ラプラス変換

数学において、ラプラス変換は、ピエール＝シモン・ラプラス（/ l ə ˈ p l ɑː s /）にちなんで名付けられ、実変数の関数（通常は時間領域）を複素変数の関数（複素数値の周波数領域、 s領域またはs平面とも呼ばれる） に変換する積分変換です。 ${\displaystyle t}$${\displaystyle s}$

この変換は、時間領域での微分と積分を、ラプラス領域でのはるかに簡単な乗算と除算に変換するのに便利です（対数が乗算と除算を加算と減算に簡略化するのに役立つのと同様です）。これにより、この変換は科学と工学の多くの分野で応用され、主に常微分方程式と積分方程式を代数多項式方程式に簡略化し、畳み込みを乗算に簡略化することで、線型微分方程式^[1]と動的システムを解くツールとして使用されています。^{[2] [3]}一度解くと、逆ラプラス変換は元の領域に戻ります。

ラプラス変換は（適切な関数 に対して）積分 （sは複素数）によって定義されます。これは他の多くの変換、特にフーリエ変換やメリン変換と関連しています。 正式には、ラプラス変換は（は実数） の置換によってフーリエ変換に変換されます。ただし、関数を各周波数の成分に分解するフーリエ変換とは異なり、適切な減衰を持つ関数のラプラス変換は解析関数であるため、収束するべき級数（その係数は関数をモーメント に分解します）を持ちます。また、フーリエ変換とは異なり、このように解析関数と見なすと、複素解析の手法、特に輪郭積分を計算に使用できます。 ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt,}$$${\displaystyle s=i\omega }$${\displaystyle \omega }$

ラプラス変換は、確率論の研究で同様の変換を使用した数学者で天文学者の ピエール・シモン・ラプラス侯爵にちなんで名付けられました。^{[4]ラプラスは}生成関数の使用について広範囲に渡って著述しており （1814年）、その結果、ラプラス変換の積分形式が自然に進化しました。^[5]

ラプラスの母関数の使用は、現在z変換として知られているものと似ており、ニールス・ヘンリク・アーベルが議論した連続変数のケースにはほとんど注意を払っていませんでした。^[6]

1744年より、レオンハルト・オイラーは微分方程式の解として形式の積分を研究し 、特にガンマ関数を導入した。^[7]ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュはオイラーの崇拝者であり、確率密度関数の積分に関する研究において、 ラプラス変換に似た形式の表現を研究した 。 ^{[8] [9]}$${\displaystyle z=\int X(x)e^{ax}\,dx\quad {\text{ および }}\quad z=\int X(x)x^{A}\,dx}$$ $${\displaystyle \int X(x)e^{-ax}a^{x}\,dx,}$$

この種の積分は、1782年に初めてラプラスの注目を集めたようで、彼はオイラーの精神に倣って積分自体を方程式の解として使用していました。^[10]しかし、1785年にラプラスは、単に積分の形で解を探すのではなく、後に普及する意味で変換を適用し始め、重要な一歩を踏み出しました。彼は、 メリン変換 に似た形式の積分を使用して差分方程式全体を変換し、変換された方程式の解を探しました。その後、彼はラプラス変換を同じように適用し、その特性のいくつかを導き始め、その潜在的な力を理解し始めました。^[11]$${\displaystyle \int x^{s}\varphi (x)\,dx,}$$

ラプラスはまた、ジョセフ・フーリエの拡散方程式を解くためのフーリエ級数の方法は、その解が周期的であるため、限られた空間領域にしか適用できないことを認識していました。1809年、ラプラスは彼の変換を適用して、空間に無限に拡散する解を見つけました。^[12] 1821年、コーシーはラプラス変換の演算計算を開発しました。これは、現在基礎工学で使用されているのとほぼ同じ方法で線形微分方程式を研究するために使用できます。この方法は、世紀の変わり目頃にオリバー・ヘヴィサイドによって普及し、おそらく再発見されました。 ^[13]

ベルンハルト・リーマンは、 1859年の論文『与えられた絶対値より小さい素数の個数について』でラプラス変換を使用し、その中で反転定理も導き出しました。リーマンはラプラス変換を使用してリーマンゼータ関数の関数方程式を導き出しました。この方法は、ポアソン和によって簡単に証明できるヤコビシータ関数のモジュラー変換則を関数方程式に関連付けるために今でも使用されています。

20世紀初頭、ヒャルマー・メリンはカール・ワイエルシュトラス学派でラプラス変換を厳密に研究し、それを微分方程式や特殊関数の研究に応用した最初の研究者の一人である。 ^[14] 同じ頃、ヘヴィサイドは演算計算に取り組んでいた。 トーマス・ジョアンネス・スティルチェスはモーメントに関する研究に関連したラプラス変換の一般化を検討した。この時期の他の貢献者にはマティアス・レルヒ、^[15] オリバー・ヘヴィサイド、トーマス・ブロムウィッチがいる。^[16]

