自転車とオートバイのダイナミクス

自転車とオートバイの力学は、自転車とオートバイおよびその部品に作用する力による動きを科学する学問です。力学は古典力学として知られる物理学の一分野に属します。自転車の興味深い動きには、バランス、ステアリング、ブレーキ、加速、サスペンションの作動、振動などがあります。これらの動きの研究は19世紀後半に始まり、今日まで続いています。^{[1] [2] [3]}

自転車とオートバイはどちらも単線走行車両であるため、その動きには多くの基本的な共通点があり、二輪車、三輪車、四輪車などの他の車輪付き車両とは根本的に異なり、研究も困難です。^[4]一輪車と同様に、自転車は静止時には横方向の安定性がなく、ほとんどの場合、前進しているときのみ直立状態を維持できます。実験と数学的分析により、自転車は、車輪の上に質量の中心を保つように操縦されると直立状態を維持することが示されています。この操縦は通常、ライダーによって行われますが、特定の状況では自転車自体によって行われます。形状、質量分布、ジャイロ効果など、いくつかの要因がすべて、この自己安定性にさまざまな程度で貢献していますが、ジャイロ効果やトレイル（ステアリング軸と前輪の接地との間の距離）などの単一の効果が安定力にのみ関与しているという長年の仮説や主張は否定されています。^{[1] [5] [6] [7]}

初心者ライダーの主な目標は直立姿勢を保つことかもしれませんが、旋回時にバランスを保つためにはバイクを傾ける必要があります。速度が速いほど、または旋回半径が小さいほど、より大きな傾斜が必要になります。これにより、旋回による遠心力によって生成されるホイール接地面周りのロールトルクと重力によるロールトルクがバランスします。この傾斜は通常、カウンターステアリングと呼ばれる反対方向への瞬間的なステアリングによって生成されます。他の車輪付き車両とは異なり、バイクの主な制御入力はステアリングトルクであり、位置ではありません。^[8]

自転車は静止しているときは縦方向に安定しているが、十分な加速や減速をすると車輪が地面から浮き上がるほど重心が高く、ホイールベースが短いことが多い。ブレーキをかけると、前輪が地面に接する点に対する自転車とライダーの複合重心の位置と、前輪ブレーキが十分に強くかけられているかどうかによって、自転車は前輪を滑らせて衝突に至る場合と至らない場合がある、または自転車とライダーが前輪の上にひっくり返る場合がある。加速中にも同様の状況が発生する可能性があるが、これは後輪に関してである。^[9]

自転車の力学研究の歴史は、自転車そのものとほぼ同じくらい古い。ランキン、アペル、ホイップルなどの著名な科学者の貢献も含まれる。^[2] 19世紀初頭、ラウフマシーン、ベロシペード、ドライジーヌ、ダンディホースなどさまざまな名前で呼ばれる二輪車を発明したとされるカール・フォン・ドライスは、乗り手が前輪を操舵することでその装置のバランスをとれることを示した。^{[2] 1869年、ランキンは}エンジニア誌に記事を発表し、バランスは傾く方向に操舵することで維持されるというドライスの主張を繰り返した。^[10] 1897年、フランス科学アカデミーは自転車の力学を理解することをフルネロン賞の目標とした。こうして19世紀末までに、カルロ・ブルレ、エマニュエル・カルバロ、フランシス・ホイップルは剛体力学を用いて、一部の安全自転車は適正な速度で走行すれば実際に自らバランスを取ることができることを実証した。^[2]ブルレはフルネロン賞を受賞し、ホイップルはケンブリッジ大学スミス賞を受賞した。^[7]これを可能にし、ステアリング軸を垂直から傾けることに誰が功績をあげるべきなのかは明らかではない。^[11]

1970年、デイビッド・EH・ジョーンズは、ジャイロ効果は人が自転車のバランスを取るのに必要ではないことを示す記事をPhysics Today^{に発表しました。 [6]} 1971年に彼がウォブル、ウィーブ、転覆モードを特定して命名して以来、^[12]ロビン・シャープはオートバイと自転車の挙動について定期的に執筆しています。^[13]インペリアル・カレッジ・ロンドン在学中、彼はデイビッド・ライムビアとシモス・エヴァンジェロウと共に研究しました。^[14] 1970年代初頭、コーネル航空研究所（CAL、後に米国ニューヨーク州バッファローのカルスパン・コーポレーション）は、シュウィン・バイシクル・カンパニーなどからの支援を受けて、自転車とオートバイのダイナミクスの研究とシミュレーションを行いました。この研究の一部は現在一般に公開されており、30を超える詳細なレポートのスキャンがこのデルフト工科大学の自転車ダイナミクスのサイトに掲載されています。 1990年代から、コサルターらはパドヴァ大学でオートバイのダイナミクスを研究してきました。実験と数値の両方の研究は、ウィーブ、^[15]ウォブル、^[16]チャタリング、^[17]シミュレータ、^[18]車両モデリング、^[19]タイヤモデリング、^{[20] [21]}ハンドリング、^{[22] [23]}最小ラップタイム操縦をカバーしています。^{[24] [25]}

2007 年、Meijaard らはProceedings of the Royal Society Aで、2 つの異なる方法による検証とともに、標準的な線形運動方程式を発表しました。 ^[2]これらの方程式では、タイヤが滑ることなく回転すること、つまり、タイヤが指している方向に進むこと、およびライダーが自転車の後部フレームにしっかりと固定されていることを前提としていました。2011 年、Kooijman らは Science に、自転車がバランスをとるためにはジャイロ効果もトレイルによるいわゆるキャスター効果も必要ないことを示した記事を発表しました。^[1]彼らは、運動方程式が予測する、負のトレイルでも自己安定し、前輪がステアリング軸の前で地面に接触し、ジャイロ効果を打ち消すために反対方向に回転する車輪を備えた 2 マススケート自転車を設計しました。次に、彼らはその予測を検証するための物理モデルを構築しました。自転車の力学は、ディスカバー誌の2011年のトップ100記事のうち26位に選ばれました。^[26] 2013年、エディ・メルクス・サイクルズはゲント大学から自転車の安定性を調査するために15万ユーロを超える助成金を受けました。^[27]

自転車とライダーを単一のシステムとみなすと、そのシステムとそのコンポーネントに作用する力は、内部力と外部力の 2 つのグループに大まかに分けることができます。外部力は、重力、慣性、地面との接触、大気との接触によって生じます。内部力は、ライダーとコンポーネント間の相互作用によって生じます。

すべての質量と同様に、重力はライダーと自転車のすべてのコンポーネントを地面に向かって引っ張ります。各タイヤの接地面には、水平成分と垂直成分の両方を含む地面反力があります。垂直成分は主に重力の力に対抗しますが、ブレーキと加速によっても変化します。詳細については、下の縦方向の安定性のセクションを参照してください。転がり抵抗を含む、車輪と地面の間の摩擦による水平成分は、推進力、ブレーキ力、および旋回力に反応します。大気による空気力は、主に抗力の形をとりますが、横風による場合もあります。平地での通常の自転車速度では、空気抵抗が前進運動に抵抗する最大の力です。^{[28] : 188}速度が速くなると、空気抵抗が圧倒的に前進運動に抵抗する最大の力になります。

旋回力は、単に進行方向を変えるだけでなく、バ​​ランスをとるための操作中にも発生します。これらは、バイクとライダーの加速参照フレームにおける遠心力として解釈されるか、または単に静止した慣性参照フレームにおける慣性として解釈され、力として解釈されることはありません。車輪、エンジン、トランスミッションなどの回転部品に作用するジャイロ力も、それらの回転部品の慣性によるものです。これらについては、以下のジャイロ効果のセクションで詳しく説明します。

自転車とライダーのシステムのコンポーネント間の内部力は、主にライダーまたは摩擦によって引き起こされます。 ペダリングに加えて、ライダーはステアリング機構（フロントフォーク、ハンドルバー、前輪など）とリアフレームの間、およびライダーとリアフレームの間にトルクを加えることができます。摩擦は、ドライブトレイン内、ステアリング機構とリアフレームの間など、互いに動く部品間に存在します。回転するホイールと回転しないフレーム部品の間に摩擦を生み出すブレーキに加えて、多くの自転車にはフロントサスペンションとリアサスペンションがあります。 一部のオートバイと自転車には、望ましくない運動エネルギーを消散させるステアリングダンパーがあり、 ^{[14] [29]}、一部の自転車には、自転車を真っ直ぐに操縦する傾向がある漸進的なトルクを提供するために、フロントフォークとフレームを接続するスプリングがあります。 リアサスペンション付きの自転車では、ドライブトレインとサスペンション間のフィードバックが問題となり、設計者はさまざまなリンケージ構成とダンパーを使用して対処しようとします。^[30]

自転車の動きは、大まかに、中心対称面から外れた動き（横方向）と、中心対称面内の動き（縦方向または垂直方向）に分類できます。横方向の動きには、バランスを取る、傾く、操縦する、旋回するなどの動作が含まれます。中心対称面内の動きには、前方への転がりはもちろん、ストッピー、ウイリー、ブレーキダイビング、​​ほとんどのサスペンションの作動も含まれます。これら2つのグループの動きは線形に分離されており、つまり、一次的には相互作用しません。^[2]制御されていない自転車は、静止しているときは横方向に不安定ですが、適切な条件下で動いているとき、またはライダーによって制御されているときは、横方向に自己安定できます。逆に、自転車は静止しているときは縦方向に安定していますが、十分な加速または減速を受けると縦方向に不安定になることがあります。

