極地トポロジー

関数解析および関連する数学の分野において、の集合上の極位相、-収束の位相${\displaystyle {\mathcal {G}}}$、または一様収束の位相は、ペアリングのベクトル空間上の局所凸位相を定義する方法です。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

ペアリングは、体（実数または複素数）上の2つのベクトル空間と双線型写像からなる3つ組です。 双対ペアまたは双対システムとは、次の2つの分離公理を満たす ペアリングです。${\displaystyle (X,Y,b)}$${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle b:X\times Y\to \mathbb {K} .}$${\displaystyle (X,Y,b)}$

1. ${\displaystyle Y}$の点を分離/区別します${\displaystyle X}$。すべての非ゼロに対して、次の値が存在することになります。${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle b(x,y)\neq 0,}$
2. ${\displaystyle X}$の点を分離/区別します${\displaystyle Y}$。すべての非ゼロに対して、${\displaystyle y\in Y,}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle b(x,y)\neq 0.}$

部分集合の極または絶対極は集合[ ^{1]である。}${\displaystyle A\subseteq X}$

${\displaystyle A^{\circ }:=\left\{y\in Y:\sup _{x\in A}|b(x,y)|\leq 1\right\}.}$

双対的に、部分集合の極または絶対極は次のように表され、次のように定義される。 ${\displaystyle B\subseteq Y}$${\displaystyle B^{\circ },}$

${\displaystyle B^{\circ }:=\left\{x\in X:\sup _{y\in B}|b(x,y)|\leq 1\right\}.}$

この場合、部分集合の絶対極は前極とも呼ばれ 、次のように表記される。${\displaystyle B\subseteq Y}$${\displaystyle B}$${\displaystyle {}^{\circ }B.}$

極座標は原点を含む凸均衡集合である。 ^[2]

ならば、で表される の双極性はで定義されます。同様に、 ならば、 の双極性はで定義されます。${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle A^{\circ \circ },}$${\displaystyle A^{\circ \circ }={}^{\circ }(A^{\circ }).}$${\displaystyle B\subseteq Y}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B^{\circ \circ }=\left({}^{\circ }B\right)^{\circ }.}$

がベクトル空間のペアであると仮定する。${\displaystyle (X,Y,b)}$${\displaystyle \mathbb {K} .}$

表記法：すべてのに対して、で定義される線形関数をと表し、${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle b(x,\cdot ):Y\to \mathbb {K} }$${\displaystyle Y}$${\displaystyle y\mapsto b(x,y)}$${\displaystyle b(X,\cdot )=\left\{b(x,\cdot )~:~x\in X\right\}.}$

同様に、すべてのに対しては、を次のように定義し、${\displaystyle y\in Y,}$${\displaystyle b(\cdot,y):X\to \mathbb{K} }$${\displaystyle x\mapsto b(x,y)}$${\displaystyle b(\cdot,Y)=\left\{b(\cdot,y)~:~y\in Y\right\}.}$

（および）によって誘導される 上の弱い位相は、 によって表されるか、または単に としてすべての写像が連続になる、上の最も弱い TVS 位相であり、 は上の範囲である^[3]同様に、 （および）によって誘導される上の弱い位相の双対定義があり、 によって表されるか、または単に として表される： は、 上の最も弱い TVS 位相であり、すべての写像が連続になる、 は上の範囲である^[3]${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle b}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$${\displaystyle \sigma (X,Y),}$${\displaystyle b(\cdot,y):X\to \mathbb{K} }$${\displaystyle y}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$${\displaystyle \sigma (Y,X)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle b(x,\cdot ):Y\to \mathbb {K} }$${\displaystyle x}$${\displaystyle X.}$

次の定理により、族は^[3]の-有界部分集合から構成されるとほぼ常に仮定される。${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$${\displaystyle X.}$

全てのペアリングは対応するペアリングと関連付けることができ、定義により^[3]${\displaystyle (X,Y,b)}$${\displaystyle (Y,X,{\hat {b}})}$${\displaystyle {\hat {b}}(y,x)=b(x,y).}$

双対性理論には、ペアリングの定義には必ずそのペアリングの双対定義が存在するというテーマが繰り返される。${\displaystyle (X,Y,b)}$${\displaystyle (Y,X,{\hat {b}}).}$