1934年、レイモンド・ペイリーとノーバート・ウィーナーは、現在ラプラス変換と呼ばれているもの（下記参照）に関する重要な著作『複素領域におけるフーリエ変換』を出版した。また、1930年代には、ラプラス変換はGHハーディとジョン・エデンザー・リトルウッドのタウバー定理の研究に役立ち、この応用は後にウィダー（1941年）によって詳しく説明され、ウィダーは逆変換の新しい方法など、理論の他の側面を発展させた。 エドワード・チャールズ・ティッチマーシュは、影響力のあった『フーリエ積分理論への入門』（1937年） を執筆した。

この変換が現在（主に工学分野で）広く使われるようになったのは、第二次世界大戦中から戦後間もなくのことで、^[17]以前のヘヴィサイドの演算法に取って代わった。ラプラス変換の利点はグスタフ・ドエッチ^[18]によって強調されており、ラプラス変換という名前は彼に由来していると思われる。

関数 f ( t )のラプラス変換は、すべての実数 t ≥ 0に対して定義され、関数F ( s )であり、これは次のように定義される片側変換である。

ここで、s は 実数σとω を持つ複素周波数領域パラメータ です。 $${\displaystyle s=\sigma +i\omega }$$

ラプラス変換の別の表記法は${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}}$Fの代わりに^[3 ]

積分の意味は、関心のある関数の種類によって異なります。積分が存在するための必要条件は、f が[0, ∞)上で局所的に積分可能であることです。無限大で減少するか指数型( )である局所的に積分可能な関数の場合、積分は (適切な)ルベーグ積分であると理解できます。ただし、多くのアプリケーションでは、これを∞で条件付き収束する不適切な積分と見なす必要があります。さらに一般的には、積分は弱い意味で理解することができ、これについては以下で説明します。 ${\displaystyle |f(t)|\leq Ae^{B|t|}}$

有限ボレル測度 μのラプラス変換はルベーグ積分によって定義できる^[19] $${\displaystyle {\mathcal {L}}\{\mu \}(s)=\int _{[0,\infty )}e^{-st}\,d\mu (t).}$$

重要な特別なケースは、 μ が確率測度、例えばディラックのデルタ関数である場合です。演算計算では、測度のラプラス変換は、測度が確率密度関数fから来ているかのように扱われることがよくあります。その場合、潜在的な混乱を避けるために、 と書くことがよくあります。ここで、 0 ⁻ の下限は、 $${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt,}$$$${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{-\varepsilon }^{\infty }.}$$

この極限は、 0に位置する任意の質点がラプラス変換によって完全に捕捉されることを強調しています。ルベーグ積分では、このような極限を取る必要はありませんが、ラプラス-スティルチェス変換と関連してより自然に現れます。

限定なしに「ラプラス変換」と言う場合、通常は片側変換を指します。ラプラス変換は、積分限界を実軸全体に拡張することで、両側ラプラス変換または両側ラプラス変換として定義することもできます。そのように定義すると、一般的な片側変換は、変換される関数の定義にヘビサイドのステップ関数を乗じた、両側変換の特殊なケースになります。

両側ラプラス変換F ( s )は次のように定義されます。

両側ラプラス変換の別の表記法は、 Fではなく です。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}\{f\}}$

2 つの積分可能関数は、ルベーグ測度ゼロの集合上で異なる場合にのみ、同じラプラス変換を持ちます。つまり、変換の範囲には逆変換があります。実際、積分可能関数以外にも、ラプラス変換は、他の多くの関数空間でも、ある関数空間から別の関数空間への1 対 1 のマッピングですが、通常、範囲の簡単な特徴付けはありません。

これが当てはまる典型的な関数空間には、有界連続関数の空間、空間L ^∞ (0, ∞)、またはより一般的には(0, ∞)上の緩和分布が含まれます。ラプラス変換も定義されており、緩和分布の適切な空間に対して単射です。

これらの場合、ラプラス変換の像は収束領域内の解析関数の空間に存在します。逆ラプラス変換は、さまざまな名前（ブロムウィッチ積分、フーリエ・メリン積分、メリンの逆公式）で知られる次の複素積分で与えられます。

ここでγは実数であり、積分の等高線経路はF ( s )の収束領域内にあります。ほとんどのアプリケーションでは、等高線は閉じているため、留数定理を使用できます。逆ラプラス変換の別の式は、ポストの逆変換式によって与えられます。ここでの極限は、弱*位相で解釈されます。

実際には、ラプラス変換をテーブルから取得した関数の既知の変換に分解し、検査によって逆変換を構築する方が通常は便利です。

純粋確率と応用確率では、ラプラス変換は期待値として定義されます。Xが確率密度関数fを持つランダム変数である場合、 fのラプラス変換は期待値で与えられます 。 ここで、はランダム変数の期待値です。 $${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}(s)=\operatorname {E} \left[e^{-sX}\right],}$$${\displaystyle \operatorname {E} [r]}$ ${\displaystyle r}$