2つのうち、横方向の動力学はより複雑であることが証明されており、解析には少なくとも2つの一般化座標を使用した3次元のマルチボディ動力学解析が必要です。主要な動きを捉えるには、少なくとも2つの結合した2次微分方程式が必要です。^[2]正確な解は不可能なので、代わりに数値的方法を使用する必要があります。^{[2]自転車のバランスの取り方に関する競合する理論は、今でも印刷物やオンラインで見つけることができます。一方、後のセクションで示すように、縦方向の動力学解析の多くは、平面}運動学と1つの座標だけ で簡単に実行できます。

自転車のバランスについて議論する際には、「安定性」、「自己安定性」、「制御性」を慎重に区別する必要があります。最近の研究では、「ライダーが制御する自転車の安定性は、確かに自己安定性に関連している」ことが示唆されています。^[1]

バイクは、傾いている場合の重力、旋回中の慣性または遠心力、操縦されている場合のジャイロスコープ、横風の場合の空気力学など、バイクが受ける他のすべての内外の力と地面反力が正確にバランスするように、操縦されているときは直立したままになります。^[28]操縦はライダーによって行われる場合もあれば、特定の状況下ではバイク自体によって行われる場合もあります。^[31]この自己安定性は、バイクの形状、質量分布、前進速度に依存するいくつかの効果の組み合わせによって生成されます。特にオートバイでは、タイヤ、サスペンション、ステアリングダンピング、フレームのフレックスもこれに影響を与える可能性があります。

ライダーは比較的静止しているときでも、同じ原理で自転車のバランスをとることができる。トラックスタンドを行う際、ライダーは前輪を片側または反対側に操舵し、必要に応じて前方接地面を左右に動かすために前後にわずかに動かすことで、2つの接地面の間の線を複合質量の中心の下に保つことができる。前進運動は、単にペダルをこぐだけで発生させることができる。後進運動は、固定ギア自転車で同じ方法で発生させることができる。あるいは、ライダーは舗装の傾斜をうまく利用したり、ブレーキを瞬間的にかけた状態で上半身を後ろに傾けたりすることもできる。^[32]

自転車のハンドルがロックされると、走行中にバランスを取ることは事実上不可能になります。一方、反対に、反対に回転する車輪を追加することで、回転する自転車の車輪のジャイロ効果を打ち消せば、走行中にバランスを取ることは依然として簡単です。^{[5] [6]}ハンドルがロックされているかどうかに関係なく、自転車のバランスを取ることができるもう1つの方法は、自転車とライダーの間に適切なトルクを加えることです。これは、体操選手が段違い平行棒に真下にぶら下がっている状態からスイングアップする方法や、人が脚をパンプして静止状態からブランコでスイングを開始する方法、または二重倒立振り子を肘のアクチュエーターだけで制御する方法に似ています。^[33]

ライダーはハンドルバーにトルクを加えて前輪を回転させ、傾きを制御してバランスを維持します。高速では、小さなステアリング角度で地面との接触点が横方向に素早く移動します。低速では、同じ時間で同じ結果を得るには、より大きなステアリング角度が必要です。このため、通常は高速の方がバランスを維持するのが簡単です。^[34]自己安定性は通常、一定の閾値を超える速度で発生するため、速度が速くなると、バイクが自身の安定性に貢献する可能性が高くなります。

バイクとライダーを合わせた質量の中心が前方（前輪に近い）にあるほど、バランスを保つために前輪を横方向に動かす必要が少なくなります。^[35]逆に、質量の中心が後方（後輪に近い）にあるほど、バランスを取り戻すために前輪を横方向に動かす、またはバイクを前方に動かす必要があります。 これは、ホイールベースの長いリカンベント、チョッパー、ウイリーバイクで顕著です。^[36]また、後輪の上または後ろに重い荷物を積んでいるツーリングバイクでも課題となる可能性があります。 ^[37]後輪上の質量は、前輪上の質量よりも低い方が制御が容易です。^[11]

自転車も倒立振り子の一例である。ほうきの柄が鉛筆よりも手に持ってバランスを取りやすいのと同じように、背の高い自転車（重心が高い）は低い自転車よりも乗ったときにバランスを取りやすい。これは背の高い自転車の傾斜率（倒れ始めるときに傾斜角度が増加する率）が遅いためである。^[38]しかし、自転車が静止しているときは、ライダーは反対の印象を受けることがある。例えば、交通渋滞で停止しているとき、上部が重い自転車は、同じ高さで重心が低い自転車よりも、直立を保つのに多くの労力を必要とする可能性がある。これは垂直な第二種てこの一例である。てこの先端、つまり自転車の上部にあるシートまたはハンドルバーにかかる小さな力は、質量が支点（タイヤが地面に接する部分）に近いほど、大きな質量をより簡単に動かすことができる。このため、ツーリングサイクリストは荷物を自転車の低い位置に載せて運ぶことが推奨されており、パニアバッグはフロントラックとリアラックの両側に垂らされている。^[39]

自転車の乗りやすさや難しさに影響を与える要因の 1 つにトレイルがあります。トレイルとは、前輪の接地点がステアリング軸の接地点からどれだけ離れているかを表す距離です。ステアリング軸は、ステアリング機構全体 (フォーク、ハンドル、前輪など) が回転する軸です。ステアリング軸が垂直から後方に傾いている従来の自転車の設計では、トレイルが正の場合、前進速度に関係なく、前輪が傾斜する方向に操舵される傾向があります。^[28]これは、固定された自転車を片側に押すことでシミュレートできます。通常、前輪もその側に操舵されます。傾斜時には、重力がこの力を提供します。ただし、動いている自転車の力学はより複雑であり、他の要因がこの効果に寄与したり、この効果を減じたりすることがあります。^[1]

トレールはヘッドアングル、フォークオフセットまたはレイク、ホイールサイズの関数です。それらの関係は次の式で表すことができます。^[40]

${\displaystyle {\text{トレイル}}={\frac {(R_{w}\cos(A_{h})-O_{f})}{\sin(A_{h})}}}$

ここで、はホイールの半径、は水平から時計回りに測定されたヘッド角度、はフォークのオフセットまたはレイクです。トレールは、ホイールのサイズを大きくするか、ヘッド角度を小さくするか、フォークのレイクを小さくすることで増やすことができます。 ${\displaystyle R_{w}}$${\displaystyle A_{h}}$${\displaystyle O_{f}}$

従来の自転車のトレイルが長いほど、安定性が増すが、^[41]トレイルが長すぎると、自転車の操縦が難しくなる。ネガティブ トレイル (接地面がステアリング軸が地面と交差する場所より前にある) の自転車は、乗ることはできるものの、非常に不安定に感じると報告されている。通常、ロード レース用自転車のトレイルは、ツーリング バイクよりも長いが、マウンテン バイクよりも短い。マウンテン バイクは、トレイルが長く、下り坂での安定性が向上するように、ロード バイクよりも垂直ヘッド アングルが小さく設計されている。ツーリング バイクは、荷物で重くなった自転車をライダーが操作できるように、トレイルが小さい。その結果、荷物を積んでいないツーリング バイクは不安定に感じることがある。自転車では、トレイルを小さくするために、フォークレイク (ステアリング軸の前方のフォーク ブレードの曲線であることが多い) が使用される。^[42]ネガティブ トレイルの自転車は存在し、Python Lowracer など、乗ることができ、ネガティブ トレイルの実験的な自転車は自己安定性があることが実証されている。^[1]

オートバイでは、レイクはヘッドアングルを指し、トリプルツリーによって作成されたオフセットはトレールを減らすために使用されます。^[43]

^{ホイットとウィルソン[28]}による小規模な調査では次のことが判明した。

• ヘッドアングルが72°～73°、トレイルが43 mm～60 mmのツーリングバイク
• ヘッドアングルが73°～74°、トレイルが28 mm～45 mmのレーシングバイク
• ヘッドアングルが 75°、トレイルが 23.5 mm ～ 37 mm のトラック バイク。

しかし、これらの範囲は厳密なものではありません。例えば、LeMond Racing Cyclesは、オフセットまたはレイクが45mmのフォークと同じサイズのホイールを備えた ^[44]を提供しています。

• 2006年型テテ・ド・コースはロードレース用に設計されており、ヘッドアングルは71から+フレームのサイズに応じて1 ⁄ 4 ° ～ 74 ° となり、トレールは 51.5 mm ～ 69 mm の範囲で変化します。
• 2007年型フィルモアはトラック用に設計されており、ヘッドアングルは72から+フレームのサイズに応じて1 ⁄ 2 ° ～ 74° となり、トレールは 51.5 mm ～ 61 mm の範囲で変化します。

特定の自転車のトレール量は、いくつかの理由により、時間とともに変化することがあります。フロントサスペンション、特にテレスコピックフォークを備えた自転車では、例えば急ブレーキをかけるなどしてフロントサスペンションが圧縮されると、ステアリング軸の角度が急になり、トレールが減少することがあります。トレールは傾斜角やステアリング角によっても変化し、通常は自転車が真っ直ぐに直立し、真っ直ぐ前に操縦されているときに最大値から減少します。^[45]トレールは、傾斜角とステアリング角が十分に大きいとゼロに減少することがあり、自転車の安定感が変わります。^[11]最後に、フロントタイヤの形状も、自転車が傾斜したり操縦されたりしたときにトレールがどのように変化するかに影響を与える可能性があります。

トレールに似た測定値は、メカニカルトレール、通常トレール、または真トレール^[46]とも呼ばれ、ステアリング軸から前輪接地面の重心までの 垂直距離です。

自転車の方向安定性に影響を与える要因は、ホイールベース、つまり前輪と後輪の接地点間の水平距離です。何らかの外乱により前輪が所定の変位をすると、結果として生じる軌道の角度はホイールベースに反比例します。^[9]また、所定の操舵角と傾斜角に対する曲率半径はホイールベースに比例します。^[9]最後に、自転車が傾いて操縦されるとホイールベースが増加します。極端な場合、傾斜角が 90° で、自転車がその傾斜方向に操縦されると、ホイールベースは前輪と後輪の半径だけ増加します。^[11]