規則と定義: ペアリングに対する任意の定義が与えられた場合、それをペアリングに適用することで、双対定義が得られます。定義がとの順序に依存する場合 (例: 「によって上で定義される弱いトポロジー」の定義)、 と の順序を入れ替えることで、この定義を に適用することになります(例: 「によって上で定義される弱いトポロジー」の定義が得られます)。${\displaystyle (X,Y,b),}$${\displaystyle (Y,X,{\hat {b}}).}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \sigma (X,Y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle (Y,X,{\hat {b}})}$${\displaystyle \sigma (Y,X)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$

たとえば、上記のように「はの点を区別します（それぞれ、「 はの完全なサブセットです」）」と定義すると、「はの点を区別します（それぞれ、「 はの完全なサブセットです」）」の双対定義がすぐに得られます。たとえば、が定義されると、類似の定義を言及しなくても が定義されていると自動的に想定されるはずです。同じことが多くの定理にも当てはまります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle S}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma (X,Y)}$${\displaystyle \sigma (Y,X)}$

慣例: 一般的な慣例に従い、明確にする必要がない限り、ペアリングに対して定義 (または結果) が与えられるときは常に、対応するデュアル定義 (または結果) を省略して記載しますが、それでも使用される場合があります。${\displaystyle (X,Y,b)}$

特に、この記事では、の - 有界部分集合の集合である 上の極位相の一般的な概念のみを定義しますが、それでも、 の - 有界部分集合の集合である上の極位相の双対定義を使用します。${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle \sigma (X,Y)}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle \sigma (Y,X)}$${\displaystyle Y.}$

の識別${\displaystyle (X,Y)}$${\displaystyle (Y,X)}$

技術的には正しくなく、表記法の乱用でもありますが、次の規則はほぼ普遍的に使用されています。

慣例: この記事では、ペアリングを互換的に扱い、また次のように表記するという一般的な慣例を使用します。${\displaystyle (X,Y,b)}$${\displaystyle \left(Y,X,{\hat {b}}\right)}$${\displaystyle \left(Y,X,{\hat {b}}\right)}$${\displaystyle (Y,X,b).}$

全体を通して、は体上のベクトル空間のペアであり、の -有界部分集合の空でない集合である。${\displaystyle (X,Y,b)}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$${\displaystyle X.}$

任意のとに対して凸かつバランスが取れており、は -有界であるため、集合はに吸収される。${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle rG^{\circ}=r\left(G^{\circ}\right)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$${\displaystyle rG^{\circ}}$${\displaystyle Y.}$

（および）によって決定される（または生成される）上の極位相は、上の-位相またはの集合上の一様収束の位相とも呼ばれ、上 の唯一の位相ベクトル空間（TVS）位相であり、${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {G}},}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \left\{rG^{\circ }~:~G\in {\mathcal {G}},r>0\right\}}$

は原点において近傍基底を形成する。 ^[3]がこの -位相を持つとき、それは次のように表される。${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle Y_{\mathcal {G}}.}$

が収束する正の数列である場合、定義する近傍基数は次のように置き換えられる。 ${\displaystyle \left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 0}$

${\displaystyle \left\{r_{i}G^{\circ }~:~G\in {\mathcal {G}},i=1,2,\ldots \right\}}$

結果のトポロジを変更することなく。

が部分集合包含に関して有向集合である場合（すなわち、すべてのに対してとなるものが存在する場合）、原点における定義近傍部分基底は実際には^[3]における近傍基底を形成する。${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle G,H\in {\mathcal {G}},}$${\displaystyle K\not \in {\mathcal {G}}}$${\displaystyle G\cup H\subseteq K}$${\displaystyle 0.}$

極位相を定義する半ノルム

それぞれは、次のように定義される 半ノルムを決定する。${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle p_{G}:Y\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle p_{G}(y)=\sup _{g\in G}|b(g,y)|=\sup |b(G,y)|}$

ここで、およびは実際にはのミンコフスキー関数である。このため、上の位相は常に局所凸位相である。^[3]${\displaystyle G^{\circ }=\left\{y\in Y:p_{G}(y)\leq 1\right\}}$${\displaystyle p_{G}}$${\displaystyle G^{\circ }.}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle Y}$

変更中${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

の集合の全ての正のスカラー倍数が に属する集合に含まれる場合、原点における定義近傍基底は次のように置き換えることができる。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

${\displaystyle \left\{G^{\circ }:G\in {\mathcal {G}}\right\}}$

結果のトポロジを変更することなく。

次の定理は、上の -トポロジーを変化させずに を改変する方法を示している。${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle Y.}$