慣例により、これはランダム変数X自体のラプラス変換と呼ばれます。ここで、 s を− tに置き換えると、 Xのモーメント生成関数が得られます。ラプラス変換は、マルコフ連鎖などの確率過程の最初の通過時間や再生理論など、確率論全体に応用されています。

特に有用なのは、ラプラス変換によって連続確率変数Xの累積分布関数を次のように復元できることである。 ^[20] $${\displaystyle F_{X}(x)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {1}{s}}\operatorname {E} \left[e^{-sX}\right]\right\}(x)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {1}{s}}{\mathcal {L}}\{f\}(s)\right\}(x).}$$

ラプラス変換は、正の半直線上の関数の畳み込み環に分数体の構成を適用することで、純粋に代数的な方法で定義することもできます。結果として得られる抽象演算子の空間はラプラス空間とまったく同じですが、この構成では、順方向変換と逆方向変換を明示的に定義する必要はありません（収束を証明する際の困難さを回避します）。^[21]

fが局所的に積分可能な関数（またはより一般的には局所的に有界な変化のボレル測度）である場合、 fのラプラス変換F（s）は極限 が存在する限り収束します。 $${\displaystyle \lim _{R\to \infty }\int _{0}^{R}f(t)e^{-st}\,dt}$$

ラプラス変換は、積分が 適切なルベーグ積分として存在する場合、絶対収束します。ラプラス変換は通常、条件付き収束と理解されており、前者の意味では収束しますが、後者の意味で収束しません。 $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left|f(t)e^{-st}\right|\,dt}$$

F ( s ) が絶対収束する値の集合は、Re( s ) > aまたはRe( s ) ≥ aの形式のいずれかであり、ここでa は、 −∞ ≤ a ≤ ∞を満たす拡張された実定数です(優勢収束定理の結果)。定数a は絶対収束の横座標として知られ、f ( t )の増加動作に依存します。^[22]同様に、両側変換は、 a < Re( s ) < bの形式の帯で絶対収束し、おそらくRe( s ) = aまたはRe( s ) = bの線を含みます。^{[23]ラプラス変換が絶対収束する}sの値のサブセットは、絶対収束領域、または絶対収束の定義域と呼ばれます。両側の場合、絶対収束帯と呼ばれることもあります。ラプラス変換は絶対収束領域では解析的です。これはフビニの定理とモレラの定理の結果です。

同様に、 F ( s ) が（条件付きまたは絶対的に）収束する値の集合は、条件付き収束領域、または単に収束領域（ROC）として知られています。ラプラス変換がs = s ₀で（条件付きで）収束する場合、 Re( s ) > Re( s ₀ )のすべてのsに対して自動的に収束します。したがって、収束領域はRe( s ) > aの形式の半平面であり、境界線Re( s ) = aのいくつかの点を含む可能性があります。

収束領域Re( s ) > Re( s0 )では、 fのラプラス変換は部分積分によって次の ように表される_。$${\displaystyle F(s)=(s-s_{0})\int _{0}^{\infty }e^{-(s-s_{0})t}\beta (t)\,dt,\quad \beta (u)=\int _{0}^{u}e^{-s_{0}t}f(t)\,dt.}$$

つまり、F ( s ) は、収束領域では、他の関数の絶対収束ラプラス変換として効果的に表現できます。特に、解析的です。

fの減衰特性と収束領域内のラプラス変換の特性 との関係に関するペイリー・ウィーナーの定理がいくつかあります。

工学アプリケーションでは、すべての制限された入力が制限された出力を生成する場合、線形時不変 (LTI) システムに対応する関数は安定しています。これは、 Re( s ) ≥ 0 の領域におけるインパルス応答関数のラプラス変換の絶対収束に相当します。結果として、インパルス応答関数のラプラス変換の極が負の実部を持つ場合、LTI システムは安定しています。

この ROC は、システムの因果関係と安定性を知るために使用されます。

ラプラス変換の重要な特性は、時間領域での微分と積分をラプラス領域でのsによる乗算と除算に変換することです。したがって、ラプラス変数s はラプラス領域での演算子変数とも呼ばれ、微分演算子または ( s ⁻¹の場合)積分演算子のいずれかになります。

関数f ( t )とg ( t )、およびそれぞれのラプラス変換F ( s )とG ( s )が与えられているとき、 $${\displaystyle {\begin{aligned}f(t)&={\mathcal {L}}^{-1}\{F\}(s),\\g(t)&={\mathcal {L}}^{-1}\{G\}(s),\end{aligned}}}$$

次の表は片側ラプラス変換の性質の一覧である。^[24]

初期値定理

${\displaystyle f(0^{+})=\lim _{s\to \infty }{sF(s)}.}$

最終値定理

${\displaystyle f(\infty )=\lim _{s\to 0}{sF(s)}}$のすべての極が左半平面内にある場合。${\displaystyle sF(s)}$