従来の自転車設計の自己安定性に寄与するもう 1 つの要因は、前輪、フォーク、ハンドルバーを含むステアリング機構の質量の分布です。ステアリング機構の質量の中心がステアリング軸の前にある場合、重力の引力によって前輪も傾斜方向に操舵されます。これは、エアロバイクを片側に傾けることで確認できます。通常、前輪は地面との相互作用に関係なく、その側に操舵されます。^[47]質量の中心の前後位置や質量の中心の仰角などの追加のパラメーターも、自転車の動的動作に寄与します。^{[28] [47]}

ほとんどの自転車の設計において、ジャイロ効果の役割は、前輪を傾く方向に操舵することです。この現象は歳差運動と呼ばれ、物体が歳差運動する速度は回転速度に反比例します。前輪の回転が遅いほど、自転車が傾いたときの歳差運動は速くなり、逆もまた同様です。^[48]後輪はタイヤと地面の摩擦によって歳差運動が妨げられ、まったく回転していないかのように傾き続けます。したがって、ジャイロ力は転倒に対する抵抗にはなりません。^[49]

前進速度が低い場合、前輪の歳差運動が速すぎるため、制御不能なバイクはオーバーステアになり、反対方向に傾き始め、最終的に振動して転倒する傾向があります。前進速度が高い場合、歳差運動は通常遅すぎるため、制御不能なバイクはアンダーステア​​になり、最終的には直立位置に達することなく転倒する傾向があります。^[11]この不安定性は非常に遅く、数秒のオーダーで、ほとんどのライダーが簡単に対処できます。したがって、高速バイクは実際には自己安定しておらず、制御不能であれば転倒するにもかかわらず、安定しているように感じる場合があります。

ジャイロ効果のもう一つの寄与は、カウンターステアリング時に前輪によって生成されるロールモーメントです。たとえば、左にステアリングすると、右にモーメントが発生します。このモーメントは、アウトトラックする前輪によって生成されるモーメントに比べると小さいですが、ライダーがハンドルバーにトルクをかけるとすぐに始まるため、オートバイレースでは役立ちます。^[9]詳細については、以下のカウンターステアリングのセクションとカウンターステアリングの記事を参照してください。

前のセクションで述べた2つの不安定な状態の間には、バランスに寄与する上記のすべての要因（トレイル、質量分布、ジャイロ効果など）の影響を受け、特定の自転車設計では、これらの効果によって制御されていない自転車が直立する前進速度の範囲が存在する可能性があります。^[2]ジャイロ効果も正のトレイルも、ハンズフリー制御を強化することはできますが、それ自体では十分ではなく、自己安定性にも必要ではないことが証明されています。^[1]

しかし、自己安定性がなくても、ハンドルを切って車輪の上に自転車を乗せることで乗ることができます。^{[6]自己安定性を生み出すために組み合わされる上記の効果は、}ヘッドセットの摩擦や硬い制御ケーブルなどの追加要因によって圧倒される可能性があることに注意してください。^[28]このビデオは、ライダーのいない自転車が自己安定性を示していることを示しています。

縦方向の加速度は横方向のダイナミクスに大きな複雑な影響を及ぼすことが示されています。ある研究では、正の加速度は自己安定性を排除し、負の加速度（減速）は自己安定性の速度を変えます。^[7]

自転車が曲がる、つまり前進方向を変えるには、他の前輪操舵車両と同様に、前輪をほぼ希望の方向に向ける必要があります。車輪と地面の間の摩擦により、コーナリング力とキャンバースラストの組み合わせとして、直進方向から進路を変えるために必要な求心加速度が生成されます。直立した（傾いていない）自転車の回転半径は、小さな操舵角の場合、次のように概算できます。

${\displaystyle r={\frac {w}{\delta \cos \left(\phi \right)}}}$

ここで、はおおよその半径、はホイールベース、はステアリング角、はステアリング軸のキャスター角です。 ^[9]${\displaystyle r\,\!}$${\displaystyle w\,\!}$${\displaystyle \delta \,\!}$${\displaystyle \phi \,\!}$

しかし、他の車輪付き乗り物とは異なり、自転車は、重力、慣性、摩擦、地面からの支持といった関連する力のバランスをとるために、旋回中に傾く必要があります。傾斜角 θは、円運動の法則を使用して簡単に計算できます。

${\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {v^{2}}{gr}}\right)}$

ここでvは前進速度、rは旋回半径、gは重力加速度である。^[48]これは理想的なケースである。同じ前進速度と旋回半径で現代のタイヤの幅を補うために、オートバイでは傾斜角をわずかに増やす必要があるかもしれない。^[45]

しかし、この単純な 2 次元モデル (基本的にはターンテーブル上の倒立振り子) は、定常旋回が不安定になることを予測していることもわかります。自転車が平衡傾斜角からわずかに下方にずれると、重力トルクが増加し、遠心力トルクが減少して変位が増幅されます。実際の自転車で見られる自己安定性を捉えるには、車輪を操縦し、経路を調整し、重力トルクに対抗できる、より洗練されたモデルが必要です。

たとえば、10 m (33 フィート) の半径で 10 m/s (36 km/h、22 mph) の定常旋回をする場合、自転車の角度は 45.6° でなければなりません。ライダーは、必要に応じて、胴体または自転車をほぼ直立状態に保つために、自転車に対して傾くことができます。重要な角度は、水平面と、タイヤの接地面および自転車とライダーの重心の位置によって定義される平面との間の角度です。

このバイクの傾きにより、実際の旋回半径は傾斜角の余弦に比例して減少します。結果として得られる半径は、次のように概算できます (正確な値の 2% 以内)。

${\displaystyle r={\frac {w\cos \left(\theta \right)}{\delta \cos \left(\phi \right)}}}$

ここで、はおおよその半径、はホイールベース、は傾斜角、はステアリング角、はステアリング軸のキャスター角です。^[9]バイクが傾くと、タイヤの接地面が横に移動し、摩耗が発生します。バイクのタイヤの両端で、傾斜しても摩耗しない部分は、チキンストリップと呼ばれることがあります。 ${\displaystyle r\,\!}$${\displaystyle w\,\!}$${\displaystyle \theta \,\!}$${\displaystyle \delta \,\!}$${\displaystyle \phi \,\!}$

タイヤの幅が有限であるため、後部フレームの実際の傾斜角は、上記の理想的な傾斜角から変化します。フレームと垂直間の実際の傾斜角は、タイヤの幅が広くなるほど大きくなり、重心の高さが狭くなるほど小さくなります。太いタイヤと低い重心を持つバイクは、同じ速度で同じ旋回をするために、細いタイヤや高い重心を持つバイクよりも大きく傾く必要があります。^[9]

タイヤの厚さが2tの場合の傾斜角の増加は次のように計算できる。

${\displaystyle \arcsin \left(t{\frac {\sin(\phi )}{ht}}\right)}$

ここで、φは理想的な傾斜角、hは重心の高さです。^[9]たとえば、後輪の幅が12インチのオートバイの場合、 t  = 6インチになります。バイクとライダーを合わせた重心の高さが26インチの場合、25°の傾斜は7.28°増加する必要があります。これは約30%の増加です。タイヤの幅が6インチしかない場合、傾斜角の増加はわずか3.16°で、半分以下です。

自転車が曲がるには、重力と地面の反力によって生じる偶力が必要です。この偶力を正確に打ち消すスプリング式のアウトリガーを備えた特注の自転車では、自転車とライダーは直線走行時にどんな傾斜角でもとることができますが、ライダーは曲がることができません。車輪が直線から外れるとすぐに、自転車とライダーは反対方向に傾き始め、それらを正す唯一の方法は、直線に戻ることです。^{[50] [51]}

旋回を開始し、旋回方向に必要な傾斜をかけるには、バイクを瞬間的に反対方向に操舵する必要があります。これはカウンターステアと呼ばれることがよくあります。前輪が運動方向に対して一定の角度になると、タイヤの接地面に横方向の力が発生します。この力によってバイクの縦軸（ロール軸）の周りにトルクが生じ、このトルクによってバイクは最初に操舵した方向から離れて、希望する旋回方向に向かって傾きます。バイクを傾けるのに必要な力を生み出すのに都合の良い横風などの外部の影響がない場合、急速な旋回を開始するにはカウンターステアが必要です。^[48]

初期の操舵トルクと操舵角はどちらも望ましい旋回方向と反対ですが、定常旋回を維持する場合はそうではない場合があります。持続的な操舵角は通常、旋回と同じ方向ですが、特に高速では旋回方向と反対のままになることがあります。^[52]その操舵角を維持するために必要な持続的な操舵トルクは、通常、旋回方向と反対です。^[53]特定の旋回における特定のバイクの持続的な操舵角と持続的な操舵トルクの実際の大きさと向きは、前進速度、バイクの形状、タイヤの特性、バイクとライダーの質量配分によって異なります。^[23]旋回中は、傾斜角を適切に変更することによってのみ半径を変えることができます。これは、旋回から出るときに追加のカウンターステアで傾斜を増やして半径を減らし、次に旋回に入るときに傾斜を減らして半径を増やすことで実現できます。旋回を抜けるには、バイクは再びカウンターステアをし、半径を小さくするために瞬間的に旋回方向にステアリングを切る必要があり、それによって慣性力が増大し、傾斜角が減少する。^[54]

