ウィーナーのタウバー定理

数学的解析学において、ウィーナーのタウバー定理は、 1932年にノーバート・ウィーナーによって証明されたいくつかの関連する結果のいずれかです。 ^{[1]これらは}、または内の任意の関数が、与えられた関数の変換の線形結合 によって近似できる必要十分条件を提供します。 ^[2]${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle L^{2}}$

非公式には、関数のフーリエ変換が特定の集合 上でゼロになる場合、 の任意の変換の線形結合のフーリエ変換も 上でゼロになります。したがって、 の変換の線形結合は、上でフーリエ変換がゼロにならない関数を近似することはできません。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Z}$

ウィーナーの定理はこれを明確にし、 の平行移動の線形結合が稠密であるためには、のフーリエ変換の零点集合が空である場合( の場合)、または のルベーグ測度が零である場合 ( の場合) に限ると述べている。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle L^{2}}$

ゲルファンドは、ウィーナーの定理を可換 C*-代数の観点から再定式化し、実数群の群環の スペクトルは の双対群であると述べている。 を任意の局所コンパクトアーベル群に置き換えた場合にも、同様の結果が成り立つ 。 ${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

典型的なタウバー定理は、 に対して次の結果となります。 ${\displaystyle f\in L^{1}(0,\infty )}$

1. ${\displaystyle f(x)=O(1)}$として${\displaystyle x\to \infty }$
2. ${\displaystyle {\frac {1}{x}}\int _{0}^{\infty }e^{-t/x}f(t)\,dt\to L}$として、${\displaystyle x\to \infty }$

それから

${\displaystyle {\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,dt\to L.}$

一般化すると、与えられた関数を、命題を ${\displaystyle G(t)}$${\displaystyle P_{G}(f)}$

${\displaystyle {\frac {1}{x}}\int _{0}^{\infty }G(t/x)f(t)\,dt\to L.}$

タウバー定理の仮説の 1 つと結論は、それぞれ および の形式をとることに注意してください。2番目 の仮説は「タウバー条件」です。 ${\displaystyle P_{G}(f)}$${\displaystyle G(t)=e^{-t}}$${\displaystyle G(t)=1_{[0,1]}(t).}$

ウィーナーのタウバー定理は次のような構造を持つ: ^[3]

が、、、となるような与えられた関数である場合、すべての「合理的な」 に対して が成立します。${\displaystyle G_{1}}$${\displaystyle W(G_{1})}$${\displaystyle P_{G_{1}}(f)}$${\displaystyle R(f)}$${\displaystyle P_{G_{2}}(f)}$${\displaystyle G_{2}}$

ここでは上の「タウバー」条件であり、はカーネル 上の特別な条件です。定理の威力は、 が特定のカーネル に対してではなく、すべての妥当なカーネルに対して成立することです。 ${\displaystyle R(f)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle W(G_{1})}$${\displaystyle G_{1}}$${\displaystyle P_{G_{2}}(f)}$${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle G_{2}}$

ウィーナー条件は、おおよそ のフーリエ変換の零点に関する条件です。たとえば、クラスの関数の場合、条件はフーリエ変換がどこでも消えないことです。この条件は、この種のタウバー定理が成り立つための必要条件であることがよくわかります。重要な点は、この簡単な必要条件が十分条件でもあるということです。 ${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle L^{1}}$

を積分可能な関数とします。のフーリエ変換に実数零点がない場合に限り、並進のスパンはにおいて 稠密です。 ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle f_{a}(x)=f(x+a)}$${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle f}$

次の記述は前の結果と同等であり^{[引用が必要]}、ウィーナーの結果がタウバー定理である理由を説明しています。

のフーリエ変換に実数零点がなく、畳み込みが何らかの に対して無限大で零に近づくと仮定します。すると、畳み込みは任意の に対して無限大で零に近づくことになります 。 ${\displaystyle f\in L^{1}}$ ${\displaystyle f*h}$${\displaystyle h\in L^{\infty}}$${\displaystyle g*h}$${\displaystyle g\in L^{1}}$

より一般的に言えば、

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }(f*h)(x)=A\int f(x)\,dx}$

フーリエ変換に実数零点を持たない ものについては、${\displaystyle f\in L^{1}}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }(g*h)(x)=A\int g(x)\,dx}$

いずれの場合も。 ${\displaystyle g\in L^{1}}$

ウィーナーの定理は にも対応するものがあり 、 の変換のスパンが稠密であるためには、フーリエ級数 ${\displaystyle l^{1}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle f\in l^{1}(\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle \varphi (\theta )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }f(n)e^{-in\theta }\,}$

実数ゼロはありません。次のステートメントはこの結果と同等です。

• のフーリエ級数に実数零点がなく、ある有界な数列に対して畳み込みが${\displaystyle f\in l^{1}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle h}$${\displaystyle f*h}$

は無限大でゼロに近づきます。また、任意の に対しても無限大でゼロに近づきます。 ${\displaystyle g*h}$${\displaystyle g\in l^{1}(\mathbb {Z} )}$

• 絶対収束するフーリエ級数を持つ単位円上の関数とする。すると絶対収束するフーリエ級数を持つ。${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle 1/\varphi }$

ゼロが存在しない場合に限ります。 ${\displaystyle \varphi}$

ゲルファンド（1941a、1941b）は、これがウィーナー代数 の次の性質と同等であることを示し、バナッハ代数の理論を用いてこれを証明し、ウィーナーの結果の新しい証明を与えた。 ${\displaystyle A(\mathbb {T} )}$

• の最大イデアルはすべて次の形式である。${\displaystyle A(\mathbb {T} )}$

${\displaystyle M_{x}=\left\{f\in A(\mathbb {T} )\mid f(x)=0\right\},\quad x\in \mathbb {T} .}$

を二乗可積分関数とします。 のフーリエ変換の実数零点が零ルベーグ測度の集合を形成する場合、かつその場合に限り、における並進の範囲は稠密です。 ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle f_{a}(x)=f(x+a)}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle f}$

の平行声明は次のようになります。シーケンスの変換範囲が稠密であるためには、フーリエ級数の零点集合が ${\displaystyle l^{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle f\in l^{2}(\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle \varphi (\theta )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }f(n)e^{-in\theta }}$

ルベーグ測度はゼロです。

• Gelfand, I. (1941a)、「Normierte Ringe」、Rec.数学。 (マット・スボルニク)、ヌーベル シリーズ、9 (51): 3–24、MR  0004726
• Gelfand, I. (1941b)、「絶対的な三角測量法」、Rec.数学。 （マット・スボルニク）、ヌーベルシリーズ、9 (51): 51–66、MR  0004727
• ルディン、W. (1991)、関数解析、国際純粋・応用数学シリーズ、ニューヨーク：マグロウヒル社、ISBN 0-07-054236-8、MR  1157815
• ウィーナー、N. (1932)、「タウバー定理」、数学年報、33 (1): 1–100、doi :10.2307/1968102、JSTOR  1968102

• Shtern, AI (2001) [1994]、「ウィーナー・タウバー定理」、数学百科事典、EMS Press