終値の定理は、部分分数分解（またはその他の難しい代数）を実行することなく長期的な動作を与えるので便利です。 F ( s ) が右側の平面に極を持つか、虚軸に極を持つ場合（たとえば、またはの場合）、この式の挙動は未定義です。${\displaystyle f(t)=e^{t}}$${\displaystyle f(t)=\sin(t)}$

ラプラス変換は、べき級数の連続的な類似物として見ることができます。^[26] a ( n ) が正の整数nの離散関数である場合 、 a ( n )に関連付けられたべき級数は、 x が実変数 である級数 です（ Z変換を参照）。n上の総和をt上の積分に 置き換えると、べき級数の連続バージョンは次のようになります。 ここで、離散関数a ( n )は連続関数f ( t )に置き換えられます。 $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a(n)x^{n}}$$$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)x^{t}\,dt}$$

べき乗の基数をxからeに変更すると、 $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)\left(e^{\ln {x}}\right)^{t}\,dt}$$

これを、たとえばすべての有界関数fに対して収束させるには、 ln x < 0とする必要があります。 − s = ln xと代入すると、ラプラス変換が得られます。 $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt}$$

言い換えれば、ラプラス変換は、離散パラメータn が連続パラメータtに置き換えられ、x がe ^{− s}に置き換えられた、累乗級数の連続アナログです。

数量 $${\displaystyle \mu _{n}=\int _{0}^{\infty }t^{n}f(t)\,dt}$$

は関数fのモーメントである。 fの最初のnモーメントが絶対収束する場合、積分 の下での繰り返し微分により、 となる。 これは、確率変数X のモーメントが期待値 によって与えられる確率論において特に重要である。すると、関係式が成立する。 $${\displaystyle (-1)^{n}({\mathcal {L}}f)^{(n)}(0)=\mu _{n}.}$$${\displaystyle \mu _{n}=\operatorname {E} [X^{n}]}$$${\displaystyle \mu _{n}=(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\operatorname {E} \left[e^{-sX}\right](0).}$$

ラプラス変換の微分特性を利用して関数の導関数の変換を求めると便利な場合が多い。これはラプラス変換の基本式から次のように導出できる。 そして 、両側変換の場合は、 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}&=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt\\[6pt]&=\left[{\frac {f(t)e^{-st}}{-s}}\right]_{0^{-}}^{\infty }-\int _{0^{-}}^{\infty }{\frac {e^{-st}}{-s}}f'(t)\,dt\quad {\text{(by parts)}}\\[6pt]&=\left[-{\frac {f(0^{-})}{-s}}\right]+{\frac {1}{s}}{\mathcal {L}}\left\{f'(t)\right\},\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f'(t)\}=s\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}-f(0^{-}),}$$$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f'(t)\}=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt=s\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}.}$$

一般的な結果 は、fのn次導関数を表し、帰納的議論によって確立できます。 $${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}(t)\right\}=s^{n}\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}-s^{n-1}f(0^{-})-\cdots -f^{(n-1)}(0^{-}),}$$${\displaystyle f^{(n)}}$

ラプラス変換の便利な特性は次の通りです。 の右近傍における の挙動と の左近傍におけるの減衰率について適切な仮定の下では、 となります。 上記の式は部分積分を変形したもので、演算子 と がとに置き換えられています。 同等の定式化を証明しましょう。 $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)g(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }({\mathcal {L}}f)(s)\cdot ({\mathcal {L}}^{-1}g)(s)\,ds}$$${\displaystyle f,g}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle f,g}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}}$${\displaystyle \int \,dx}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}}$$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }({\mathcal {L}}f)(x)g(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }f(s)({\mathcal {L}}g)(s)\,ds.}$$

を代入すると、左辺は次のようになります。 ただし、フビニの定理が成り立つと仮定すると、積分の順序を逆にすると、必要な右辺が得られます。 ${\displaystyle ({\mathcal {L}}f)(x)=\int _{0}^{\infty }f(s)e^{-sx}\,ds}$$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }f(s)g(x)e^{-sx}\,ds\,dx,}$$

この方法は、実微積分学の初等的な方法を使って計算するのが難しい積分を計算するのに使用できます。たとえば、 $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}dx=\int _{0}^{\infty }{\mathcal {L}}(1)(x)\sin xdx=\int _{0}^{\infty }1\cdot {\mathcal {L}}(\sin )(x)dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}+1}}={\frac {\pi }{2}}.}$$

関数g  :ℝ→ℝの（片側）ラプラス・スティルチェス変換は、ルベーグ・スティルチェス積分によって定義される。

$${\displaystyle \{{\mathcal {L}}^{*}g\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}\,d\,g(t)~.}$$