旋回が確立されると、一定の前進速度で一定の半径を維持するためにステアリング機構に適用する必要があるトルクは、前進速度とバイクの形状および質量分布によって決まります。^{[11] [23]転覆速度}（固有値のセクションで後述し、反転速度とも呼ばれる）未満の速度では、バイクの自己安定性により、旋回と反対方向にトルクが適用されない限り、バイクは旋回方向にステアリングを切って元の位置に戻り、旋回から抜ける傾向があります。 転覆速度を超える速度では、旋回方向にトルクが適用されない限り、転覆不安定性により、旋回から外れるようにステアリングを切って傾斜を増やす傾向があります。 転覆速度では、定常旋回を維持するために入力ステアリングトルクは必要ありません。

ステアリング角度、つまり定常旋回を維持するために必要なフロント アセンブリがステアリング軸を中心に回転する角度には、いくつかの影響が影響します。これらの影響の一部は単線車両に特有のものですが、その他は自動車でも発生します。これらの影響の一部はこの記事の他の箇所でも言及されている可能性がありますが、ここでは 1 か所で確認できるように、必ずしも重要度順ではありませんが繰り返して記載しています。

まず、実際の運動学的ステアリング角度、つまりフロント アセンブリが回転する道路平面に投影された角度は、ステアリング角度とステアリング軸角度の関数です。

${\displaystyle \Delta =\delta \cos \left(\phi \right)}$

ここで、は運動学的ステアリング角、はステアリング角、はステアリング軸のキャスター角である。^[9]${\displaystyle \Delta \,\!}$${\displaystyle \delta \,\!}$${\displaystyle \phi \,\!}$

2 番目に、バイクの傾きによって、実際の旋回半径は傾斜角の余弦に比例して減少します。結果として得られる半径は、次のように概算できます (正確な値の 2% 以内)。

${\displaystyle r={\frac {w\cos \left(\theta \right)}{\delta \cos \left(\phi \right)}}}$

ここで、はおおよその半径、はホイールベース、は傾斜角、はステアリング角、はステアリング軸のキャスター角です。^[9]${\displaystyle r\,\!}$${\displaystyle w\,\!}$${\displaystyle \theta \,\!}$${\displaystyle \delta \,\!}$${\displaystyle \phi \,\!}$

第三に、重量配分やタイヤの特性などにより前輪と後輪のスリップ角が異なる場合があり、バイクはアンダーステア​​やオーバーステアになることがあります。アンダーステア​​の場合は、スリップ角が等しい場合よりもステアリング角を大きくする必要があり、オーバーステアの場合は、所定の旋回半径を維持するためにステアリング角を小さくする必要があります。^[9]一部の著者は、特定の条件下では、後輪の大幅なスリップに対応して制御を維持するために、一部のバイクで旋回方向と反対の方向にステアリングする必要があること（負のステアリング角）を指すためにカウンターステアリングという用語を使用しています。 ^[9]

第四に、キャンバースラストは、スリップ角によるコーナリングフォースとともに、バイクを直線から逸らすために必要な向心力に寄与し、最大の寄与要因となり得る。^[45]キャンバースラストは、自動車と同じ半径で、より小さなステアリング角で旋回するバイクの能力に寄与する。^[45]バイクを同じ方向に操舵して傾けると、前輪のキャンバー角が後輪のキャンバー角よりも大きくなり、他の条件が同じであれば、より大きなキャンバースラストを生成できる。^[9]

カウンターステアは通常、ハンドルに直接トルクをかけることで開始されますが、自転車などの軽量の乗り物では、ライダーの体重移動によって実現できます。ライダーが自転車に対して右に傾くと、角運動量を保存するために自転車は左に傾き、結合した質量の中心はほぼ同じ垂直面内に残ります。一部の著者はカウンターリーンと呼んでいるこの自転車の左への傾きにより、 ^[45]ライダーがハンドルに直接トルクをかけることで左にカウンターステアしたかのように、自転車は左に操舵され、右折が開始されます。^[48]このテクニックは、ヘッドセットの摩擦や硬いコントロールケーブルなどの追加要因によって複雑になる場合があります。

ライダーが自転車に対して右に傾くと、複合重心はわずかに左に移動し、自転車はそれに応じて左に傾きます。空間内では、この動作によりタイヤは右に動きますが、タイヤと地面の間の摩擦によってこれが妨げられ、複合重心は左に押し出されます。ただし、この方法だけで自転車のバランスをとるのがほとんどの人にとって難しいことからもわかるように、この影響は小さいものです。

バランスの項で述べたように、前輪を回すことで生じる効果の一つに、ジャイロスコープの歳差運動によるロールモーメントがある。このモーメントの大きさは、前輪の慣性モーメント、前輪の回転速度（前進）、ライダーがハンドルにトルクを加えて前輪を回す速度、およびステアリング軸と垂直線の間の角度の余弦^{（ブロークンアンカー）}に比例する。^[9]

^{22 m/s (50 mph) で走行し、慣性モーメントが 0.6 kg·m 2}の前輪を持つサンプルのオートバイの場合、前輪を 0.5 秒間に 1 度回転させると、3.5 N·m のロール モーメントが発生します。比較すると、オートバイの下から前輪が出てくるときに前輪にかかる横方向の力は最大 50 N に達します。これは、質量の中心の 0.6 m (2 フィート) の高さに作用し、30 N·m のロール モーメントが発生します。

ジャイロ力によるモーメントは、このうちのわずか 12% ですが、車輪が軌道から外れるとゆっくりと増加するのではなく、ライダーがトルクを加えるとすぐに作用し始めるため、重要な役割を果たします。これは、オートバイのレースで特に役立ちます。

低速時の旋回半径が小さいなどの理論上の利点のため、二輪操舵のオートバイを製造する試みがなされてきた。オーストラリアのイアン・ドライスデールによる1つの実用的なプロトタイプは「非常にうまく機能した」と報告されている。^{[55] [56]}設計上の問題には、後輪を能動的に制御するか、自由にスイングさせるかが含まれる。能動的制御の場合、制御アルゴリズムは、前輪と同じ方向に操舵するか、反対方向に操舵するか、いつ、どの程度操舵するかを決定する必要がある。二輪操舵の実装の1つであるサイドウェイズバイクでは、ライダーが両輪の操舵を直接制御できる。もう1つのスイングバイクでは、2番目の操舵軸がシートの前にあり、ハンドルバーでも制御できる。

ミルトン・W・レイモンドは、2 つの車輪を独立して制御するさまざまなステアリング機構を備えた、長くて低い 2 輪ステアリング自転車「X-2」を製作しました。ステアリング動作には、両方の車輪が一緒に動いてタイヤの接地面を重心の下でステアリングする「バランス」と、車輪が反対方向に均等にステアリングし、重心に対するタイヤの接地面の横方向の位置を大幅に変更せずに自転車をステアリングする「真円」があります。X-2 は、車輪がフレームと平行だが一直線上にない状態で「カニ」方向に進むこともできました。たとえば、前輪が道路の中心線に近く、後輪が縁石に近くなります。「バランス」ステアリングでは、ホイールベースが長く重心が低いにもかかわらず簡単にバランスをとることができましたが、自己バランスをとる (「手なし」) 構成は見つかりませんでした。予想どおり、真円では、ステアリングではタイヤ パッチと重心のずれが修正されないため、バランスをとることは基本的に不可能でした。約 45° までの角度でテストされたカニ方向サイクリングでは、ブレーキをかけても転倒する傾向は見られませんでした。^{[要出典] X-2は、ホイットとウィルソンの『}自転車科学』第2版で簡単に言及されている。^[28]

理論上の利点、特に前輪駆動機構の簡素化のため、乗りやすい後輪操舵自転車を作ろうとする試みがなされてきた。ベンディックス社は後輪操舵自転車を製造し、米国運輸省は後輪操舵オートバイの製造を委託したが、どちらも乗れないことが判明した。イリノイ州アルトンのレインボー・トレーナーズ社は、「後輪操舵自転車、リア・ステアード・バイシクル I にうまく乗れる」最初の人物に 5,000 ドルの賞金を出した。^[57]後輪操舵自転車にうまく乗れた人の記録された例の 1 つは、マサチューセッツ工科大学の LH レイターマンが特別に設計されたリカンベント バイクに乗っている例である。^[28]問題は、後輪を右に回して左に曲がると、最初は重心が右に移動し、その逆もまた同様であることだ。これにより、環境によって引き起こされる傾きを補正する作業が複雑になる。^[58]一般的な形状と質量分布を持つ自転車の固有値を調べると、後輪操舵を行うために後進するときに、自転車は本質的に不安定であることがわかります。これは、自転車に乗れないという意味ではなく、自転車を制御するための労力が大きいことを意味します。^[59]ただし、この問題に悩まされない、他の専用設計の自転車も発表されています。^{[1] [60]}

古典的な前輪操舵の自転車と、厳密に後輪操舵の自転車の両極端の間には、両者の中間のどこかにピボット ポイントを持つ自転車のクラスがあり、センター ステアリングと呼ばれ、アーティキュレーテッド ステアリングに似ています。このコンセプトの初期の実装は、1870 年代初頭のファントム自転車で、ペニー ファージングのより安全な代替品として宣伝されました。^[61]この設計により、単純な前輪駆動が可能になり、現在の実装は非常に安定しており、多くの写真が示すように、手を使わずに乗ることさえできます。^{[62] [63]}リカンベントの Python Lowracer などのこれらの設計は、通常、非常に緩いヘッド アングル (40° から 65°) と、正または負のトレイルを備えています。負のトレイルを備えた自転車の製作者は、自転車を真っ直ぐ前方から操縦すると、シート (したがってライダー) がわずかに上昇し、負のトレイルの不安定化効果が相殺されると説明しています。^[64]