この定理のため、多くの著者は、 が以下の追加条件も満たすことを要求することがよくあります。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

• 任意の 2 つの集合の和集合は、何らかの集合に含まれます。${\displaystyle A,B\in {\mathcal {G}}}$${\displaystyle C\in {\mathcal {G}}}$
• あらゆるスカラー倍数は${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}.}$

一部の著者^[4]はさらに、あらゆるが何らかの集合に属していると仮定している。この仮定は、-位相がハウスドルフであることを保証するのに十分だからである。 ${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

ネットとフィルタの収束

が のネットである場合、上の-位相においてに対してかつその場合に限る。言い換えると、 に対して上の線型汎関数のネットが上でに一様収束する場合 かつその場合に限る。ここで、 に対して の線型汎関数は次のように定義される。${\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i\in I}\to 0}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle G\in {\mathcal {G}},}$ ${\displaystyle p_{G}(y_{i})=\sup _{g\in G}|b(g,y_{i})|\to 0,}$${\displaystyle G\in {\mathcal {G}},}$${\displaystyle (b(\cdot ,y_{i}))_{i\in I}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle G}$${\displaystyle i\in I,}$${\displaystyle b(\cdot ,y_{i})}$${\displaystyle x\mapsto b(x,y_{i}).}$

の位相において、すべての${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i\in I}\to y}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle G\in {\mathcal {G}},}$ ${\displaystyle p_{G}\left(y_{i}-y\right)=\sup \left|b\left(G,y_{i}-y\right)\right|\to 0.}$

上のフィルタが 上の位相の要素に収束するのは、各上で一様に収束する場合である。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}.}$

記事「線型写像の空間上の位相」の結果は、極位相にも適用できます。

全体を通して、は体上のベクトル空間のペアであり、の -有界部分集合の空でない集合である。${\displaystyle (X,Y,b)}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$${\displaystyle X.}$

ハウスドルフネス

のすべての点が の集合に属するとき、 が被覆すると言う。${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {G}}.}$

の線型範囲が[5]で稠密であるとき、は^[5]で全であると言う。${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \bigcup \nolimits _{G\in {\mathcal {G}}}G}$${\displaystyle X.}$

全体を通して、は体上のベクトル空間のペアリングとなり、はの -有界部分集合の空でない集合となる。${\displaystyle (X,Y,b)}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$${\displaystyle X.}$

以下の表では、 については省略します。位相は、大まかに対応する順序でリストされており、最初に粗い位相、最後に細かい位相が並んでいます。これらの位相の中には、とその下の位相 (つまり、 -完全で有界なディスクによって生成される位相) や がハウスドルフでない場合など、順序が間違っているものがあることに注意してください。 複数の部分集合のコレクションが左端の列の同じ行に表示される場合は、これらのコレクションによって同じ極位相が生成されることを意味します。 ${\displaystyle b.}$${\displaystyle c(X,Y,b)}$${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$

表記法： が上の極位相を表す場合、この位相に恵まれた はまたは単にで表されます。たとえば、 の場合、となり、すべてがに恵まれた を表します。${\displaystyle \Delta (Y,X,b)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y_{\Delta (Y,X,b)},}$ ${\displaystyle Y_{\Delta (Y,X)}}$${\displaystyle Y_{\Delta }.}$${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$${\displaystyle \Delta (Y,X,b)=\sigma }$${\displaystyle Y_{\sigma (Y,X,b)},}$ ${\displaystyle Y_{\sigma (Y,X)}}$${\displaystyle Y_{\sigma }}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \sigma (X,Y,b).}$

任意の におけるの基本-近傍は次の形式の集合である: ${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \left\{z\in X:|b(z-x,y_{i})|\leq r{\text{ for all }}i\right\}}$

^[3]における実数と有限の点の集合に対して${\displaystyle r>0}$${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$${\displaystyle Y.}$

の連続双対空間は、より正確には、上の線型汎関数がこの連続双対空間に属するための必要十分条件は、すべてに対してとなるようなものが存在する場合であることを意味します。[ 3 ]^弱位相は、これが真となる 上の最も粗い TVS 位相です。 ${\displaystyle (Y,\sigma (Y,X,b))}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f(y)=b(x,y)}$${\displaystyle y\in Y.}$${\displaystyle Y}$

