LB空間

数学において、LB空間（または（LB）空間）は位相ベクトル空間である。${\displaystyle X}$これは、可算誘導系の局所凸誘導極限である。${\displaystyle (X_{n},i_{nm})}$バナッハ空間の。これはつまり、${\displaystyle X}$直接システムの直接極限である${\displaystyle \left(X_{n},i_{nm}\right)}$局所凸位相ベクトル空間のカテゴリーにおいて、${\displaystyle X_{n}}$これはバナッハ空間である。

それぞれの結合マップが${\displaystyle i_{nm}}$TVSの埋め込みである場合、LB空間は厳密LB空間と呼ばれます。これは、上に誘導されるトポロジーが${\displaystyle X_{n}}$による${\displaystyle X_{n+1}}$は元のトポロジーと同一です${\displaystyle X_{n}.}$^{[ 1 ]} 一部の著者（例えばシェーファー）は、「LB空間」という用語を「厳密なLB空間」と定義している。

トポロジー${\displaystyle X}$絶対凸部分集合を指定することで説明できる${\displaystyle U}$近隣地域${\displaystyle 0}$かつその場合に限り${\displaystyle U\cap X_{n}}$は、${\displaystyle 0}$で${\displaystyle X_{n}}$すべての${\displaystyle n.}$

厳密なLB空間は完全であり、^{[ 2 ]}樽型であり、^{[ 2 ]}出生学的であり^{[ 2 ]}（したがって超出生学的である）。

もし${\displaystyle D}$が無限遠で可算な局所コンパクト位相空間（つまり、コンパクト部分空間の可算和に等しい）である場合、空間は${\displaystyle C_{c}(D)}$上のすべての連続複素数値関数${\displaystyle D}$コンパクトなサポートを持つものは厳密なLB空間である。^{[ 3 ]}任意のコンパクトな部分集合に対して${\displaystyle K\subseteq D,}$させて${\displaystyle C_{c}(K)}$は、によってサポートされる複素数値関数のバナッハ空間を表す。${\displaystyle K}$一様なノルムと順序を持つコンパクト部分集合の族${\displaystyle D}$包含によって。^{[ 3 ]}

有限次元ユークリッド空間の直接極限における最終位相

させて

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\mathbb {R} ^{\infty }~&:=~\left\{\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }~:~{\text{有限個を除くすべての }}x_{i}{\text{ は 0 に等しい }}\right\},\end{alignedat}}}$

は有限数列の空間を表す。$\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$は、すべての実数列の空間を表します。すべての自然数に対して${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$させて$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$はユークリッド位相を備えた通常のユークリッド空間を表し、$\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{\infty }}$は、によって定義される標準的な包含関係を表す。${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right)}$そのため、その像は

${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)=\left\{\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right)~:~x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} \right\}=\mathbb {R} ^{n}\times \left\{(0,0,\ldots )\right\}}$

そして結果として、

$\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right).}$

セットを寄付する${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$最終的なトポロジー${\displaystyle \tau ^{\infty }}$家族によって誘発された${\displaystyle {\mathcal {F}}:=\left\{\;\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}~:~n\in \mathbb {N} \;\right\}}$すべての標準的な包含関係。このトポロジーでは、${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$フレシェ・ウリゾーン空間ではない、完全ハウスドルフ局所凸逐次位相ベクトル空間となる。位相${\displaystyle \tau ^{\infty }}$は、誘導される部分空間トポロジーよりも厳密に細かい${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$による${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} },}$どこ$\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$通常の積トポロジーを備えている。イメージに${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$全単射によって誘導される最終的な位相を持つ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{n}\to \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right);}$つまり、それはから転送されたユークリッド位相を備えている。$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$経由${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}.}$ このトポロジーは${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$は、によって誘導される部分空間トポロジーに等しい。${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right).}$ サブセット$${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{\infty }}$$開いている（または閉じている）${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)}$すべての${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$セット${\displaystyle S\cap \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$は、${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right).}$ トポロジー${\displaystyle \tau ^{\infty }}$部分空間の族と整合している${\displaystyle \mathbb {S}$ :=\left\{\;\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)~:~n\in \mathbb {N} \;\right\}.} これにより、${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)}$LB空間へ。したがって、$\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{\infty }}$そして${\displaystyle v_{\bullet }}$はシーケンスです${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$それから${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$で${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)}$存在する場合に限り、${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$両方とも${\displaystyle v}$そして${\displaystyle v_{\bullet }}$に含まれる${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$そして${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$で${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right).}$