調査やデモンストレーションの目的で、ハンドルを左に回すと前輪が右に回転し、その逆も成り立つようにハンドルを逆にした自転車が作られている。このような自転車に乗ることは可能だが、通常の自転車に慣れたライダーにとっては、習得するのは非常に困難であり、そもそも乗りこなせるかどうかも分からない。^{[65] [66]}

ティラー効果とは、ステアリング軸（ヘッドチューブ）よりかなり後方に伸びたハンドルバーが、船のティラーのように機能することを説明する表現である。つまり、前輪を左に回すにはハンドルバーを右に動かし、その逆も成り立つ。この状況は、クルーザーバイク、一部のリカンベント、一部のオートバイでよく見られる。^[67]干渉や腕の届く範囲の制限により、操縦能力が制限されると、問題になることがある。^[68]

タイヤはバイクの操縦性に大きな影響を与えますが、特にオートバイでは^{[9] [45]}、自転車でも同様に影響します。^{[7] [69]}タイヤは、有限のクラウン半径と力の発生という2つの異なる方法でバイクのダイナミクスに影響を与えます。前輪のクラウン半径を大きくすると、サイズが小さくなったり、自己安定性がなくなったりすることが分かっています。後輪のクラウン半径を大きくすると、逆の効果がありますが、程度は低くなります。^[7]

タイヤは、コーナリングフォースとキャンバースラストの組み合わせを通じて、操舵とバランスに必要な横方向の力を生成します。タイヤの空気圧も、高速走行時のオートバイの挙動における重要な変数であることがわかっています。^[70]重量配分やタイヤの特性などにより、前輪と後輪のスリップ角が異なる場合があるため、バイクはアンダーステア​​やオーバーステアを経験する可能性があります。2つのうち、前輪が後輪よりも滑るアンダーステア​​の方が、バランス維持に前輪操舵が重要であるため、より危険です。^[9]実際のタイヤは路面との接触面積が限られているため、スクラブトルクを生成し、旋回時には転がりながら横滑りすることがあり、接触面積の平面に対して垂直な軸の周りにトルクを生成する可能性があります。

タイヤによって生成されるトルクの 1 つは、セルフ アライニング トルクと呼ばれ、接地面の長さに沿った横滑りの非対称性によって生じます。この横滑りの合力は、接地面の幾何学的中心の後ろ、つまり空気トレイルと呼ばれる距離で発生し、タイヤにトルクを生み出します。横滑りの方向は旋回の外側に向かうため、タイヤにかかる力は旋回の中心に向かいます。したがって、このトルクは前輪を旋回方向から離れて横滑りの方向に回転させ、旋回半径を大きくする傾向があります。

もう一つのトルクは、接触面の有限の幅と旋回時のタイヤの傾きによって発生します。旋回外側の接触面部分は、ハブからの半径が大きいため、ホイールのハブに対して、実際には接触面の残りの部分よりも速く後方に移動しています。同じ理由から、内側部分は後方にゆっくりと移動しています。そのため、接触面の外側部分と内側部分は舗装路面上で反対方向に滑り、前輪を旋回方向に回転させる傾向のあるトルクを生成し、旋回半径を小さくする傾向があります。

これら2つの反対方向のトルクの組み合わせにより、前輪にヨートルクが生じ、その方向はタイヤの横滑り角、タイヤの実際の軌道とタイヤが向いている方向との間の角度、およびタイヤのキャンバー角（タイヤが垂直から傾く角度）の関数となる。[ ^9]このトルクの結果、定常旋回に関する上記のセクションで説明した剛体車輪モデルによって予測される反転速度が抑制されることが多い。^[11]

ハイサイダーとは、カーブで横滑りした後、後輪が進行方向を向いていない状態でトラクションを得ることで発生する自転車の挙動の一種です。^{[9]これは、急ブレーキ、加速、路面の変化、サスペンションの作動など、特にドライブトレインとの相互作用により発生することがあります。 [71]}ハイサイダーは、一回のスリップとその後のひっくり返し、または一連の激しい振動の形をとることがあります。^[45]

自転車の操縦性とハンドリングは、いくつかの理由から定量化が難しい。自転車の形状、特にステアリング軸の角度により、運動学的分析が複雑になる。^[2]多くの状況下では、自転車は本質的に不安定であり、常にライダーの制御下にある必要がある。最後に、ライダーのスキルは、あらゆる操縦における自転車のパフォーマンスに大きな影響を与える。^[9]自転車の設計は、操縦性と安定性のトレードオフで構成される傾向がある。

ライダーが行える主な制御入力は、ハンドルバーを介してステアリング機構に直接トルクを加えることです。自転車自体のダイナミクス、ステアリングジオメトリ、ジャイロ効果により、ステアリング角度を直接制御することは困難であることが判明しています。^[8]

ライダーが行える二次的な制御入力は、バイクに対して上半身を傾けることである。前述のように、ライダーの傾きの効果はバイクの質量に反比例して変化する。オートバイなどの重いバイクでは、ライダーの傾きは主に、旋回時の地上高要件を変更し、道路の視界を改善し、非常に低周波の受動的な方法でバイクシステムのダイナミクスを改善する。^[8]オートバイレースでは、胴体を傾け、体を動かし、バイクに対してターンの内側に膝を突き出すことで、空気力学的ヨーモーメントが発生し、ターンへの進入と旋回が容易になる。^[9]

ライダーの怪我や車両の損傷を避けるためにバイクを直立させておく必要があるため、一般的に行われる操縦性テストの種類は限られています。たとえば、自動車愛好家向けの出版物ではスキッドパッドの結果を頻繁に実施して引用していますが、オートバイの出版物ではそうではありません。曲がるときに「準備」してバイクを適切な角度に傾ける必要があるということは、ライダーが同じ速度で走行する一般的な自動車に必要な距離よりも前方を見る必要があることを意味し、この必要性は速度に比例する以上に増大します。^[8]

自転車、特にオートバイのハンドリングを評価するためのいくつかの方式が考案されている。^[9]

• ロール指数は、ステアリングトルクとロールまたは傾斜角の比率です。
• 加速指数は、操舵トルクと横方向または向心方向の加速度の比です。
• ステアリング比は、理想的なタイヤの挙動に基づく理論上の旋回半径と実際の旋回半径の比です。^[9] 1未満の値は、前輪のサイドスリップが後輪のサイドスリップよりも大きいため、アンダーステア​​と呼ばれます。1に等しい場合はニュートラルステアリング、1より大きい場合はオーバーステアと呼ばれます。後輪のサイドスリップが前輪よりもはるかに大きいため、前輪をカーブの反対方向に回す必要があるゼロ未満の値は、カウンターステアと呼ばれます。ライダーは、ニュートラルまたはわずかにオーバーステアを好む傾向があります。^[9]自動車の運転手は、アンダーステア​​を好む傾向があります。
• コッホ指数は、最大操舵トルクと最大傾斜率および前進速度の積の比率です。^{[72] [73]}大型のツーリングバイクはコッホ指数が高く、スポーツバイクは中程度のコッホ指数、スクーターはコッホ指数が低くなる傾向があります。^[9]軽量スクーターは重量のあるバイクよりも操縦が簡単です。

自転車の運動方程式は線形化できるが、自転車は非線形システムである。解くべき変数は、独立した成分の線形和として記述することはできない。つまり、その動作は、その記述子の動作の合計として表現できない。^[2]一般に、非線形システムは解くのが難しく、線形システムよりもはるかに理解しにくい。摩擦やたわみが無視される理想的なケースでは、自転車は保守的なシステムである。しかし、減衰は実証できる。適切な状況下では、左右の振動は時間とともに減少する。真っ直ぐ直立して走行する自転車（自己安定性を実証）に横方向の衝撃で加えられたエネルギーは、振動が消えても失われるのではなく、前進速度の増加に変換される。^[2]

自転車は非ホロノミックシステムである。なぜなら、その結果は経路に依存するからである。その正確な構成、特に位置を知るためには、部品の構成だけでなく、部品が時間の経過とともにどのように動いたかという履歴も知る必要がある。これは数学的分析を複雑にする。^{[48]最後に、}制御理論の言葉で言えば、自転車は非最小位相挙動を示す。^[74]カウンターステアリングのセクションで説明したように、自転車は最初に操舵された方向とは反対の方向に曲がる 。

自転車の自由度の数は、使用されている特定のモデルによって異なります。主要な動的特徴を捉える最も単純なモデルは、その方程式を最初に開発したフランシス・ホイップルにちなんで「ホイップルモデル」と呼ばれています。 ^[2]は、平らで滑らかな表面上を滑ることなく転がるナイフエッジホイールを備えた 4 つの剛体で構成され、7 つの自由度（4 つの物体すべての位置と方向を完全に記述するために必要な構成変数）を持ちます。^[2]

1. 後輪接触点のx座標
2. 後輪の接触点のy座標
3. リアフレームの方向角（ヨー）
4. 後輪の回転角度
5. 前輪の回転角度
6. 後部フレームの傾斜角（ロール）
7. リアフレームとフロントエンド間のステアリング角度

理想的な自転車の 運動方程式は、

• 堅固なフレーム、
• 硬いフォーク、
• 2つのナイフエッジの硬い車輪、
• すべて摩擦のないベアリングで接続されており、滑らかな水平面上で摩擦や滑りなく転がり、
• 直立した状態またはそれに近い状態で、不安定な平衡状態にある

は、単一の4次線形 常微分方程式または2つの結合した2次微分方程式で表すことができる^[2]。

${\displaystyle M_{\theta \theta }{\ddot {\theta _{r}}}+K_{\theta \theta }\theta _{r}+M_{\theta \psi }{\ddot {\psi }}+C_{\theta \psi }{\dot {\psi }}+K_{\theta \psi }\psi =M_{\theta }}$