関数gは有界変化であると仮定する。g がfの不定積分である場合:

$${\displaystyle g(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,d\,t}$$

とすると、 gのラプラス-スティルチェス変換とfのラプラス変換は一致する。一般に、ラプラス-スティルチェス変換はgに関連付けられたスティルチェス測度のラプラス変換である。したがって、実際には、2つの変換の唯一の違いは、ラプラス変換は測度の密度関数に作用すると考えられるのに対し、ラプラス-スティルチェス変換はその累積分布関数に作用すると考えられることである。^[27]

を でサポートされる複素数値ルベーグ可積分関数とし、をそのラプラス変換とする。収束領域内では、 ${\displaystyle f}$${\displaystyle [0,\infty )}$${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}f(s)}$

${\displaystyle F(\sigma +i\tau )=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-\sigma t}e^{-i\tau t}\,dt,}$

これは関数のフーリエ変換である。^[28]${\displaystyle f(t)e^{-\sigma t}}$

実際、フーリエ変換は、（特定の条件下では）双対ラプラス変換の特殊なケースです。主な違いは、関数のフーリエ変換は実変数（周波数）の複素関数であるのに対し、関数のラプラス変換は複素変数の複素関数であることです。ラプラス変換は通常、 t ≥ 0のtの関数の変換に制限されます。この制限の結果として、関数のラプラス変換は変数sの正則関数になります。フーリエ変換とは異なり、分布のラプラス変換は一般に行儀の良い関数です。複素変数の手法を使用して、ラプラス変換を直接研究することもできます。正則関数として、ラプラス変換にはべき級数表現があります。このべき級数は、関数を関数のモーメントの線形重ね合わせとして表します。この観点は、確率論に応用されています。

形式的には、フーリエ変換は、以下に説明する条件が満たされる場合、 虚数引数s = iω ^{[29] [30]を持つ両側ラプラス変換を評価することと同等である。}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(\omega )&={\mathcal {F}}\{f(t)\}\\[4pt]&={\mathcal {L}}\{f(t)\}|_{s=i\omega }=F(s)|_{s=i\omega }\\[4pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\omega t}f(t)\,dt~.\end{aligned}}}$$

このフーリエ変換の規則（フーリエ変換 § その他の規則）では、⁠${\displaystyle {\hat {f}}_{3}(\omega )}$1/2π​⁠逆フーリエ変換について。ラプラス変換とフーリエ変換の関係は、信号または動的システムの周波数スペクトルを決定するためによく使用されます。

上記の関係は、 F ( s )の収束領域(ROC)に虚軸σ =0が含まれる場合にのみ有効です。

たとえば、関数f ( t ) = cos( ω ₀ t )には、 ROC がRe( s ) > 0であるラプラス変換F ( s ) = s /( s ² + ω ₀ ² )があります。s = iω _0はF ( s )の極な ので、F ( s )にs = iω を代入しても、ディラックのデルタ関数δ ( ω ± ω ₀ )に比例する項を含むf ( t ) u ( t )のフーリエ変換は生成されません。

しかし、形式の関係は、 はるかに弱い条件下では成り立ちます。たとえば、この関係は、限界が測度の弱い限界として理解されている限り、上記の例に当てはまります（漠然とした位相を参照）。境界上の関数のラプラス変換の極限とフーリエ変換を関連付ける一般的な条件は、ペイリー・ウィーナーの定理の形をとります。 $${\displaystyle \lim _{\sigma \to 0^{+}}F(\sigma +i\omega )={\hat {f}}(\omega )}$$

メリン変換とその逆変換は、単純な変数の変更によって両側ラプラス変換に関連付けられます。

メリン変換で θ = e ^{− t} と設定すると、両側ラプラス変換が得られます。 $${\displaystyle G(s)={\mathcal {M}}\{g(\theta )\}=\int _{0}^{\infty }\theta ^{s}g(\theta )\,{\frac {d\theta }{\theta }}}$$

片側 Z 変換は、理想的にサンプリングされた信号のラプラス変換に代入するだけです。 ここで、T = 1/ f _sはサンプリング間隔(時間単位、たとえば秒)、 f _sはサンプリング レート(サンプル/秒またはヘルツ単位)です。 $${\displaystyle z{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}e^{sT},}$$

をサンプリングインパルス列（ディラックコムとも呼ばれる）とし、を 連続 時間x ( t )のサンプリング表現とする。$${\displaystyle \Delta _{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{q}(t)&{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}x(t)\Delta _{T}(t)=x(t)\sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x(nT)\delta (t-nT)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\delta (t-nT)\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle x[n]{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}x(nT)~.}$$

サンプリングされた信号x _q ( t )のラプラス変換は $${\displaystyle {\begin{aligned}X_{q}(s)&=\int _{0^{-}}^{\infty }x_{q}(t)e^{-st}\,dt\\&=\int _{0^{-}}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\delta (t-nT)e^{-st}\,dt\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\int _{0^{-}}^{\infty }\delta (t-nT)e^{-st}\,dt\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]e^{-nsT}~.\end{aligned}}}$$

これは離散関数x [ n ]の片側Z変換の正確な定義である。

$${\displaystyle X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}}$$z → e ^sT に置き換えます。

