ボルノロジー空間

数学、特に関数解析において、ボルノロジー空間は、ある意味で、集合の有界性や線形写像の問題を扱うために必要な最小限の構造を持つ空間の一種であり、位相空間が連続性の問題を扱うために必要な最小限の構造を持つのと同様である。ボルノロジー空間は、ボルノロジー空間から任意の局所凸空間への線形写像が、有界線形作用素である場合に限り連続であるという性質によって区別される。

ボルノロジー空間は、ジョージ・マッキーによって初めて研究された。この名称は、フランス語で「境界のある」を意味するbornéにちなんで、ブルバキによって造られた。

セットでの出生学${\displaystyle X}$コレクション$\displaystyle {\mathcal {B}}}$サブセットの${\displaystyle X}$以下のすべての条件を満たすもの：

1. $\displaystyle {\mathcal {B}}}$カバー${\displaystyle X;}$つまり、${\displaystyle X=\cup {\mathcal {B}}}$;
2. $\displaystyle {\mathcal {B}}}$介在物に対して安定している。つまり、${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$そして${\displaystyle A\subseteq B,}$それから${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$;
3. $\displaystyle {\mathcal {B}}}$有限和の下で安定している。つまり、${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}\in {\mathcal {B}}}$それから$\displaystyle B_{1}\cup \cdots \cup B_{n}\in {\mathcal {B}}}$;

コレクションの要素$\displaystyle {\mathcal {B}}}$と呼ばれる$\displaystyle {\mathcal {B}}}$-有界または単に有界な集合の場合$\displaystyle {\mathcal {B}}}$理解されている。^{[ 1 ]} このペア${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$これは境界構造またはボルノロジー集合と呼ばれる。^{[ 1 ]}

生物学の基礎または基本システム$\displaystyle {\mathcal {B}}}$部分集合である${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}}$の${\displaystyle {\mathcal {B}}}$各要素${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ある要素のサブセットである${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}.}$コレクションが与えられた場合${\displaystyle {\mathcal {S}}}$サブセットの${\displaystyle X,}$最小のボルノロジーを含む${\displaystyle {\mathcal {S}}}$は、${\displaystyle {\mathcal {S}}.}$^{[ 2 ]}

もし${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$そして${\displaystyle (Y,{\mathcal {C}})}$出生学のセットは、その製品の出生学です${\displaystyle X\times Y}$ボルノロジーは、すべての集合の形式を基礎としている。${\displaystyle B\times C,}$どこ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$そして${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}.}$^{[ 2 ]} サブセット${\displaystyle X\times Y}$が積ボルノロジーで有界であるのは、その像が正準射影によって に写像される場合に限る。${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$両方とも有界である。

させて${\displaystyle X}$体上のベクトル空間である${\displaystyle \mathbb {K} }$どこ${\displaystyle \mathbb {K} }$出生学がある${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathbb {K} }.}$ 出生学${\displaystyle {\mathcal {B}}}$の上${\displaystyle X}$ベクターボルノロジーと呼ばれる${\displaystyle X}$ベクトル加算、スカラー乗算、バランスのとれた包の形成に関して安定している場合（つまり、2 つの有界集合の和が有界である場合など）。

もし${\displaystyle X}$は位相ベクトル空間（TVS）であり、${\displaystyle {\mathcal {B}}}$出生学は${\displaystyle X,}$すると、以下は同等である。

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ベクターボルノロジーです。
2. 有限和とバランスのとれたハル${\displaystyle {\mathcal {B}}}$-有界集合は${\displaystyle {\mathcal {B}}}$-境界付き; ^{[ 2 ]}
3. スカラー乗算マップ${\displaystyle \mathbb {K} \times X\to X}$定義される${\displaystyle (s,x)\mapsto sx}$そして追加マップ${\displaystyle X\times X\to X}$定義される${\displaystyle (x,y)\mapsto x+y,}$ドメインが積ボルノロジーを持つ場合（つまり、有界部分集合を有界部分集合にマッピングする場合）、両方とも有界である。^{[ 2 ]}