そして操縦方程式

${\displaystyle M_{\psi \psi }{\ddot {\psi }}+C_{\psi \psi }{\dot {\psi }}+K_{\psi \psi }\psi +M_{\psi \シータ }{\ddot {\theta _{r}}}+C_{\psi \theta }{\dot {\theta _{r}}}+K_{\psi \theta }\theta _{r}=M_{\psi }{\mbox{,}}}$

どこ

• ${\displaystyle \theta_{r}}$後部アセンブリの傾斜角度です。
• ${\displaystyle \psi}$フロントアセンブリのステアリング角度はリアアセンブリに対して相対的であり、
• ${\displaystyle M_{\theta}}$および は、それぞれ後部アセンブリとステアリング軸に適用されるモーメント (トルク) です。制御されていないバイクの解析では、両方ともゼロとみなされます。${\displaystyle M_{\psi}}$

これらは行列形式で次のように表すことができます。

${\displaystyle M\mathbf {\ddot {q}} +C\mathbf {\dot {q}} +K\mathbf {q} =\mathbf {f} }$

どこ

• ${\displaystyle M}$自転車の質量と形状のみを含む項を含む対称質量行列である。
• ${\displaystyle C}$いわゆる減衰行列であるが、理想化された自転車には減衰がなく、前進速度を含む非対称の項が含まれている。${\displaystyle v}$
• ${\displaystyle K}$は、重力定数とを含む項を含むいわゆる剛性行列であり、 では対称で、 では非対称である。${\displaystyle g}$${\displaystyle v^{2}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle v^{2}}$
• ${\displaystyle \mathbf {q} }$は傾斜角と操舵角のベクトルであり、
• ${\displaystyle \mathbf {f} }$外力のベクトル、つまり上記のモーメントです。

この理想化され線形化されたモデルには、多くの幾何学的パラメータ（ホイールベース、ヘッドアングル、各ボディの質量、ホイール半径など）がありますが、重要な変数は傾斜角、傾斜率、ステアリング角、ステアリング率の4つだけです。これらの方程式は、完全に独立して導出された複数の数値モデルとの比較によって検証されています。^[2]

これらの方程式は、自転車が倒立振り子のようなもので、その支持部の横方向の位置が、ロール加速度、ロール速度、およびステアリング トルク フィードバックに対するロール変位を表す項によって制御されることを示しています。ロール加速度項は通常、自己安定化には誤った符号を持ち、主にウォブル振動に関して重要になると予想されます。ロール速度フィードバックは正しい符号を持ち、本質的にジャイロスコープであり、速度に比例し、前輪の寄与によって支配されます。ロール変位項は最も重要な項であり、主にトレール、ステアリング レイク、およびステアリング軸からのフロント フレーム質量中心のオフセットによって制御されます。すべての項には、自転車の設計パラメータの複雑な組み合わせが含まれ、場合によっては速度も含まれます。ベンチマーク バイクの制限が考慮され、タイヤ、フレーム、ライダーの扱いの拡張^[75]とその影響が含まれています。安定化と経路追従制御のための最適なライダー制御についても説明します。^[7]

線形化方程式から、4 つの状態変数(傾斜角、傾斜率、操舵角、操舵率)のそれぞれに対して 1 つずつ固有値を計算し、特定の自転車設計の通常モードと自己安定性を分析することができます。右のグラフでは、特定の自転車の固有値が 0～10 m/s (22 mph) の前進速度に対して計算されています。すべての固有値の実数部 (濃い青で表示) が負の場合、自転車は自己安定です。いずれかの固有値の虚数部 (シアンで表示) がゼロでない場合、自転車は振動します。固有値は原点を中心に点対称であるため、前進速度で自己安定領域を持つ自転車設計は、同じ速度で後進するときには自己安定しません。^[2]

右側のグラフでは、自転車の動きが質的に変化する3つの前進速度が確認できます。^[2]

1. この例では、振動が始まる前進速度は約 1 m/s (2.2 mph) で、特性多項式に重複根があるため(4 つの固有値のうち 2 つがまったく同じ値を持つ)、二重根速度と呼ばれることもあります。この速度を下回ると、自転車は倒立振り子のように倒れてしまいます。
2. この例では、約 5.3 m/s (12 mph) でホップ分岐においてウィーブ モードの固有値が正から負に切り替わる、振動が増加しない前進速度をウィーブ速度と呼びます。この速度より低いと、制御不能な自転車が転倒するまで振動が増加します。この速度を超えると、振動は最終的に止まります。
3. この例では、転覆モードの固有値が約 8 m/s (18 mph) でピッチフォーク分岐で負から正に切り替わる、非振動傾斜が増加する前進速度を転覆速度と呼びます。この速度を超えると、この非振動傾斜により、最終的に制御不能なバイクが転倒します。

これら最後の 2 つの速度 (両方存在する場合) の間には、特定の自転車設計が自己安定する前進速度の範囲があります。ここで固有値が示されている自転車の場合、自己安定範囲は 5.3～8.0 m/s (12～18 mph) です。通常安定している (非常に負の値である) 4 番目の固有値は、自転車の進行方向に向かって回転する傾向がある前輪のキャスタリング動作を表します。この理想化されたモデルでは、上記のぐらつきやシミー、後輪のぐらつきの不安定性は見られません。これらは、タイヤと地面の相互作用やその他の自由度を組み込んだモデルで見られます。^[9]

実際の自転車を使った実験では、固有値によって予測された織りモードがこれまで確認されています。タイヤのスリップとフレームのたわみは、 6m/sまでの速度範囲では自転車の横方向のダイナミクスには重要ではないことがわかりました。^[76]

複雑なメカニズムである自転車には、さまざまなモード、つまり自転車が動く基本的な方法があります。これらのモードは、自転車のパラメータと前進速度に応じて、安定または不安定になります。この文脈では、「安定」とは、制御されていない自転車が前進速度が維持されている限り、転倒することなく前進し続けることを意味します。逆に、「不安定」とは、制御されていない自転車が前進速度が維持されていても、最終的には転倒することを意味します。モードは、安定性が切り替わる速度と、自転車がそのモードを経験するときの傾斜とステアリングの相対的な位相によって区別できます。自転車の動きは、さまざまな可能なモードの組み合わせで構成されており、自転車が経験する可能性のある主なモードは、転覆、ウェーブ、およびウォブルの3つです。^[2]あまり知られていないモードはリアウォブルで、通常は安定しています。^[9]

転覆とは、振動を伴わずに転倒することです。転覆中、制御されていない前輪は通常、傾斜方向に操舵されますが、傾斜角が非常に高くなるまで、傾斜の増大を止めることはできず、その時点でステアリングが反対方向に回転することがあります。バイクが急速に前進している場合、転覆は非常にゆっくりと起こることがあります。転覆の不安定性は数秒程度と非常に遅いため、ライダーは簡単に制御でき、実際にライダーは旋回に必要な傾斜を開始するためにそれを使用します。^[9]ほとんどのバイクでは、形状と質量分布に応じて、転覆は低速では安定しており、速度が増加するにつれて不安定になり、安定しなくなります。ただし、多くのバイクでは、タイヤと舗装の相互作用により、高速で転覆が不安定になるのを防ぐのに十分です。^{[9] [11]}

ウィーブとは、左に傾いて右にステアリングを切ることと、その逆の間のゆっくりとした（0～4～Hz）振動です。バイク全体が、ステアリング角度、傾斜角（ロール）、および方向角（ヨー）の大きな変化の影響を受けます。ステアリングは方向に対して180°位相がずれており、傾斜に対して90°位相がずれています。^[9]このAVIムービーはウィーブを示しています。

ほとんどのバイクでは、形状と質量分布に応じて、低速ではウィーブが不安定になり、速度が上がるにつれて不安定ではなくなるまで目立たなくなります。振幅は減少するかもしれませんが、周波数は実際には速度とともに増加します。^[15]

ウォブル、シミー、タンクスラッパー、スピードウォブル、デスウォブルはすべて、主にフロントエンド（前輪、フォーク、ハンドル）の急速な（4～10 Hz）振動を説明するために使用される単語やフレーズです。また、リアフレームのヨーイングも関係しており、これが柔軟すぎるとウォブルの一因となる可能性があります。^[77]この不安定性は主に高速で発生し、ショッピングカートの車輪、飛行機の着陸装置、自動車の前輪で発生するものと似ています。^{[9] [11]}ウォブルやシミーは、速度、位置、ハンドルの握りを調整することで簡単に改善できますが、制御できないと致命的になる可能性があります。^[78]

ウォブルやシミーは、フォークの非対称性など、さほど重要ではない不規則性^{[79] が}車輪を片側に加速させたときに発生します。復元力は不規則性の進行と同調して適用され、車輪は反対側に回転し、このプロセスが繰り返されます。ステアリングの減衰が不十分な場合、振動はシステム障害が発生するまで増加します。振動周波数は、前進速度を変更したり、バイクを硬くしたり軽くしたり、またはライダーが主な構成要素であるステアリングの剛性を高めたりすることで変更できます。^{[16] [28]}

リアウォブルという用語は、傾斜角（ロール）と方向角（ヨー）がほぼ同位相で、ステアリング角とは180°位相がずれている振動モードを表すために使用されます。この振動の速度は中程度で、最大で約6.5Hzです。リアウォブルは大幅に減衰され、バイクの速度が上がるとすぐに減少します。^[9]

