有界演算子

関数解析と作用素理論において、有界線型作用素とは、の有界部分集合を の有界部分集合に写像する位相ベクトル空間(TVS)と の間の線型変換 です。と がノルムベクトル空間(特殊なタイプの TVS)である 場合、 が有界となるのは、すべてに対して となるようなものが存在する場合のみです。 そのような最小のものはの作用素ノルムと呼ばれ、 で表されます。 ノルム空間間の有界作用素は連続であり、その逆も同様です。 ${\displaystyle L:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle L}$${\displaystyle M>0}$${\displaystyle x\in X,}$ $${\displaystyle \|Lx\|_{Y}\leq M\|x\|_{X}.}$$${\displaystyle M}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \|L\|.}$

有界線形作用素の概念は、ノルム空間からすべての位相ベクトル空間に拡張されています。

関数解析以外では、関数が「有界」と呼ばれる場合、これは通常、その像がその共域の有界部分集合であることを意味します。線型写像がこの特性を持つのは、線型写像が同一である場合のみです。 したがって、関数解析では、線型演算子が「有界」と呼ばれる場合、この抽象的な意味（有界像を持つ）では決して意味されません。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f(X)}$${\displaystyle 0.}$

あらゆる有界演算子は、${\displaystyle 0.}$

ノルム空間間の線型作用素は、連続である場合にのみ有界です。

2 つの位相ベクトル空間(TVS)間の線型作用素は、 がで有界である場合に が で有界であるとき、有界線型作用素または単に有界である と呼ばれます。TVS の部分集合は、原点のすべての近傍がその部分集合を吸収するとき、有界 (より正確にはフォン ノイマン有界) であると呼ばれます。ノルム空間 (および半ノルム空間) では、部分集合がフォン ノイマン有界であるためには、ノルム有界である必要があります。したがって、ノルム空間では、フォン ノイマン有界集合の概念は、ノルム有界部分集合の通常の概念と同じです。 ${\displaystyle F:X\to Y}$${\displaystyle B\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F(B)}$${\displaystyle Y.}$

TVS間の連続線形演算子はすべて有界演算子です。^[1] これは、距離化可能なTVS間の連続線形演算子はすべて有界であることを意味します。ただし、一般に、2つのTVS間の有界線形演算子は連続である必要はありません。

この定式化により、有界集合を有界集合に変換する演算子として、一般位相ベクトル空間間の有界演算子を定義できます。このコンテキストでは、すべての連続マップが有界であることは依然として真実ですが、その逆は成り立ちません。つまり、有界演算子は連続である必要はありません。これはまた、このコンテキストでは有界性がもはやリプシッツ連続性と同等ではないことを意味します。

領域がボルノロジー空間（たとえば、擬似距離化可能な TVS、フレシェ空間、ノルム空間）である場合、他の任意の局所凸空間への線型作用素は、連続である場合に限り、有界になります。LF 空間の場合、より弱い逆が成り立ち、LF 空間からの任意の有界線型写像は順次連続します。

が2つの位相ベクトル空間の間の線型作用素であり、がの有界部分集合となるような原点の近傍が存在する場合、は連続である。^[2] この事実は、原点のある近傍で有界となる線型作用素は必然的に連続であると要約されることが多い。特に、原点のある近傍で有界となる線型関数はどれも連続である（たとえその定義域がノルム空間でなくても）。 ${\displaystyle F:X\to Y}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F(U)}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle F}$

ボルノロジー空間とは、他の局所凸空間への有界線型作用素が必ず連続するような局所凸空間のことである。つまり、局所凸TVSがボルノロジー空間となるのは、すべての局所凸TVSに対して線型作用素が有界である場合に限り連続となるときである。^[3]${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle F:X\to Y}$

すべての規範空間は生まれながらに存在します。

を位相ベクトル空間間の線型作用素とします（ハウスドルフである必要はありません）。以下は同値です 。${\displaystyle F:X\to Y}$

1. ${\displaystyle F}$（局所的に）有界である；^[3]
2. （定義）：その定義域の有界部分集合をその共定義域の有界部分集合に写像する；^[3]${\displaystyle F}$
3. ${\displaystyle F}$定義域の有界部分集合をその像 の有界部分集合に写像する。^[3]${\displaystyle \operatorname {Im} F:=F(X)}$
4. ${\displaystyle F}$すべてのヌルシーケンスを境界シーケンスにマッピングする。^[3]
   • ヌルシーケンスは、定義上、原点に収束するシーケンスです。
   • したがって、原点で連続する任意の線型写像は、必然的に有界線型写像になります。
5. ${\displaystyle F}$^{あらゆるマッキー収束零列を[注1]}の有界部分集合に写像する。${\displaystyle Y.}$
   • がの有界部分集合であるような正の実数の発散列が存在するとき、その列はの原点にマッキー収束するという。${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to \infty }$${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle X.}$

およびが局所的に凸である場合、次のものをこのリストに追加できます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

