\displaystyle X}$空ではない。^{[ 13 ]}

どこにも密集していないすべての部分集合${\displaystyle X}$は乏しい。したがって、内部が空である任意の閉部分集合は乏しい。したがって、の閉部分集合は${\displaystyle X}$それは2番目のカテゴリーに属します${\displaystyle X}$内部が空でない必要がある${\displaystyle X}$^{[ 14 ]} (そうでなければどこにも密ではなく、したがって第一のカテゴリーになるから)。

もし${\displaystyle B\subseteq X}$は第２のカテゴリーに属する${\displaystyle X}$そしてもし${\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots }$は、${\displaystyle X}$そのため${\displaystyle B\subseteq S_{1}\cup S_{2}\cup \cdots }$そして少なくとも1つ${\displaystyle S_{n}}$は第２のカテゴリーに属する${\displaystyle X.}$

乏しい集合は、バナッハ・マズールゲームの観点から有用な別の特徴付けを持つ。${\displaystyle Y}$位相空間である、${\displaystyle {\mathcal {W}}}$部分集合の族である${\displaystyle Y}$内部が空でない集合で、すべての空でない開集合が に属する部分集合を持つ${\displaystyle {\mathcal {W}},}$そして${\displaystyle X}$の任意の部分集合である${\displaystyle Y.}$ 次に、バナッハ・マズールゲームがある。${\displaystyle MZ(X,Y,{\mathcal {W}}).}$ バナッハ・マズールゲームでは、2人のプレイヤーが、${\displaystyle P}$そして${\displaystyle Q,}$交互に、より小さな要素を順次選択する${\displaystyle {\mathcal {W}}}$シーケンスを生成する${\displaystyle W_{1}\supseteq W_{2}\supseteq W_{3}\supseteq \cdots .}$ プレーヤー${\displaystyle P}$この数列の交点に点が含まれている場合、勝ちます。${\displaystyle X}$; それ以外の場合は、プレイヤー${\displaystyle Q}$勝利。

乏しい集合に関する多くの議論は、空集合、すなわちルベーグ測度が 0 の集合にも適用されます。エルデシュ・シェルピンスキーの双対性定理は、連続体仮説が成り立つ場合、実数から実数への対合が存在し、実数の空集合の像は乏しい集合であり、その逆もまた然りであると述べています。^{[ 16 ]}実際、写像による実数の集合の像は、元の集合が乏しい集合である場合に限り空集合であり、その逆もまた然りです。^{[ 17 ]}

• 樽型空間– 位相ベクトル空間の一種 
• 一般的なプロパティ– 典型的な例に対するプロパティの保持、残余の類似物 
• 無視できる集合– 数学的に重要でないとみなされる集合。 
• ベールの性質– 開集合と貧集合の差 

• ナリチ、ローレンス；ベッケンシュタイン、エドワード（2011）。位相ベクトル空間。純粋および応用数学（第2 版）。フロリダ州ボカラトン：CRC Press。ISBN 978-1584888666OCLC 144216834。​ 
• ブルバキ、ニコラス(1989) [1967]。一般トポロジ 2: 第 5 章から第 10 章[ Topologie Générale ]。数学的要素。 Vol.  4. ベルリン、ニューヨーク: Springer Science & Business Media。ISBN 978-3-540-64563-4. OCLC 246032063 . 
• オクトビー、ジョン・C. (1980). 「バナッハの圏定理」 .測度と圏（第2 版）. ニューヨーク：スプリンガー. pp. 62–65 . ISBN  0-387-90508-1。
• ルディン、ウォルター（ 1991）。関数解析。国際純粋応用数学シリーズ。第 8巻（第2 版）。ニューヨーク州ニューヨーク：マグロウヒル科学・工学・数学。ISBN 978-0-07-054236-5OCLC 21163277。​ 
• ウィラード、スティーブン（2004）[1970]。一般トポロジー。ミネオラ、ニューヨーク：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-43479-7OCLC 115240。​