自転車の設計パラメータがこれらのモードに与える影響は、線形化された運動方程式の固有値を調べることによって調べることができます。^[70]運動方程式と固有値の詳細については、上記の運動方程式のセクションを参照してください。ここでは、導き出されたいくつかの一般的な結論について説明します。

リア フレームとホイール スピンドルの横方向およびねじり方向の剛性は、ウォブル モードの減衰に大きく影響します。ホイール ベースとトレールが長く、ステアリング ヘッドの角度がフラットな場合、ウィーブ モードの減衰が大きくなることが分かっています。フロント フォークのねじり軸をできるだけ低く 配置することで、横方向の歪みを抑えることができます。

コーナリング時のウィーブ傾向は、リアサスペンションの減衰力の低下によって増幅されます。コーナリング、キャンバー剛性、リアタイヤの緩和長がウィーブ減衰に最も大きく影響します。フロントタイヤの同じパラメータの影響は小さくなります。リア荷重もコーナリング時のウィーブ傾向を増幅します。ただし、適切な剛性と減衰力を備えたリア荷重アセンブリは、ウィーブとウォブル振動を減衰させるのに成功しました。

ある研究では、バイクが曲がるときに傾いている間に、道路のうねりが、そのいずれかの周波数が車両速度やその他のパラメータと一致する場合、高速ではウェーブモード、低速ではウォブルモードを励起できることが理論的に示されています。ウォブルモードの励起は効果的なステアリングダンパーによって緩和することができ、ウェーブモードの励起は重いライダーよりも軽いライダーの方が悪くなります。^[14]

トレッドミルに乗ることは理論的には静止した舗装道路に乗ることと同じであり、物理的なテストによってこれが確認されています。^[80]トレッドミルは屋内での自転車トレーニング用に特別に開発されました。^{[81] [82]} ローラーに乗ることについてはまだ調査中です。^{[83] [84] [85]}

自転車やバイクは、フレーム、フォーク、2つの車輪という4つの主要な可動部品しかない単純な機構のように見えるが、これらの部品の配置により分析が複雑になっている。^{[28]車輪の}ジャイロ効果が打ち消された状態でも自転車に乗ることができることは観察可能な事実であるが、 ^{[5] [6]}車輪のジャイロ効果が自転車を直立させているという仮説は、印刷物やオンラインでよく見られる。^{[5] [48]}

印刷物の例:

• 「角運動量とオートバイのカウンターステア：議論とデモンストレーション」、AJ Cox、Am. J. Phys. 66、1018–1021 ~1998
• 「オートバイはジャイロスコープである」、J. ヒグビー、Am. J. Phys. 42、701–702
• 日常現象の物理学、WTグリフィス、マグロウヒル、ニューヨーク、1998年、149-150頁。
• 物事の仕組み。マコーレー、ホートン・ミフリン、ニューヨーク、NY、1989年

自転車はさまざまな縦方向の力や動きを受けることがあります。ほとんどの自転車では、前輪を片側または反対側に切ると、ステアリング軸の角度とトレールの量に応じて、後部フレーム全体がわずかに前方に傾きます。^{[9] [47]}フロント、リア、または両方にサスペンションを備えた自転車では、トリムは、特にブレーキ、加速、旋回、ドライブトレイン、空気抵抗の力に応じて、自転車の幾何学的構成を表すために使用されます。^[9]

2つの車輪が負担する荷重は、質量の中心位置だけでなく、乗客の数、荷物の量、乗客と荷物の位置によっても変化し、加速と減速によっても変化します。この現象は、著者によっては荷重移動[9]または重量移動[45][71]と呼ばれ、ライダー^と設計者^の両方に課題と機会を提供します。たとえば、オートバイのレーサーは、コーナリング時にフロントタイヤに利用できる摩擦を増やすためにこれを使用し、急ブレーキ時のフロントサスペンションの圧縮を減らす試みから、いくつかのオートバイフォーク設計が生まれました。

純空気抵抗力は圧力中心と呼ばれる一点に作用すると考えられる。^[45]高速走行時には、これにより後輪の駆動周りに純モーメントが生じ、前輪から後輪への純荷重移動が生じる。^[45]また、バイクの形状や取り付けられているフェアリングの形状によっては、前輪への荷重を増加させたり、さらに軽減したりする空気力学的揚力が発生する場合がある。 ^[45]

自転車は静止しているときは縦方向に安定していますが、十分な加速または減速を行うと縦方向に不安定になる可能性があり、発生する地面反力を分析するためにオイラーの第二法則を使用できます。 ^{[86]たとえば、}ホイールベース があり、重心が後輪ハブの高さと前方の距離にあり、簡単にするために両方の車輪がロックされている自転車の車輪での通常の（垂直）地面反力は次のように表すことができます。^[9]${\displaystyle L}$${\displaystyle h}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle N_{r}=mg\left({\frac {Lb}{L}}-\mu {\frac {h}{L}}\right)}$後輪用と前輪用。${\displaystyle N_{f}=mg\left({\frac {b}{L}}+\mu {\frac {h}{L}}\right)}$

摩擦力（水平方向）は単純に

${\displaystyle F_{r}=\mu N_{r}\,}$後輪用と前輪用、${\displaystyle F_{f}=\mu N_{f}\,}$

ここで、は摩擦係数、はバイクとライダーの合計質量、は重力加速度です。したがって、 ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle m}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle \mu \geq {\frac {Lb}{h}},}$

これは、重心が前輪接地面から後方に伸び、角度で傾斜した線の上または前方にある場合に発生します。

${\displaystyle \theta =\tan ^{-1}\left({\frac {1}{\mu }}\right)\,}$

水平より上になると^[45] 、後輪の法線方向の力はゼロになり（この時点では方程式は適用されなくなります）、自転車は前輪の上で反転またはループし始めます。

一方、ほとんどのタンデム自転車やロングホイールベースのリカンベント自転車、自動車のように重心の高さがラインの後ろまたは下にある場合、前輪が自転車をひっくり返すのに十分なブレーキ力を生成できる可能性は低くなります。これは、タイヤが路面に密着する限界近くまで減速できることを意味し、摩擦係数が0.8の場合、0.8gに達する可能性があり、これは最良の条件でも直立した自転車よりも40％高くなります。自転車科学の著者であるデイビッド・ゴードン・ウィルソンは、直立した自転車に乗る人が車の後ろを走ると、特に追突事故を起こすリスクが高いと指摘しています。^[87]

同様に、パワフルなオートバイは、後輪で十分なトルクを発生し、前輪を地面から浮かせることができる。この動作はウイリーと呼ばれる。ブレーキ性能を分析するために上で説明したのと同様の線を後輪の接地面から引くことで、利用可能な摩擦、重心の位置、十分なパワーがあればウイリーが可能かどうかを予測できる。^[45]重心が後方または十分に上にある場合や、ライダーがペダルに力を加えるときに後ろによろめく場合は、利用できるパワーははるかに少ないものの、自転車でもこれと同じことが起こる可能性がある。^[88]

もちろん、地形の角度は上記の計算すべてに影響を与える可能性があります。他の条件が同じであれば、フロントエンドがピッチングするリスクは、上り坂を走行しているときには減少し、下り坂を走行しているときには増加します。上り坂を走行しているときにはウイリーを実行する可能性が高まり、^{[88]オートバイの}ヒルクライム競技 では大きな要因となります。

ブレーキをかけるとき、走行中のライダーはライダーとバイクの合計質量mの速度を変えようとします。これは、移動ライン上で負の加速度aになります。 F = ma、加速度aは質量mに対して慣性前方力F を引き起こします。ブレーキングaは、初期速度uから最終速度vまで、時間tにわたって行われます。方程式u - v = at は、加速度が大きいほど、速度変更に必要な時間が短くなることを示しています。停止距離sも、加速度aが道路状況に適合する可能な限り高い値のときに最短になります。方程式s = ut + 1/2 at ^2は、 aが高くtが低いときにs を低くします。

各車輪にどの程度のブレーキ力をかけるかは、路面状況と各瞬間の車輪の重量バランスの両方に依存します。ブレーキ力の合計は、ライダーと自転車にかかる重力と、地面に対するタイヤの摩擦係数 μ の積を超えることはできません。mgμ > = Ff + Fr。FfとNfの比率、またはFrとNrの比率がμより大きい場合にスキッドが発生し、後輪のスキッドが横方向の安定性に与える影響は小さくなります。

ブレーキをかけると、移動ライン上の慣性力ma はfと同一線上にないため、 m をf を中心に回転させる傾向があります。この回転傾向、つまり転倒モーメントは、 mgからのモーメントによって抵抗されます。

ある瞬間における前輪の接触点に関する瞬間をとらえます。

• ブレーキがかかっていない場合、質量mは通常、ボトムブラケットの上、前輪と後輪の間の約 2/3 の位置にあり、したがってNr はNfよりも大きくなります。
• 緊急停止が必要ない場合や、路面状態が悪く急ブレーキがかからないなどの理由で、一定の軽いブレーキングを行っている場合、後輪にはまだ多くの重量がかかっています。つまり、Nr は依然として大きく、Fr がに貢献する可能性があります。
• ブレーキaが増加すると、モーメントmah がaとともに増加するため、 NrとFr は減少します。最大定数aでは、時計回りと反時計回りのモーメントは等しくなり、その時点でNr =0 になります。これより大きいFf はストッピーを開始します。

  

その他の要因:

• 下り坂では、傾斜によってmgの線がfに近づくため、前輪が倒れやすくなります。この傾向を軽減するには、ライダーがペダルの後ろに立ち、m をできるだけ後ろに保つようにします。
• ブレーキが強くなると、ライダーがバイクに対して前方に移動するため、質量の中心m が前輪に対して前方に移動する可能性があり、バイクの前輪にサスペンションが付いている場合は、フロントフォークが負荷を受けて圧縮され、バイクの形状が変わります。これにより、前輪に余分な負荷がかかります。
• ブレーキ操作の終わりにライダーが停止すると、サスペンションの圧力が下がり、ライダーが後ろに押し出されます。