多くの場合、${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$正典的包含${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}}$識別するために使用されます$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$そのイメージと共に${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$で${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty };}$明示的に、要素$\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}}$そして${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,0,\ldots \right)}$これらは一緒に識別されます。この識別のもとで、${\displaystyle \left(\left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right),\left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\right)}$直接システムの直接の限界となる${\displaystyle \left(\left(\mathbb {R} ^{n}\right)_{n\in \mathbb {N} },\left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}\right)_{m\leq n{\text{ in }}\mathbb {N} },\mathbb {N} \right),}$すべての${\displaystyle m\leq n,}$地図${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$は、${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{m}\right):=\left(x_{1},\ldots ,x_{m},0,\ldots ,0\right),}$そこには${\displaystyle n-m}$末尾のゼロ。

• DF空間
• 直接極限– 圏論における余極限の特殊な場合 
• 最終トポロジー– いくつかの関数を連続させる最良トポロジー 
• F空間– 完全な並進不変計量を持つ位相ベクトル空間 
• LF空間– 位相ベクトル空間 

• アダッシュ、ノルベルト；エルンスト、ブルーノ；ケイム、ディーター（1978）。位相ベクトル空間：凸性条件なしの理論。数学講義ノート、第 639巻。ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC 297140003 . 
• ビアシュテット、クラウス＝ディーター（1988）。「局所凸誘導極限入門」。関数解析とその応用。シンガポール・ニュージャージー・香港：大学図書館：35–133 。 2020年9月20日取得。
• ブルバキ、ニコラス(1987) [1981]。位相ベクトル空間: 第 1 章から第 5 章まで。数学的要素。エグルストン、HG による翻訳。マダン、サウス・ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag。ISBN 3-540-13627-4. OCLC 17499190 . 
• デュグンジ、ジェームズ（ 1966）。トポロジー。ボストン：アリン・アンド・ベーコン。ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485 . 
• エドワーズ、ロバート・E. (1995).関数解析：理論と応用. ニューヨーク：ドーバー出版. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138 . 
• グロタンディーク、アレクサンダー(1955)。「位相的テンソル積と核空間」[位相的テンソル積と核空間]。アメリカ数学会紀要シリーズ（フランス語）。16 。プロビデンス：アメリカ数学会。MR 0075539。OCLC 9308061。  
• Horváth, John (1966).位相ベクトル空間と分布. Addison-Wesley 数学シリーズ. 第 1 巻. Reading, MA: Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 978-0201029857。
• ヤルコウ、ハンス (1981)。局所的に凸状の空間。シュトゥットガルト：BG・トイブナー。ISBN 978-3-519-02224-4OCLC 8210342。​ 
• Khaleelulla, SM (1982).位相ベクトル空間における反例. Lecture Notes in Mathematics . Vol.  936. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6OCLC 8588370​​ 
• ケーテ、ゴットフリート(1983) [1969]。位相ベクトル空間 I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol.  159. Garling、DJH ニューヨーク訳: Springer Science & Business Media。ISBN 978-3-642-64988-2. MR 0248498 . OCLC 840293704 .  
• ケーテ、ゴットフリート(1979)。位相ベクトル空間 II． Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol.  237. ニューヨーク: Springer Science & Business Media。ISBN 978-0-387-90400-9OCLC 180577972。​ 
• ナリチ、ローレンス；ベッケンシュタイン、エドワード（2011）。位相ベクトル空間。純粋および応用数学（第2 版）。フロリダ州ボカラトン：CRC Press。ISBN 978-1584888666OCLC 144216834。​ 
• ロバートソン、アレックス・P.、ロバートソン、ウェンディ・J. (1980).位相ベクトル空間.ケンブリッジ数学論文集. 第 53巻. ケンブリッジ、イングランド:ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-29882-7OCLC 589250​​ 
• シェーファー、ヘルムート・H. ; ウォルフ、マンフレッド・P. (1999).位相ベクトル空間. GTM . 第 8巻（第2 版）. ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0OCLC 840278135​​ 
• スワルツ、チャールズ（1992）。関数解析入門。ニューヨーク：M.デッカー。ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067 . 
• トレヴ、フランソワ(2006) [1967]。トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1OCLC 853623322。​ 
• ウィランスキー、アルバート（2013）。位相ベクトル空間における現代的手法。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-49353-4OCLC 849801114。​