6. ${\displaystyle F}$有界円を有界円に写像する。^[4]
7. ${\displaystyle F^{-1}}$のbornivorousディスクをのbornivorousディスクにマッピングする^[4]${\displaystyle Y}$${\displaystyle X.}$

がボルノロジー空間であり、局所的に凸である場合、このリストに以下を追加できます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

8. ${\displaystyle F}$は、その定義域のいくつかの点（または同等に、すべての点）において連続的である。 ^[5]
   • 2つのTVS間の連続線形写像は常に有界であるが^[1]、その逆は追加の仮定（領域が境界付きであり、共領域が局所的に凸であるなど）を必要とする。
   • 領域も順次空間である場合、 が連続である場合に限り、は順次連続です。${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$
9. ${\displaystyle F}$は原点において連続的に存在します。

• 2つの有限次元ノルム空間間の任意の線形演算子は有界であり、そのような演算子は、ある固定行列による乗算として見ることができます。
• 有限次元ノルム空間上で定義された任意の線形演算子は有界です。
• 最終的にゼロになる実数列のシーケンス空間 では、ノルムを考慮すると、シーケンスの合計を返す実数への線形演算子は、演算子ノルム 1 で有界になります。同じ空間をノルムで考慮すると、同じ演算子は有界になりません。${\displaystyle c_{00}}$${\displaystyle \ell^{1}}$${\displaystyle \ell ^{\infty }}$
• 多くの積分変換は有界線型演算子です。たとえば、が 連続関数である場合、一様ノルムを持ち、式によって与えられた 空間内の値を持つ上の連続関数の空間で定義される演算子 は有界です。この演算子は実際にはコンパクト演算子です。コンパクト演算子は、有界演算子の重要なクラスを形成します。$${\displaystyle K:[a,b]\times [c,d]\to \mathbb {R} }$$${\displaystyle L}$${\displaystyle C[a,b]}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle C[c,d]}$${\displaystyle L}$$${\displaystyle (Lf)(y)=\int _{a}^{b}\!K(x,y)f(x)\,dx,}$$
• ラプラス演算子 （その定義域はソボレフ空間であり、二乗可積分関数の空間で値を取る）は有界です。$${\displaystyle \Delta :H^{2}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{2}(\mathbb {R} ^{n})\,}$$
• 実数列全体のLp空間上のシフト作用素は有界 である。その作用素ノルムは簡単に次のように表せる。 ${\displaystyle \ell^{2}}$ ${\displaystyle \left(x_{0},x_{1},x_{2},\ldots \right)}$${\displaystyle x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots <\infty ,\,}$ $${\displaystyle L(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )=\left(0,x_{0},x_{1},x_{2},\ldots \right)}$$${\displaystyle 1.}$

をノルムを 持つすべての三角多項式空間とする${\displaystyle X}$${\displaystyle [-\pi ,\pi ],}$

$${\displaystyle \|P\|=\int _{-\pi }^{\pi }\!|P(x)|\,dx.}$$

多項式をその導関数にマッピングする演算子は有界ではありません。実際、を とすると となり、となるため有界ではありません。 ${\displaystyle L:X\to X}$${\displaystyle v_{n}=e^{inx}}$${\displaystyle n=1,2,\ldots ,}$${\displaystyle \|v_{n}\|=2\pi ,}$${\displaystyle \|L(v_{n})\|=2\pi n\to \infty }$${\displaystyle n\to \infty ,}$${\displaystyle L}$

からまでのすべての有界線型作用素の空間は と表されます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle B(X,Y)}$

• ${\displaystyle B(X,Y)}$ノルムベクトル空間です。
• がバナッハならば もバナッハです。特に、双対空間はバナッハです。${\displaystyle Y}$${\displaystyle B(X,Y)}$
• 任意の に対して、の核はの閉じた線形部分空間です。${\displaystyle A\in B(X,Y)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$
• がバナッハであり、が非自明である場合、 はバナッハです。${\displaystyle B(X,Y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

• 有界集合（位相ベクトル空間）  – 有界性の一般化
• 縮約（作用素論）  - サブユニットノルムを持つ有界作用素
• 不連続線形マップ
• 連続線形演算子
• 局所的境界
• ノルム（数学）  – ベクトル空間における長さ
• 作用素代数 – 関数解析の分野
• 演算子ノルム – 線形演算子の「サイズ」の尺度
• 作用素論 – 数学の研究分野
• セミノルム – 数学関数
• 非有界演算子 – 密な線形部分空間上で定義された線形演算子

• 「有界演算子」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• クレイシグ、エルウィン：応用を伴う関数解析入門、ワイリー、1989年
• ナリシ、ローレンス; ベッケンシュタイン、エドワード (2011)。位相ベクトル空間。純粋数学と応用数学 (第 2 版)。ボカラトン、フロリダ州: CRC プレス。ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• ウィランスキー、アルバート(2013)。位相ベクトル空間における最新の手法。ニューヨーク州ミネオラ: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.