μの値は、さまざまな要因によって大きく異なります。

• 地面や路面を構成する材料。
• 地面が濡れているか乾いているか。
• タイヤと地面の温度。
• 地面の滑らかさまたは粗さ。
• 地面の硬さや緩さ。
• 車両の速度。時速 30 マイル (50 km/h) を超えると摩擦が減少します。
• 摩擦が転がり摩擦か滑り摩擦かにかかわらず、滑り摩擦はピーク転がり摩擦より少なくとも10%低い。^[89]

標準的なアップライトバイクの制動力のほとんどは前輪から得られます。上記の分析が示すように、ブレーキ自体が十分に強い場合、後輪は簡単に滑りますが、前輪はライダーとバイクを前輪の上にひっくり返すのに十分な停止力を生み出すことができます。後輪が持ち上がってもバイクがひっくり返らない場合はストッピーと呼ばれ、バイクがひっくり返る場合はエンド（エンドオーバーエンドの略）と呼ばれます。ただし、クルーザーバイク^[90]やリカンベントバイクなどの長いバイクや低いバイクでは、前輪が代わりに滑り、バランスを失う可能性があります。バランスが失われないと仮定すると、バイクの形状、バイクとライダーの重心の位置、最大摩擦係数に応じて最適なブレーキ性能を計算することができます。^[91]

フロントサスペンション、特にテレスコピックフォークチューブの場合、ブレーキング中に前輪の下向きの力が増加すると、サスペンションが圧縮され、フロントエンドが下がることがあります。これはブレーキダイビングと呼ばれます。ブレーキングによって前輪の下向きの力が増加する仕組みを利用したライディングテクニックは、トレイルブレーキングと呼ばれます。

前輪ブレーキの最大減速度を制限する要因は次のとおりです。

• タイヤと地面の間の静止摩擦の最大値、限界値。乾いたアスファルト上のゴムの場合、 0.5から0.8の間であることが多い。 ^[92]
• ブレーキパッドとリムまたはディスク間の動摩擦、および
• 前輪上での（自転車とライダーの）ピッチングまたはループ。

優れたブレーキを備えた乾いたアスファルト上の直立型自転車の場合、ピッチングがおそらく制限要因となるでしょう。一般的な直立型自転車とライダーの複合重心は、前輪接地面から約60cm（24インチ）、上方約120cm（47インチ）にあり、最大減速は0.5g  （ 5m/s ²または16フィート/s ²）です。^[28]ただし、ライダーがブレーキを適切に調整すれば、ピッチングは回避できます。ライダーが体重を後方および下方に移動すると、さらに大きな減速が可能になります。

アップライト自転車の後部ブレーキは、 前述のように後輪の法線力の減少により、せいぜい0.25 g（≈2.5 m/s ^{2 ）程度の減速しか生み出せない[87]}。後部ブレーキのみを備えた自転車はすべてこの制限を受ける。例えば、コースターブレーキのみを備えた自転車や、他のブレーキ機構を持たない固定ギア自転車などである。しかし、後輪ブレーキが必要な状況もある^[93]。

• 滑りやすい路面や凹凸のある路面。前輪ブレーキをかけると、摩擦係数が低いため前輪が滑り、バランスを失うことがよくあります。^[93]
• 前輪のパンク。パンクしたタイヤでブレーキをかけると、タイヤがリムから外れて摩擦が大幅に減少し、前輪の場合はバランスが崩れることがあります。^[93]
• 後輪のスキッドを意図的に起こしてオーバーステアを誘発し、急カーブでの旋回半径を小さくします。
• フロントブレーキの故障。^[93]
• リカンベント自転車。ロングホイールベースのリカンベントは、重心が後輪に近いため、優れた後部ブレーキが必要です。^[94]

専門家の意見は、「最初は両方のレバーを均等に使う」^[95]から「通常のホイールベースのバイクを最も速く停止させるには、後輪が地面から浮き上がるくらいまでフロントブレーキを強くかける」^[93]まで様々であり、道路状況、ライダーのスキルレベル、最大可能な減速率によって異なります。

SureStopシステムは、後輪の回転によって後輪ブレーキシューに加わる摩擦によってフロントブレーキを作動させるスライド機構を採用しています。これは、ブレーキ摩擦を道路状況に合わせて最適化し、ハンドルバーから外れるリスクを軽減するように設計されています。

自転車には、主に対称中心面で作動するフロントのみ、リアのみ、フルサスペンション、またはサスペンションなしのものがあるが、横方向のコンプライアンスも考慮されている。^[45]自転車のサスペンションの目的は、ライダーが感じる振動を軽減し、車輪と地面の接触を維持し、物体を乗り越える際の運動量の損失を減らし、ジャンプや落下による衝撃力を軽減し、車両のトリムを維持することである。^[9]サスペンションの主なパラメータは、剛性、減衰、バネ上質量とバネ下質量、およびタイヤ特性である。^[45]

自転車の振動の研究には、エンジンバランス、^[96] ホイールバランス、地面、空気力学などの原因、振動の伝達と吸収、自転車、ライダー、安全性への影響が含まれます。^[97]振動分析の重要な要素は、システムの固有振動数と振動源の考えられる駆動周波数の比較です。 ^[98]近い一致は機械的共振を意味し、大きな振幅が生じる可能性があります。振動減衰の課題は、動力伝達とハンドリングに必要なフレームの剛性 (ねじり)を犠牲にすることなく、特定の方向 (垂直) にコンプライアンスを作成することです。^[99]自転車の振動に関するもう1つの問題は、材料疲労による故障の可能性です。 ^[100]振動がライダーに与える影響には、不快感、効率の低下、手腕振動症候群、レイノー病の二次形態、全身の振動などがあります。振動計は不正確であったり、読み取りが困難な場合があります。^[100]

正常に機能する自転車の振動の主な原因は、自転車が転がる表面です。空気入りタイヤや従来の自転車サスペンションに加えて、振動がライダーに伝わる前に減衰させるためのさまざまな技術が開発されています。これには、フレーム全体またはフロントフォーク、シートポスト、ハンドルバーなどの主要コンポーネントのみに使用されるカーボンファイバーなどの素材、湾曲したシートステーなどのチューブ形状、^{[101]ゲルハンドルバーグリップとサドル、} SpecializedのZertz 、^{[102] [103]}やBontragerのBuzzkillsなどの特殊なインサートが含まれます。

路面に加えて、エンジンとホイールのバランスが崩れると、バイクの振動が発生することがあります。メーカーは、エンジンバランスシャフト、ゴム製エンジンマウント、^[104]、タイヤウェイトなど、さまざまな技術を使用してこれらの振動を軽減または減衰させます。^[105]振動が引き起こす問題により、振動を軽減するように設計されたアフターマーケット部品やシステムの業界も生まれました。追加機能には、ハンドルバーウェイト、^[106]、アイソレーションフットペグ、エンジンカウンターウェイトなどがあります。高速走行時には、バイクとそのライダーは空力的なフラッターやバフェッティングを経験することもあります。^{[107]これは、}フロントガラスなどの主要部品上の空気の流れを変更することで軽減できます。^[108]

さまざまな実験により、自転車のダイナミクスに関するさまざまな仮説が検証または反証されます。

• デビッド・ジョーンズは、乗れない構成を求めて数台のバイクを製作した。^[6]
• リチャード・クラインはジョーンズの発見を確認するために数台のバイクを製作した。^[5]
• リチャード・クラインはステアリングトルクとその効果を調査するために「トルクレンチバイク」と「ロケットバイク」も製作した。^[5]
• キース・コードは、ライダーの動きと位置がステアリングに与える影響を調査するために、固定ハンドルを備えたオートバイを製作した。^[109]
• シュワブとクーイマンは計測器を搭載した自転車で測定を行った。^[110]
• ハバードとムーアは計測器を搭載した自転車で測定を行った。^[111]

• 「自転車のジオメトリとハンドリング入門」カール・アンダーソン
• 「自転車をまっすぐに保つものは何ですか？」ジョブスト・ブラント著
• 「ダホン自転車の安定性に関するレポート」は、2021年3月9日にジョン・フォレスターによってウェイバックマシンにアーカイブされました。

ビデオ:

• 乗り手のいない自転車が自立安定性を実証するビデオ
• 自転車が落ちない理由: TEDx Delft 2012 での Arend Schwab 氏
• ウォブルムービー（AVI）
• ウィーブムービー（AVI）
• ウォブルクラッシュ（フラッシュ）
• サイエンスフライデーのビデオ

研究センター:

• デルフト工科大学の自転車ダイナミクス
• コーネル大学の自転車メカニック
• イリノイ大学の自転車科学
• パドヴァ大学のオートバイダイナミクス
• インペリアル・カレッジの制御と電力研究グループ
• カリフォルニア大学デービス校における自転車の力学、制御、ハンドリング
• ウィスコンシン大学ミルウォーキー校の自転車・オートバイ工学研究室

会議：

• DSCC 2012 での単線車両ダイナミクス: 2012 年 10 月 17 日から 19 日まで米国フロリダ州フォートローダーデールで開催されたASME動的システムおよび制御会議での 2 つのセッション
• 自転車とオートバイのダイナミクス 2013 Archived 2021-01-20 at the Wayback Machine : 単軌車両のダイナミクスと制御に関するシンポジウム、日本大学、2013年11月11日～13日
• 自転車とオートバイのダイナミクス会議: 概要ページ