一般に、の-コンパクト部分集合の凸バランス包は-コンパクトである必要はない。^[3]${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$

と が複素数上のベクトル空間である場合（これは が複素数値であることを意味する）、実数上のベクトル空間として考えたとき、これらの空間を と で表すものとする。の実部を で表し、がペアリングであることに注目する。上の弱位相はの弱位相と同一である。これは、 上の任意の複素数値線形汎関数で実部が${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle b}$${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle Y_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle \operatorname {Re} b}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \left(X_{\mathbb {R} },Y_{\mathbb {R} },\operatorname {Re} b\right)}$${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \sigma \left(X_{\mathbb {R} },Y_{\mathbb {R} },\operatorname {Re} b\right).}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle r:=\operatorname {Re} f.}$

${\displaystyle f=r(y)-ir(iy)}$     全ての${\displaystyle y\in Y.}$

の連続双対空間は(弱位相について説明したのとまったく同じ方法で)です。さらに、Mackey 位相は、これが成り立つ 上の最も優れた局所凸位相であり、これがこの位相を重要なものにしているのです。 ${\displaystyle (Y,\tau (Y,X,b))}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

一般に、の -コンパクト部分集合の凸バランス包は-コンパクトである必要はないので、^[3] Mackey位相は位相よりも厳密に粗い可能性がある。すべての-コンパクト集合は-有界であるため、Mackey位相は強位相よりも粗い^[3]。${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$${\displaystyle c(X,Y,b).}$${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$${\displaystyle b(X,Y,b).}$

位相の原点における近傍基底（単なるサブ基底ではない）は次のようになる。^[3]${\displaystyle \beta (Y,X,b)}$

${\displaystyle \left\{A^{\circ }~:~A\subseteq X{\text{ is a }}\sigma (X,Y,b)-{\text{bounded}}{\text{ subset of }}X\right\}.}$

強位相はマッキー位相よりも細かい。^[3]${\displaystyle \beta (Y,X,b)}$

このセクション全体を通じて、は連続的な双対空間を持つ位相ベクトル空間(TVS)となり、 は標準的なペアリングとなり、定義によりベクトル空間 は常に の点を区別/分離しますが、の点を区別できないこともあります(これは、たとえばがハウスドルフでない場合は必然的に発生します)。その場合、ペアリングは双対ではありません。ハーン–バナッハの定理により、 がハウスドルフ局所凸空間である場合、 はの点を分離し、したがって双対を形成します。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle (X,X',\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$${\displaystyle \langle x,x'\rangle =x'(x).}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,X',\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,X',\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$

• が を覆う場合、から への標準写像は明確に定義される。つまり、 上のすべての評価関数に対して写像は上で連続であることを意味する。${\displaystyle \bigcup _{G\in {\mathcal {G}}}G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \left(X'_{\mathcal {G}}\right)'}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle X'.}$${\displaystyle x'\in X'\mapsto \langle x',x\rangle ,}$${\displaystyle X'_{\mathcal {G}}.}$
  • さらに が上の点を分離する場合、から への標準写像は単射です。${\displaystyle X'}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \left(X'_{\mathcal {G}}\right)'}$
• が連続線型で、およびがそれぞれおよびの有界部分集合の集合であり、それぞれが公理およびを満たすと仮定すると、の転置が連続であるためには、任意のに対して、となるようなものが存在する必要がある^[6]。${\displaystyle u:E\to F}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}_{2}.}$${\displaystyle u,}$ ${\displaystyle {}^{t}u:Y'_{\mathcal {H}}\to X'_{\mathcal {G}}}$${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$${\displaystyle H\in {\mathcal {H}}}$${\displaystyle u(G)\subseteq H.}$
  • 特に、 の転置は、が(それぞれ、) 位相を持ち、 が 位相よりも強い任意の位相を持つ場合(それぞれ、 )に連続です。${\displaystyle u}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle \sigma (X',X)}$${\displaystyle \gamma (X',X),}$ ${\displaystyle c(X',X),}$ ${\displaystyle b(X',X)}$${\displaystyle Y'}$${\displaystyle \sigma (Y',Y)}$${\displaystyle \gamma (Y',Y),}$ ${\displaystyle c(Y',Y),}$ ${\displaystyle b(Y',Y)}$
• が体上の局所凸ハウスドルフTVSであり、が公理を満たすの有界部分集合の集合である場合、によって定義される双線型写像が連続となるのは、がノルム可能であり、上の-位相が強双対位相である場合に限る。${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}_{2}}$${\displaystyle X\times X'_{\mathcal {G}}\to \mathbb {K} }$${\displaystyle (x,x')\mapsto \langle x',x\rangle =x'(x)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle b(X',X).}$
• がフレシェ空間であり、が公理とを満たす の有界部分集合の集合であるとします。に のすべてのコンパクト部分集合が含まれる場合、は完全です。${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}_{2}.}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X'_{\mathcal {G}}}$