最後の2つの式を比較すると、片側Z変換とサンプリングされた信号のラプラス変換の関係がわかります。 $${\displaystyle X_{q}(s)=X(z){\Big |}_{z=e^{sT}}.}$$

Z 変換とラプラス変換の類似性は、時間スケール計算の理論でさらに詳しく説明されています。

ボレル変換 の積分形式は、指数型の整関数f に対するラプラス変換の特殊なケースです。つまり、 定数AとBに対してです。一般化されたボレル変換では、指数関数ではなく、異なる重み関数を使用して、指数型でない関数を変換できます。ナクビンの定理は、ボレル変換が適切に定義されるための必要かつ十分な条件を示しています。 $${\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }f(z)e^{-sz}\,dz}$$$${\displaystyle |f(z)|\leq Ae^{B|z|}}$$

通常のラプラス変換は、両側変換の特殊なケースとして記述することができ、両側変換は 2 つの片側変換の和として記述できるため、ラプラス変換、フーリエ変換、メリン変換、Z 変換の理論は、根本的には同じ主題です。ただし、これら 4 つの主要な積分変換にはそれぞれ異なる観点と異なる特性問題が関連しています。

次の表は、単一変数の多くの一般的な関数のラプラス変換を示しています。^{[31] [32]}定義と説明については、表の最後に ある説明を参照してください。

ラプラス変換は線形演算子なので、

• 和のラプラス変換は、各項のラプラス変換の合計です。$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)+g(t)\}={\mathcal {L}}\{f(t)\}+{\mathcal {L}}\{g(t)\}}$$
• 関数の倍数のラプラス変換は、その関数のラプラス変換の倍数です。$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{af(t)\}=a{\mathcal {L}}\{f(t)\}}$$

この線形性と、さまざまな三角関数、双曲関数、複素数 (など) の特性や恒等式を使用すると、定義を直接使用するよりも速く、いくつかのラプラス変換を他の変換から取得できます。

片側ラプラス変換は、時間領域が非負の実数である関数を入力として受け取ります。そのため、以下の表のすべての時間領域関数はヘヴィサイドステップ関数u ( t )の倍数になります。

時間遅延τ を伴う表のエントリは因果的である必要があります(つまり、τ > 0 )。因果システムとは、 t = 0より前のすべての時間tでインパルス応答 h ( t )がゼロになるシステムです。一般に、因果システムの収束領域は反因果システムの収束領域と同じではありません。

ラプラス変換は回路解析でよく使用され、回路要素のs領域への簡単な変換を行うことができます。回路要素は、位相インピーダンスに非常によく似たインピーダンスに変換できます。

同等のものの概要は次のとおりです。

抵抗器は時間領域とs領域でまったく同じであることに注意してください。回路要素に初期条件がある場合にソースが挿入されます。たとえば、コンデンサに初期電圧がある場合、またはインダクタに初期電流が流れている場合、s領域に挿入されたソースはそれを考慮します。

電流源と電圧源の等価物は、上記の表の変換から単純に導き出されます。

ラプラス変換は工学や物理学で頻繁に使用されます。線形時間不変システムの出力は、その単位インパルス応答を入力信号と畳み込むことによって計算できます。この計算をラプラス空間で実行すると、畳み込みが乗算に変換されます。後者は代数形式であるため、簡単に解くことができます。詳細については、制御理論を参照してください。ラプラス変換は、多くの関数クラスで可逆です。システムへの入力または出力の簡単な数学的または機能的記述が与えられた場合、ラプラス変換は、システムの動作を分析するプロセスや、一連の仕様に基づいて新しいシステムを合成するプロセスを簡素化する代替の機能的記述を提供します。^[38]

ラプラス変換は微分方程式を解くのにも使用でき、機械工学や電気工学で広く使用されています。ラプラス変換は線形微分方程式を代数方程式に変換し、代数の正式な規則で解くことができます。元の微分方程式は、逆ラプラス変換を適用することで解くことができます。イギリスの電気技師オリバー・ヘヴィサイドが最初に同様の方式を提案しましたが、ラプラス変換は使用しませんでした。その結果得られた演算計算はヘヴィサイド計算と呼ばれています。

とします。すると（上の表を参照） ${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=F(s)}$

$${\displaystyle \partial _{s}{\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\partial _{s}\int _{0}^{\infty }{\frac {f(t)}{t}}e^{-st}\,dt=-\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}dt=-F(s)}$$

そこから次のものが得られます:

$${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\int _{s}^{\infty }F(p)\,dp.}$$

