分布の極限

数学、特に一般化関数の理論において、分布列の極限とは、その分布列が近づく分布のことである。極限分布までの距離は、適切に定量化すれば、分布列の十分遠い位置にある分布を選択することで、いくらでも小さくすることができる。この概念は、関数列の極限を一般化したものであり、関数の極限が存在しない場合でも、分布としての極限は存在し得る。

この概念は分布計算の一部であり、分布の概念に基づいた一般化された計算形式である。これは、関数というより狭義の概念に基づいた古典的計算とは対照的である。

一連の分布が与えられた場合${\displaystyle f_{i}}$その限界${\displaystyle f}$は、

${\displaystyle f[\varphi ]=\lim _{i\to \infty }f_{i}[\varphi ]}$

各テスト関数について${\displaystyle \varphi }$分布が存在する場合。極限の存在${\displaystyle f}$（１）各${\displaystyle \varphi }$数列の極限${\displaystyle f_{i}[\varphi ]}$存在し、（２）線形関数${\displaystyle f}$上記の式で定義される関数は、テスト関数の空間上の位相に関して連続である。

より一般的に言えば、関数と同様に、分布族の極限を考えることもできる。

古典的な極限が存在しない場合でも、分布的な極限は存在する可能性がある。例えば、次の関数を考えてみよう。

${\displaystyle f_{t}(x)={t \over 1+t^{2}x^{2}}}$

部分積分により、

${\displaystyle \langle f_{t},\phi \rangle =-\int _{-\infty }^{0}\arctan(tx)\phi '(x)\,dx-\int _{0}^{\infty }\arctan(tx)\phi '(x)\,dx,}$

我々は持っています：${\displaystyle \displaystyle \lim _{t\to \infty }\langle f_{t},\phi \rangle =\langle \pi \delta _{0},\phi \rangle }$つまり、${\displaystyle f_{t}}$として$t→∞$は${\displaystyle \pi \delta _{0}}$。

させて${\displaystyle f(x+i0)}$分布の限界を表す${\displaystyle f(x+iy)}$として$\displaystyle y\to 0^{+}}$存在する場合。分布${\displaystyle f(x-i0)}$も同様に定義される。

1つは

${\displaystyle (x-i0)^{-1}-(x+i0)^{-1}=2\pi i\delta _{0}.}$

させて${\displaystyle \Gamma _{N}=[-N-1/2,N+1/2]^{2}}$正の向きを持つ長方形とし、Nは整数とする。剰余の公式により、

${\displaystyle I_{N}{\overset {\mathrm {def} }{=}}\int _{\Gamma _{N}}{\widehat {\phi }}(z)\pi \cot(\pi z)\,dz={2\pi i}\sum _{-N}^{N}{\widehat {\phi }}(n).}$

一方で、

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-R}^{R}{\widehat {\phi }}(\xi )\pi \operatorname {cot} (\pi \xi )\,d&=\int _{-R}^{R}\int _{0}^{\infty }\phi (x)e^{-2\pi Ix\xi }\,dx\,d\xi +\int _{-R}^{R}\int _{-\infty }^{0}\phi (x)e^{-2\pi Ix\xi }\,dx\,d\xi \\&=\langle \phi ,\cot(\cdot -i0)-\cot(\cdot -i0)\rangle \end{aligned}}}$

• 分布（数論）

• デマイリー著『複素解析幾何学と微分幾何学』
• Hörmander、Lars、線形偏微分演算子の解析、Springer-Verlag