ベクターボルノロジー${\displaystyle {\mathcal {B}}}$凸包の形成に関して安定している場合（つまり、有界集合の凸包が有界である場合）、凸ベクトルボルノロジーと呼ばれます。${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ そしてベクターボルノロジー${\displaystyle {\mathcal {B}}}$は、唯一の有界ベクトル部分空間である場合に分離されていると呼ばれます。${\displaystyle X}$0次元の自明な空間${\displaystyle \{0\}.}$

いつもの、${\displaystyle \mathbb {K} }$実数または複素数のいずれかであり、その場合はベクトルボルノロジー${\displaystyle {\mathcal {B}}}$の上${\displaystyle X}$凸ベクトルボルノロジーと呼ばれるのは、${\displaystyle {\mathcal {B}}}$凸集合からなる基底を持つ。

準出生学的な空間は、1968年にS. Iyahenによって導入された。^{[ 6 ]}

位相ベクトル空間（TVS）${\displaystyle (X,\tau )}$連続双対${\displaystyle X^{\prime }}$以下のいずれかの条件が満たされる場合、準出生空間^{[ 6 ]}と呼ばれる。

1. すべての有界線形作用素${\displaystyle X}$別のTVSへの変換は連続的である。^{[ 6 ]}
2. すべての有界線形演算子${\displaystyle X}$完全な計量可能なTVSは連続である。^{[ 6 ] [ 7 ]}
3. 生食性の紐のすべての結び目は、起源の近傍である。^{[ 6 ]}

擬似計量可能なTVSはすべて準出生学的である。^{[ 6 ]} TVS${\displaystyle (X,\tau )}$すべての生食性集合が原点の近傍であるような空間は準生食性空間である。^{[ 8 ]} もし${\displaystyle X}$準出生学的TVSである場合、最も優れた局所凸トポロジーは${\displaystyle X}$それはより粗い${\displaystyle \tau }$作る${\displaystyle X}$局所的に凸な出生空間へ。

位相ベクトル空間における円盤${\displaystyle X}$すべてのバナッハディスクを吸収する場合、それはインフラボーン食性と呼ばれます。

もし${\displaystyle X}$が局所的に凸でハウスドルフであるならば、円盤が内部に飲み込まれるのは、それがすべてのコンパクト円盤を吸収する場合に限る。

局所凸空間は、以下のいずれかの条件が満たされる場合、超生物学的空間と呼ばれる。

1. すべての地下食性ディスクは、起源の近傍である。
2. ${\displaystyle X}$空間の帰納的限界は${\displaystyle X_{D}}$として${\displaystyle D}$コンパクトディスク全体で異なる${\displaystyle X.}$
3. セミノルム​​${\displaystyle X}$各バナッハ円盤上で有界である関数は、必然的に連続である。
4. 局所凸空間ごとに${\displaystyle Y}$そしてすべての線状地図${\displaystyle u:X\to Y,}$もし${\displaystyle u}$各バナッハディスク上で境界が定められている場合、${\displaystyle u}$連続的である。
5. すべてのバナッハ空間に対して${\displaystyle Y}$そしてすべての線状地図${\displaystyle u:X\to Y,}$もし${\displaystyle u}$各バナッハディスク上で境界が定められている場合、${\displaystyle u}$連続的である。

• ボルノロジー– 有界性の数学的一般化 
• 吸収可能な集合– 任意の有界部分集合を吸収できる集合 
• 有界集合（位相ベクトル空間）－有界性の一般化 
• 局所凸位相ベクトル空間– 凸集合によって生成される位相を持つ空間 
• 線形マップの空間
• 位相ベクトル空間– 近接性の概念を持つベクトル空間 
• ベクターボルノロジー

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