極限 では、 極限の交換が正当化できることが保証されます。これは、終値定理の結果としてしばしば可能です。交換が正当化されない場合でも、計算は示唆的である可能性があります。たとえば、a ≠ 0 ≠ bの場合、形式的に進めると、 ${\displaystyle s\rightarrow 0}$$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {f(t)}{t}}\,dt=\int _{0}^{\infty }F(p)\,dp,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(at)-\cos(bt)}{t}}\,dt&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {p}{p^{2}+a^{2}}}-{\frac {p}{p^{2}+b^{2}}}\right)\,dp\\[6pt]&=\left[{\frac {1}{2}}\ln {\frac {p^{2}+a^{2}}{p^{2}+b^{2}}}\right]_{0}^{\infty }={\frac {1}{2}}\ln {\frac {b^{2}}{a^{2}}}=\ln \left|{\frac {b}{a}}\right|.\end{aligned}}}$$

この恒等式の妥当性は他の手段によって証明できる。これはフルラーニ積分の一例である。

もう一つの例はディリクレ積分です。

電気回路の理論では、コンデンサに流れる電流は静電容量と電位の変化率に比例します ( SI単位系の式を使用)。記号的に、これは微分方程式で表されます。 ここで、 Cはコンデンサの静電容量、i = i ( t )は時間の関数としてのコンデンサを流れる電流、v = v ( t )は時間の関数としてのコンデンサの端子間の 電圧です。$${\displaystyle i=C{dv \over dt},}$$

この式をラプラス変換すると、 次の式 が得られます 。 $${\displaystyle I(s)=C(sV(s)-V_{0}),}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}I(s)&={\mathcal {L}}\{i(t)\},\\V(s)&={\mathcal {L}}\{v(t)\},\end{aligned}}}$$$${\displaystyle V_{0}=v(0).}$$

V ( s )を解くと、 $${\displaystyle V(s)={I(s) \over sC}+{V_{0} \over s}.}$$

複素インピーダンスZ (オーム単位) の定義は、初期状態V ₀をゼロに 保持しながら、複素電圧Vを複素電流Iで割った比です。$${\displaystyle Z(s)=\left.{V(s) \over I(s)}\right|_{V_{0}=0}.}$$

この定義と前の式を使用すると、次式が得られます。 これはコンデンサの複素インピーダンスの正しい表現です。さらに、ラプラス変換は制御理論で広く応用されています。 $${\displaystyle Z(s)={\frac {1}{sC}},}$$

伝達関数を持つ線形時間不変システムを考える $${\displaystyle H(s)={\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}.}$$

インパルス応答は、この伝達関数の逆ラプラス変換です。 $${\displaystyle h(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)\}.}$$

部分分数展開

この逆変換を評価するために、まず部分分数展開法を用いて H ( s )を展開する。$${\displaystyle {\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}={P \over s+\alpha }+{R \over s+\beta }.}$$

未知の定数PとR は、伝達関数の対応する極に位置する留数です。各留数は、伝達関数の全体的な形状に対する その特異点の相対的な寄与を表します。

留数定理により、逆ラプラス変換は極とその留数のみに依存します。留数Pを求めるには、方程式の両辺にs + αを掛けて、 $${\displaystyle {\frac {1}{s+\beta }}=P+{R(s+\alpha ) \over s+\beta }.}$$

そしてs = − αとすると、 Rからの寄与は消え、残るのは $${\displaystyle P=\left.{1 \over s+\beta }\right|_{s=-\alpha }={1 \over \beta -\alpha }.}$$

同様に、剰余Rは次のように与えられる。 $${\displaystyle R=\left.{1 \over s+\alpha }\right|_{s=-\beta }={1 \over \alpha -\beta }.}$$

であることに注意し 、 RとPを展開したH ( s )の式に 代入すると、 $${\displaystyle R={-1 \over \beta -\alpha }=-P}$$$${\displaystyle H(s)=\left({\frac {1}{\beta -\alpha }}\right)\cdot \left({1 \over s+\alpha }-{1 \over s+\beta }\right).}$$

最後に、線形性特性と指数関数的減少の既知の変換（上記のラプラス変換表の項目＃ 3を参照）を使用して、 H（s）の逆ラプラス変換を実行して、 システムのインパルス応答を 取得 できます。$${\displaystyle h(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)\}={\frac {1}{\beta -\alpha }}\left(e^{-\alpha t}-e^{-\beta t}\right),}$$

畳み込み

畳み込み特性を使用すると、システムが伝達関数1/( s + α )と1/( s + β )を持つ一連のフィルタであるかのように同じ結果が得られます。つまり、の逆関数 は $${\displaystyle H(s)={\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}={\frac {1}{s+\alpha }}\cdot {\frac {1}{s+\beta }}}$$$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\!\left\{{\frac {1}{s+\alpha }}\right\}*{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\{{\frac {1}{s+\beta }}\right\}=e^{-\alpha t}*e^{-\beta t}=\int _{0}^{t}e^{-\alpha x}e^{-\beta (t-x)}\,dx={\frac {e^{-\alpha t}-e^{-\beta t}}{\beta -\alpha }}.}$$

ラプラス変換から始めて、 まず分数の項を並べ替えて逆変換を求めます。 $${\displaystyle X(s)={\frac {s\sin(\varphi )+\omega \cos(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}X(s)&={\frac {s\sin(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}+{\frac {\omega \cos(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}\\&=\sin(\varphi )\left({\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}\right)+\cos(\varphi )\left({\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right).\end{aligned}}}$$