全体を通して、連続的な双対空間を持つフィールド上のTVSとなり、正準ペアリングに関連付けられます。以下の表は、最も一般的な極性トポロジの多くを定義しています。${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle X'}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle X'.}$

表記: が極位相を表す場合、この位相が備わっている は で表されます(例: の場合、となり、はが備わっている を表します)。さらに の場合、この TVS は で表されます(例: )。${\displaystyle \Delta (X',Z)}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle X'_{\Delta (X',Z)}}$${\displaystyle \tau (X',X'')}$${\displaystyle \Delta =\tau }$${\displaystyle Z=X''}$${\displaystyle X'_{\tau (X',X'')}}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle \tau (X',X'')}$
${\displaystyle Z=X}$${\displaystyle X'_{\Delta }}$${\displaystyle X'_{\sigma }:=X'_{\sigma (X',X)}}$

上記のコレクションのいくつか（同じ行）が同じ極位相を誘導する理由は、いくつかの基本的な結果によるものです。完全な TVS の閉じた部分集合は完全であり、ハウスドルフと完全な TVS の完全な部分集合は閉じています。^[7]さらに、すべての TVS において、コンパクト部分集合は完全であり^[7]、コンパクトな（または完全に有界な）部分集合のバランスのとれた包は、やはりコンパクトです（または完全に有界です）。^[8]また、バナッハ空間は弱完全でなくても完全である可能性があります。

が有界ならばはに吸収される（上の任意のTVS位相において が原点の近傍となるためには が吸収されることが必須条件であることに注意）。^[2]が局所凸空間で が吸収される場合は はに有界である。さらに、部分集合が弱有界となるのは がに吸収される場合に限る。このため、 の有界部分集合の族に注目することが一般的である。${\displaystyle B\subseteq X}$${\displaystyle B^{\circ }}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle B^{\circ }}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B^{\circ }}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle S^{\circ }}$${\displaystyle X'.}$${\displaystyle X.}$

トポロジには次のプロパティがあります。 ${\displaystyle \sigma (X',X)}$

• バナッハ・アラオグル定理： のすべての等連続部分集合に対して相対コンパクトである^[9]${\displaystyle X'}$${\displaystyle \sigma (X',X).}$
  • したがって、の等連続部分集合の凸均衡包の -閉包は等連続かつ -コンパクトであることがわかる。${\displaystyle \sigma (X',X)}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle \sigma (X',X)}$
• 定理（S.バナッハ）：と がフレシェ空間であるか、または反射的フレシェ空間の双対であり、 が連続線型写像であるとする。このとき、 が射影的であることは、 の転置が1 対 1 であり、の像がで弱閉であることと同値である。${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle u:X\to Y}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u,}$ ${\displaystyle {}^{t}u:Y'\to X',}$${\displaystyle {}^{t}u}$${\displaystyle X'_{\sigma (X',X)}.}$
• およびがフレシェ空間であり、がハウスドルフ局所凸空間であり、が別々に連続な双線型写像であると仮定します。このとき、は連続です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle u:X'_{\sigma }\times Y'_{\sigma }\to Z'_{\sigma }}$${\displaystyle u:X'_{b}\times Y'_{b}\to Z'_{b}}$
  • 特に、反射的フレシェ空間の 2 つの双対の積から 3 番目のフレシェ空間への任意の別々に連続する双線型写像は連続です。
• ${\displaystyle X'_{\sigma (X',X)}}$は有限次元である場合にのみ正規化可能である。${\displaystyle X}$
• が無限次元のとき、上の位相は強い双対位相よりも厳密に粗い。${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma (X',X)}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle b(X',X).}$
• が局所凸ハウスドルフ空間であり、 がその完備化であるとする。 のとき、は厳密には${\displaystyle X}$${\displaystyle {\hat {X}}}$${\displaystyle X\neq {\hat {X}}}$${\displaystyle \sigma (X',{\hat {X}})}$${\displaystyle \sigma (X',X).}$
• 可分ハウスドルフ局所凸ベクトル空間の双対内の任意の等連続部分集合は、位相において距離化可能である。${\displaystyle \sigma (X',X)}$
• が局所凸である場合、部分集合が-有界であるためには、次のような樽が存在する必要がある。 ^[3]${\displaystyle X}$${\displaystyle H\subseteq X'}$${\displaystyle \sigma (X',X)}$ ${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle H\subseteq B^{\circ }.}$