これで、項の逆ラプラス変換を行うことができます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=\sin(\varphi ){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}\right\}+\cos(\varphi ){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right\}\\&=\sin(\varphi )\cos(\omega t)+\cos(\varphi )\sin(\omega t).\end{aligned}}}$$

これは単に引数の 合計の正弦であり、次のようになります。$${\displaystyle x(t)=\sin(\omega t+\varphi ).}$$

同様の論理を適用すれば、 $${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {s\cos \varphi -\omega \sin \varphi }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right\}=\cos {(\omega t+\varphi )}.}$$

統計力学では、状態密度のラプラス変換は分配関数を定義する。^[39]つまり、標準的な分配関数は次のように与えられ 、逆関数は次のように与えられる。 ${\displaystyle g(E)}$${\displaystyle Z(\beta )}$$${\displaystyle Z(\beta )=\int _{0}^{\infty }e^{-\beta E}g(E)\,dE}$$$${\displaystyle g(E)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\beta _{0}-i\infty }^{\beta _{0}+i\infty }e^{\beta E}Z(\beta )\,d\beta }$$

ラプラス変換とその逆変換の広く一般的な適用性は、天文学における応用によって実証されています。この応用では、時間領域とスペクトル (周波数領域) を関連付けるのではなく、その磁束密度スペクトルが与えられた場合に、点としてしか分解できないほど遠い天体の無線周波数熱放射源の物質の空間分布に関する情報が提供されます。

物体の特定の特性、例えば球形や一定温度を仮定すると、物体のスペクトルに逆ラプラス変換を実行する計算によって、スペクトルと一致する物体内の物質の分布（中心からの距離の関数としての密度）の唯一の可能なモデルを作成できます。 ^[40]物体の構造に関する独立した情報が利用できる場合、逆ラプラス変換法はよく一致することがわかっています。

確率 でステップが発生するランダムウォークを考える。^[41]また、時間ステップはパラメータ を持つポアソン過程であると仮定する。この場合、時間 にウォークが格子点にある確率は ${\displaystyle \{+1,-1\}}$${\displaystyle p,q=1-p}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle n}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle P_{n}(t)=\int _{0}^{t}\lambda e^{-\lambda (t-s)}(pP_{n-1}(s)+qP_{n+1}(s))\,ds\quad (+e^{-\lambda t}\quad {\text{when}}\ n=0).}$

これは積分方程式系（または微分方程式系） につながります。しかし、これは畳み込み方程式系なので、ラプラス変換によって線形方程式系に変換されます。

${\displaystyle \pi _{n}(s)={\mathcal {L}}(P_{n})(s),}$

すなわち:

${\displaystyle \pi _{n}(s)={\frac {\lambda }{\lambda +s}}(p\pi _{n-1}(s)+q\pi _{n+1}(s))\quad (+{\frac {1}{\lambda +s}}\quad {\text{when}}\ n=0)}$

これは今では標準的な方法で解決できるかもしれません。

測度のラプラス変換は次のように与えられる。 ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle [0,\infty )}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\mu (s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}d\mu (t).}$

が小さい場合、指数関数的に減少する被積分関数は、領域のより大きなサブセットへの測度の集中に対してより敏感になることは直感的に明らかです。これをより正確にするために、分布関数を導入します。 ${\displaystyle s>0}$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle M(t)=\mu ([0,t)).}$

正式には、次のような制限が予想されます。

${\displaystyle \lim _{s\to 0^{+}}{\mathcal {L}}\mu (s)=\lim _{t\to \infty }M(t).}$

タウバー定理は、ラプラス変換の漸近挙動を の分布の漸近挙動に関連付ける定理である。したがって、確率と統計の漸近公式において重要であり、スペクトル側の方が推論が簡単な漸近挙動を示すことが多い。^[42]${\displaystyle s\to 0^{+}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle t\to \infty }$

注目すべき 2 つのタウバー定理は、ハーディ・リトルウッドのタウバー定理とウィーナーのタウバー定理です。ウィーナーの定理は、次の命題である 池原のタウバー定理を一般化したものです。

A ( x ) をxの非負単調非減少関数とし、0 ≤  x  < ∞で定義されるものとする 。

${\displaystyle f(s)=\int _{0}^{\infty }A(x)e^{-xs}\,dx}$

ℜ( s ) > 1 に対して関数ƒ ( s ) に収束し、ある非負数cに対して、

${\displaystyle f(s)-{\frac {c}{s-1}}}$

は、 ℜ( s )≥1に対して連続関数として拡張されます。すると、 xが無限大に近づくときのe−xA(x)の極限は^cに等しくなります。  

この主張は特にリーマンゼータ関数の対数微分に適用することができ、素数定理を証明するための極めて短い方法を提供する。^[43]

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