がフレシェ空間である場合、位相${\displaystyle X}$${\displaystyle \gamma \left(X',X\right)=c\left(X',X\right).}$

がフレシェ空間またはLF 空間である場合、は完全です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle c(X',X)}$

が距離化可能な位相ベクトル空間であり、と のすべての同値連続部分集合との共通部分が弱開集合である場合、 はにおいて開集合である。${\displaystyle X}$${\displaystyle W'\subseteq X'.}$${\displaystyle W'}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle W'}$${\displaystyle c(X',X).}$

バナッハ・アラオグル定理: 等連続部分集合は、プレコンパクト集合上の一様収束の位相においてコンパクト閉包を持つ。さらに、この位相はと一致する。 ${\displaystyle K\subseteq X'}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \sigma (X',X)}$

を のすべての凸バランス弱コンパクト部分集合の集合とすると、 は上の Mackey 位相、または凸バランス弱コンパクト集合 上の一様収束位相を持ち、これは で表され、この位相は で表されます。${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X'}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle \tau (X',X)}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle X'_{\tau (X',X)}.}$

この位相の重要性から、の連続双対空間は、通常、単に次のように表記される。したがって、${\displaystyle X'_{b}}$${\displaystyle X''.}$${\displaystyle (X'_{b})'=X''.}$

トポロジには次のプロパティがあります。 ${\displaystyle b(X',X)}$

• が局所的に凸である場合、この位相は、集合が の部分集合であるのみを考慮すると、上の他のすべての -位相よりも細かい。${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle X.}$
• がボルノロジー空間（例えば、距離化可能空間またはLF空間）である場合、は完全です。${\displaystyle X}$${\displaystyle X'_{b(X',X)}}$
• がノルム空間である場合、上の強双対位相はノルムによって定義される。ここで^[10]${\displaystyle X}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle \left\|x'\right\|:=\sup _{x\in X,\|x\|=1}\left|\left\langle x',x\right\rangle \right|,}$${\displaystyle x'\in X'.}$
• がLF 空間であり、それが空間の列の帰納的極限である場合( に対して)、すべてがノルム可能であるとき、かつその場合に限り、はフレシェ空間です。${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{k}}$${\displaystyle k=0,1\dots }$${\displaystyle X'_{b(X',X)}}$${\displaystyle X_{k}}$
• がモンテル空間である場合、 ${\displaystyle X}$
  • ${\displaystyle X'_{b(X',X)}}$はハイン・ボレル性質を持つ（つまり、 の任意の閉有界部分集合は においてコンパクトである）${\displaystyle X'_{b(X',X)}}$${\displaystyle X'_{b(X',X)}}$
  • の有界部分集合では、強い位相と弱い位相が一致します (したがって、 よりも細かい位相と よりも粗い位相もすべて一致します)。${\displaystyle X'_{b(X',X)},}$${\displaystyle \sigma (X',X)}$${\displaystyle b(X',X)}$
  • のすべての弱収束するシーケンスは強収束します。${\displaystyle X'}$

を のすべての凸バランス弱コンパクト部分集合の集合とすると、 はによって誘導される上の Mackey 位相を持つようになります。または の凸バランス弱コンパクト部分集合上の一様収束の位相を持ち、これは で表され、この位相は で表されます。${\displaystyle {\mathcal {G}}\,'\,'}$${\displaystyle X''=\left(X'_{b}\right)',X'}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle X''}$${\displaystyle X''}$${\displaystyle \tau (X',X'')}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle X'_{\tau (X',X'')}.}$

• このトポロジーはより細かく、したがってより細かい。${\displaystyle b(X',X)}$${\displaystyle \tau (X',X).}$

全体を通して、連続的な双対空間を持つフィールド上のTVSとなり、標準的なペアリングは、およびに関連付けられます。以下の表は、最も一般的な極性トポロジの多くを定義しています。${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle X'}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X'.}$${\displaystyle X.}$

表記: が上の極位相を表す場合、この位相を伴う はまたはで表されます(たとえば、 の場合となり、と は両方とも を伴う を表します)。${\displaystyle \Delta \left(X,X'\right)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{\Delta \left(X,X'\right)}}$${\displaystyle X_{\Delta }}$${\displaystyle \sigma \left(X,X'\right)}$${\displaystyle \Delta =\sigma }$${\displaystyle X_{\sigma (X,X')}}$${\displaystyle X_{\sigma }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma \left(X,X'\right)}$

の等連続部分集合の閉包は弱コンパクトかつ等連続であり、さらに等連続部分集合の凸均衡包は等連続である。 ${\displaystyle X'}$

およびが距離化可能で が線型写像であるハウスドルフ局所凸空間であるとします。すると、が連続なのは、が連続な場合のみです。つまり、およびがそれらの与えられた位相を持つとき、およびがそれらの弱位相を持つ とき、が連続なのは、が連続な場合のみです。${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle u:X\to Y}$${\displaystyle u:X\to Y}$${\displaystyle u:\sigma \left(X,X'\right)\to \sigma \left(Y,Y'\right)}$${\displaystyle u:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle u}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

が のすべての凸バランスのとれた弱コンパクト等連続部分集合の集合である場合、同じ位相が誘導されるはずです。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}'}$${\displaystyle X',}$

が局所凸でハウスドルフの場合、の与えられた位相（つまり、 で開始した位相）は正確に次のようになります。 つまり、ハウスドルフと局所凸に対して が等連続である場合、 が等連続である場合に限り、 が等連続であり、さらに、任意の が原点の近傍である場合に が等連続である場合に限り、 が原点の近傍であるということです。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \varepsilon (X,X').}$${\displaystyle X}$${\displaystyle E\subset X'}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E^{\circ }}$${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle S^{\circ }}$

重要なのは、 TVS 上の連続線形関数の集合が等連続であるためには、それがにおける原点の何らかの近傍の極に含まれる必要がある(つまり) ということである。TVS の位相は原点の開近傍によって完全に決定されるため、集合の極を取る操作によって、 の等連続部分集合の集合が の位相に関するすべての情報を「エンコード」する(つまり、 上の異なる TVS 位相は、異なる等連続部分集合の集合を生成し、そのような集合が与えられれば、集合内の集合の極を取ることで TVS の元の位相を復元できる)。したがって、等連続部分集合の集合への一様収束は、本質的に「 の位相への収束」である。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle H\subseteq U^{\circ }}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

が局所凸ハウスドルフ空間であるとする。 が距離化可能または樽型である場合、の元の位相はマッキー位相^{[11]と同一である。}${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau \left(X,X'\right).}$

をベクトル空間とし、を上の点を分離するの代数的双対のベクトル部分空間とします。が上の他の任意の局所凸ハウスドルフ位相ベクトル空間位相である場合、 はとの双対性と両立します。がを備えているとき、その連続双対空間としてを有します。 に弱位相が与えられている場合、はハウスドルフ局所凸位相ベクトル空間(TVS) であり、との双対性と両立します(つまり)。ここで疑問が生じます。上に配置でき、との双対性と両立するすべての局所凸ハウスドルフ TVS 位相は何か? この疑問の答えはMackey–Arens の定理と呼ばれます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau ,}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma (X,Y)}$${\displaystyle X_{\sigma (X,Y)}}$${\displaystyle \sigma (X,Y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X_{\sigma (X,Y)}'=\left(X_{\sigma (X,Y)}\right)'=Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

• デュアルトポロジー
• 位相のリスト – 具体的な位相と位相空間のリスト
• 局所凸位相ベクトル空間 – 凸開集合によって定義される位相を持つベクトル空間
• 極集合 – 双対の特定の点によって囲まれるすべての点の部分集合（双対の場合）
• 線型写像の空間上の位相
• 双対性と整合する位相
• 位相ベクトル空間 – 近接性の概念を持つベクトル空間

• ナリシ、ローレンス; ベッケンシュタイン、エドワード (2011)。位相ベクトル空間。純粋数学と応用数学 (第 2 版)。ボカラトン、フロリダ州: CRC プレス。ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Robertson, AP; Robertson, W. (1964).位相ベクトル空間. Cambridge University Press.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (第 2 版). ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• トレヴ、フランソワ(2006) [1967]。トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.